第三章力系简化的基础知识

基本概念力系：作用在物体上的一组力系。合力：如果某力与一力系等效，则称此力为力系的合力第三章力系简化的基础知识2/6/20231力系分类平面力系空间力系平面特殊力系平面任意力系（平面一般力系）平面汇交力系平面力偶系平面平行力系空间特殊力系空间任意力系空间汇交力系空间力偶系空间平行力系解决的问题：力系的合成与平衡问题2/6/20232第三章力系简化的基础知识§3-1平面汇交力系的合成与平衡条件§3-2力对点之矩§3-3力偶·力偶矩§3-4平面力偶系的合成与平衡条件§3-5力的等效平移力系简化的基础知识2/6/20233（一）汇交力系：作用在物体上的各个力，如果其作用线交汇于同一点，则称该力系为汇交力系。平面汇交力系：作用在刚体上的各个力，其作用线位于同平面内，且交汇于同一点，则称该力系为平面汇交力系。F1F2F3A§3-1平面汇交力系的合成与平衡条件力系简化的基础知识2/6/20234

1、二力汇交的合成(几何法)：

平行四边形法则（三角形法则）：作用在物体上同一点的二个力可以合成为一个合力；反之，一个合力可以分解成任意二个方向的分力。只要知道一个分力的大小、方向，即可根据平形四边形法则确定另一个分力的大小方向。三角形法则：将两分力按其方向及大小首尾相连，则始点到终点的连线即为合力。该法则也称为三角形法则。力系简化的基础知识2/6/20235图示平行四边形法则(三角形法则)YXF1F2RRF1F2RF1F2力系简化的基础知识2/6/202362、平面汇交力系的合成―力多边形法则（几何法）各分力的矢量和为合力矢R

力系简化的基础知识FRFRF12F23F1F2F3F4F1F2F3F4力的平行四边形法则：汇交力系的几何法合成：力的多边形法则2/6/202372/6/20238力系简化的基础知识2/6/20239结论平面汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。2.1.1几何法返回首页2/6/202310平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形是自身封闭的力多边形。F1F2FiFn力系简化的基础知识2/6/202311几点讨论

合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关。各分力矢必须首尾相接。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。2.1.1几何法返回首页2/6/2023123、力的投影：力在轴上的投影（一般在X、Y方向），来源于平行光照射下物体影子的概念。为了便于代数运算，一般选择正交的坐标轴X、Y方向投影。力的投影是代数量，与坐标轴正方向相同为正。xx’ABab力系简化的基础知识2/6/202313力在坐标轴上的投影的定义：线段ab的长度并冠以适当的符号，称为力在轴上的投影，记为Fx。投影为正：从a到b的指向与投影轴x正向一致。投影为负：从a到b的指向与投影轴x正向相反。关于投影的数学定义：

Fx=F·nx（X=Fcos）

nx：是轴x的方向矢量合力投影定理：力系的合力在任一轴上的投影等于力系中各力在同一轴上的投影的代数和。这个定理可以由力的多边形法则直接导出（教材图3－7）可证：F1、F2、F3、F4的矢量和为AE，分别的投影为ab、bc、cd、de，其代数和为AE的投影ae。力系简化的基础知识2/6/202314力系简化的基础知识2/6/202315xyF1FnF2FixyRyRxRαβ4、平面汇交力系的合成与平衡，解析法：

（1）合成：平面汇交力系可以合成为一个合力，合力作用在该力系的汇交点上，合力的大小和方向由各个分力分别在两个不平行方向上（x轴与y轴）投影的代数和来确定。

Rx=∑Fix

=∑Xi

Ry=∑Fiy

=∑Yi

力系简化的基础知识2/6/202316R=Rx2+Ry2=（∑Fix

）2+（∑Fiy

）2COS=——————COS=—————RxRRRy（2）平衡（解析法）：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力为零，即力系的矢量和为零。合力在任意两个不平行方向上投影同时为零，或各力矢量分别在该二方向上的投影的代数和同时为零。

