第一章 静电学的基本规律(高斯定理)

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四、高斯定理及其应用

1.电场线（电力线）

2.电通量

3.静电场的高斯定理

4.高斯定理在解场方面的应用附录1：静电应用（图片）附录2：静电场高斯定理的证明附录3：如何理解均匀带电球面内场强为0？2定性:定量:疏密垂直面积规定条数

（1）规定

方向：电场线上每一点的切线方向表示该点的电场强度方向；

大小：1.电场线（电力线）用一族空间曲线形象描述场强分布电场线(electricfieldline)过去称为电力线P3式中的dΦ称为通过该面积元的电通量(electricflux)定量规定：通过垂直于的单位面积的电场线条数等于该区域的电场强度值，即，EdS43)电场线有头有尾，不会形成闭合曲线.（2）电场线的性质1)电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷(或无穷远处)，不会在没有电荷处中断.2)两条电场线不会相交，也不会相切.这些性质是由静电场的基本性质和场的单值性、有限大小性决定的.并且可用静电场的基本性质方程加以证明.5将上式推广至一般面元若面积元不垂直电场强度由图可知:通过和电场线条数相同匀强电场由电场线的定量规定，有2.电通量通过任意面积的电场线条数叫通过该面的电通量6由图可知:

通过和电场线条数相同令电通量的基本定义式θ是面元dS的法线方向与该处的电场强度方向之间的夹角匀强电场7通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量：把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场8物理上有实际意义的是求通过闭合面的电通量讨论1)有正有负若取如实蓝箭头所示的法线方向，则若取如虚红箭头所示的法线方向，则正负取决于面元的法线方向的选取>0<0对于非闭合面，面元的正方向可以任取，9规定：面元方向<0电场线穿入电场线穿出

—由闭合面内指向面外2)通过闭合面的电通量简称外法线方向>0几何含义：通过闭合曲面的电场线的净条数10

3.静电场的高斯定理(Gausstheorem)(1)表述在静电场内任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和(净电荷)除以0

（严格证明见附录2）11(2)高斯定理关系式的导出思路：1）

以点电荷场为例

取包围点电荷的高斯面

取不包围点电荷的高斯面

2）推广到一般推导：1）场源电荷是电量为Q的点电荷高斯面包围该点电荷12高斯面如图QS通过该高斯面的电通量？根据电场线的连续性等于以点电荷为球心的任意半径的球面的电通量计算通过球面的电通量通过高斯球面任一面元的电通量是13等于高斯面内电量代数和除以02)场源电荷仍是点电荷但高斯面不包围电荷

因电场线连续，故电通量为零

等于高斯面内电量代数和除以03)推广:利用叠加原理通过高斯球面的电通量14讨论3)高斯定理是静电场的基本性质方程之一，它表明静电场是有源场，它要求电场线在无电荷处不能中断.1)中,是面元所在处的场强.只有闭合面内的电荷对电通量有贡献.2)并非只是由闭合面内的电荷产生，而是由空间所有电荷共同产生的，但是闭合面内、外的电荷对电通量的贡献不同.4)对于运动电荷产生的电场及迅变电磁场，库仑定律不再成立，但高斯定理仍然成立.15

常见的电量分布的很好的对称性：

球对称柱对称面对称均匀带电的球体球面(点电荷)无限长的柱体柱面带电线无限大的平板平面4.高斯定理在求解场强方面的应用利用高斯定理求解较为方便对电量的分布具有很好的对称性情况下16举例目的：1)清晰用高斯定理解题的步骤2)通过解题明确用高斯定理解题的条件3)简单的解作为基本结论记住

并且能熟练使用

理论是建立在理想模型之上的注意电量分布没有很好的对称性时，虽然不能用高斯定理求场强，但高斯定理仍然成立！17例1求电量为q

半径为R的均匀带电球面的电场强度分布

第1步：根据电荷分布的对称性，选取合适的经过场点的高斯面(闭合面)解:取过场点P的以球心O

为球心的球面第2步：从高斯定理表达式的左方入手计算通过高斯面的电通量18第4步：根据高斯定理列方程、解方程第3步：求高斯面内电量代数和<>19第5步：得解rER均匀带电球面电场分布0思考：<>1）球面内场强为零

到球面外突变，物理上合理吗？2）若选过场点P的任意闭合曲面，高斯定理是否成立？能否求出场强的分布？3）能否这样证明球面内的场强：“因为球面内没有电荷，所以场强为零”，对吗？20例2求电量为q

半径为R的均匀带电球体的电场强度分布

第1步：根据电荷分布的对称性，选取合适的经过场点的高斯面(闭合面)解:取过场点P的以球心O为球心的球面第2步：从高斯定理表达式的左方入手计算通过高斯面的电通量21第4步：根据高斯定理列方程、解方程第3步：求高斯面内电量代数和22第5步：得解rER均匀带电球体电场分布0例3均匀带电的无限长的直线线密度对称性的分析取合适的高斯面计算电通量利用高斯定理解出E++++++2324例4求面电荷密度为σ的均匀带电无限大平面的场强分布.解：由对称性分析易知空间的场强必垂直于带电平面,而且与带电平面距离相等的点场强大小相同.由于圆筒的侧面上各点的与侧面平行，故又据高斯定理可得：

选一个过场点P、轴线与带电平面垂直的的圆筒形高斯面，两底面到带电平面距离相等，如图所示.S底p·o·SEE

对于有限大带电平面，只要研究的场点P到平面边缘上任一点的距离远大于P点到平面的垂直距离，则此平面就可看作“无限大”平面，上述结论即可应用。25无限大带电平面的电场叠加问题26关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：（A）如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。（B）如果高斯面内无电荷,则高斯面上E处处为零。（D）如果高斯面内有净余电荷,则穿过高斯面的电通量必不为零。（C）如果高斯面上E

处处不为零，则该面内必有电荷。（

E）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。思考27例5真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面.试求（1）球面外两点间的电势差；（2）球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点的电势；（4）球面内任意点的电势.28解由高斯定理知，电场分布为（1）（2）29

由高斯定理知，电场分布为解

1.当r<R时2.当r>R时ROrPP求一均匀带电球面的电势分布。例6303.当r=R时，4.电势分布这是一道典型的例题，应很好掌握，并记住结果。31均匀带电球面，球内任一点的电势等于球表面的电势，故均匀带电球面及其内部是一个等电势的区域。球外任一点的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。电势分布曲线场强分布曲线ERRrrOO3233求电场强度分布的三种方法1.利用点电荷场强公式和场强叠加原理2.利用已知场强公式和场强叠加原理3.利用高斯定理（电荷分布具有很好的对称性）第一章结束34

静电喷漆

静电除尘附录1：★静电应用(图片)35

带电木梳吸水36附录2：高斯定理的立体角法证明1.介绍立体角的定义2.证明371)平面角由一点发出的两条射线之间的夹角记做d单位：弧度1.立体角的概念设射线长为r，线段元dl对某点所张的平面角：dl0是以r为半径的圆弧是线段元dl与dl0之间的夹角382)立体角面元dS

对某点所张的角叫做立体角即锥体的“顶角”单位：球面度对比平面角有定义式:dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元是面元dS与球面元dS0间的夹角39弧度闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角40库仑定律+叠加原理思路：先证明点电荷的场然后推广至一般电荷分布的场1)源电荷是点电荷在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)2.高斯定理的证明

在闭合面S上任取面元该面元对点电荷所张的立体角dΩ点电荷在面元处的场强为41在所设的情况下得证422)