第10讲(探索规律)

探索规律:一个凸显数学本质的教学领域

教材解读与教学分析第十讲1重庆师范大学初教院蒲淑萍2014-11-12数学是一门怎样的科学？在这些根源性问题的哲学思辨中，“数学是模式的科学”得到了更多的认同。发现关系和规律的过程也是发展学生探索能力的过程。《课标》把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面，第一学段要求：探索简单情景下的变化规律（参见例9、例10）。；第二学段要求：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势（参见例30、例31）。。例9在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。[说明]启发学生探索规律。希望学生感悟：对于有规律性的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。

例10在图1中，描出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别描出相加等于6，9的格子，你能发现什么规律？[说明]本例不仅能帮助学生熟练地进行20以内的加法，并且数值与图形结合，有利于学生以后学习坐标系、图象等。根据学生的实际，借助上面的图1可以提出不同的问题。例如，进一步把两个数相加的和是8的格子描出来，看一看有什么规律。根据上图判断，出现次数最多的和是几？最少的是几？教师应根据自己学生的实际情况灵活地设计教学。如果学生在观察上图或者发现规律中有困难，教师可以引导学生从简单的情形入手，比如，两个加数先限制在5以内。987654321+123456789例28利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。[说明]目的是运用计算器进行计算，从中发现一些有趣的规律。学生可以通过观察结果与乘数的关系，发现规律。例如

15×15=225=1×2×100+25，

25×25=625=2×3×100+25，

35×35=1225=3×4×100+25，等等。这个规律在实际运算中也是有用的。例30联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？[说明]希望学生能够通过所给条件，发现规律，进一步了解规律可以借助各种符号表示（参见例9）。在解决这个问题时，学生可以有多种方法。例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，则按照题意气球的排列顺序可以写成

AAABBCAAABBC…

从中找出第16个字母，由此推出第16个气球的颜色。【案例1】【案例2】【案例3】现代小学新数学，第6册；探索：几十一乘几十一的乘法速算根据下面的算式和乘积，寻找规律。

11213151×11

×41

×41

×6112186112713111分小组讨论：算式的特点和积的规律。用发现的规律做下面各题21×21=61×81=41×41=31×51=71×51=91×31=31.探索规律的主要内容（1）探索数的规律（2）探索式的规律（3）探索形的规律（4）探索数与形结合的规律（1）探索数的规律

数列的规律（1）1，2，3，4，5，（），（）；――递增（2）20，18，16，14，（），（）――递减（3）1，2，4，8，（），（）――扩大倍数关系（4）32，16，8，（），（）——缩小倍数关系（5）1，3，7，15，（），（）——几倍多几关系（6）1，2，3，5，8，（），（）——前两个数的和等于第三个数……（2）探索式的规律这些算式有什么规律？13－9=15－9=12－9=14－9=13－8=15－8=12－8=14－8=（3）探索形的规律6个正方形会有多少种不同的排法呢？引导学生如何有序地排列，不遗漏不重复。在这个排列的过程中，学生需要正确辨别各个正方形之间的空间位置关系，也要弄清图形与图形之间的关系，是否有重复。引导学生动手操作，或者图画，探索六连方的规律。在画出所有的六连方后，结合对正方体的认识，再继续探索：哪些六连方会是正方体的展开图呢？进一步发现其中的奥秘。类似于这样的探索关于图形之间的变化规律。（4）探索数与形结合的规律铁块下沉气球上升案例分析1：烤饼问题

有一个锅，同时可以烤2个饼，烤一面要3分钟，烤10个饼要几分钟？

教师在教学此问题时，应关注什么？对于探索规律而言，不仅仅是从知识和技能的掌握和巩固来评价目标的达成，我们还应该关注探索的过程与方法。就上题而言，一个学生面对要解决烤10个饼的时候，学生是否有意识先尝试从1个饼开始，把繁化简，用转化的方法来解决问题，这是数学学习的一种重要的方法；在有了解决问题方法的时候，学生是否尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，应用运筹思想以及对策论方法？这也正是教学的重要目标。再从学习的情感、态度和价值观领域看来，探索规律的过程是否吸引了学生的积极参与，兴趣如何，是否尊重客观事实、质疑猜想？是否会与人合作、善于交流？这也正是数学学习不可或缺的理性精神。【案例分析2】为了教学“有趣的排列”（二年级），教师创设了一个又一个有趣的情境：第1个情境：让学生在三个圆中画不同的颜色：红黄蓝，有几种不同的画法？第2情境：安排摆卡片的游戏：用汉字卡片“做”“好”“事”，可以有几种不同的排列方法，读一读。（做好事，做事好，好做事，好事做，事做好，事好做。）第3情境：联系生活实际，三辆汽车开在路上，有几种不同的先后顺序？第4情境，联系生活实际：三个人站在一排拍照，有几种不同的站法？这个设计的优点有哪些？教学时应特特别注意的是什么：优点：该设计把数学知识与学生现实生活有机联系起来，通过一些简单的方便操作的活动以及学生所熟悉的事物，发现事物排列的规律，并知道一共可以产生的排列种数。对于二年级的学生来说，刚开始接触排列的规律时，是需要借助实际情境，让每一个孩子动手操作，感受到规律的存在，该设计给学生提供了丰富有趣的学习情境，有助于学生经历了几个不同的情境后，自主发现搭配的规律。注意事项：应当引导学生发现内在的本质规律，也无须每换一个情境，仍然重复机械的操作，而是应该思考问题的共同属性，为以后用一个乘法算式来求得几种不同的排列方法做准备。由此看来，一味强调动手操作，不能一味降低学生的思维强度，以丢失锻炼学生思维的机会。依托表象来思考可能存在的排列情况比看到直观图示来分析排列的现象，更有教育价值。【案例分析3】两位数加一位数的进位加法，设计一组对比的练习；

5＋7＝8＋4＝

15＋7＝18＋4＝

25＋7＝28＋4＝

35＋7＝38＋4＝

出示题目后，老师往往会马上问：你发现了什么？有个别举手，老师请学生回答。……评价一下这个案例，提出自己的处理办法：这样的现象，表面看“效率比较高，表现较积极”，但这仅仅是个别现象，对于这样的问题情境，需要学生充足的时间做保证，才有可能让更多的人有尽可能多的发现，充分发挥本题的教学功能。教学中，我们希望在计算的基础上自主探索规律，既能沟通20以内进位加法和100以内两位数加一位数的进位加法之间的