力系简化的基础知识平面汇交力系平衡Fx=0Fy=0R=Fi=02/6/202317平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形是自身封闭的力多边形。例题3-1、3-2P22-23F1F2FiFn力系简化的基础知识2/6/202318例3-1求图示平面汇交力系的合力。(大小和方向)已知：F1=3kN，F2=5kN，F3=6kN，F4=4kN。xyF145°F230°F4F360°Rx=3cos45°+5cos30°-6cos60°-4=-0.549kNRy=3sin45°-5sin30°-6sin60°-0=-3.379kNR=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN=arccos[(-0.549)/3.423]=260.8°(R指向第三象限）力系简化的基础知识2/6/202319例图示门式刚架，已知：P=20KN，不计刚架自重，求：支座A、D的约束反力。PBACDPBAC8m4mFDFAPFDFA解：1选取研究对象：“刚架”画受力图

2选取适当的比例尺，作封闭的力多边形10KNabc3求解未知量：可由图中直接量取:FA

=22.5KN,FD=10KN；亦可由几何关系计算出未知量：tg=1/2，cos=2/√5FD=Ptg=20/2=10kN，FA=P/cos=20/（2/√5）=22.4kN力系简化的基础知识D2/6/202320PBACDFDFA选取适当的坐标轴列平衡方程Fx=0P-FA·cos=0

Fy=0FD-FA·sin=0DPBAC8m4m注意：应使所选坐标轴与尽可能多的未知量相垂直，若所选坐标轴为水平或铅直方向，则在受力图中不用画出，否则，一定要画出。力系简化的基础知识2/6/202321例连杆机构OABC受铅直力P和水平力F作用而在图示位置平衡。已知P=4kN，不计连杆自重，求力F的大小。AFPBOC6001200AFPB解：“B”FABBFBCBFABAFAOAyFy=0FABB=P“A”Fx=0F

=FABA·cos300F=P·cos300P

·cos600-FABB·cos600=0FABA·cos300-

F=0=

FABB·cos300XX力系简化的基础知识2/6/202322力系简化的基础知识§3-2力对点的矩：GF2/6/202323力F对O点的矩：d为O点到力F作用线的（垂直）距离：记为

mO（F）=Fd，单位：N·m（牛顿·米）；矩心O力臂dαABF力系简化的基础知识2/6/202324矩心O力臂d位矢rαABF力矩的性质：

•力通过矩心，其矩为零；

•力沿作用线移动，不改变其矩；

•等值、反向、共线的两力对同一点矩之和为零；

•相对于矩心作逆时针转动的力矩为正；反之为负。

•力矩的数学定义：

m

O（F）=d×F

•m

O（F）=±2⊿OAB面积力系简化的基础知识2/6/202325合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系平面内任一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。数学形式：

例：按图中给定的条件，计算力F对A点的矩。

FAabmA（F）=Fasin-Fbcos力系简化的基础知识平面：MO(R)=MO(Fi)2/6/202326力偶定义：由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成力偶。对物体产生转动效应，为一新物理量。如司机两手转动方向盘，产生转动的作用。记号：m（F，F’）=mFF’d力系简化的基础知识§3-3力偶与力偶矩2/6/202327性质1：①无合力，故不能与一个力等效——在任一轴上投影的代数和均为零；②非平衡力系，不共线的相反平行力产生转动效果。所以，力偶与力分别是力学中的两个基本要素。力偶矩——力偶对物体转动效果度量，平面力偶为一个代数量，其绝对值等于力与力偶臂的乘积；其正负号表示力偶的转向，规定逆时针转向为

正，反之为负。m=±F*d力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。对应于式中的：F、d（二力作用线的矩）、号（定义逆时针转为正）力系简化的基础知识2/6/202328性质2.：力偶作用的转动效果与矩心位置无关，完全由力偶矩确定。mo（F）+mo（F’）=F*（d+x）-F*x=F*d=m推论1：力偶可以在其作用面内任意移动，不会改变它对刚体的作用效果。力偶矩的大小及转向：大小等于组成力偶的两个力对任一点之矩的代数和；转向由代数值的符号确定，逆时针为正。FFdOx力系简化的基础知识2/6/202329推论2：力偶矩大小只与乘积Fd有关，按比例任意改为nF*d/n=F·d，乘积不变。教材图3－17中的三种力偶表示，均为相同的力偶作用——力偶矩相等。10N1m=2m5N=m=10N·m力系简化的基础知识2/6/202330性质3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变.===2/6/202331平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为合力偶，合力偶矩等于平面各分力偶矩的代数和。M1+m2+﹍+mn=∑mi=m力系简化的基础知识§3-4平面力偶系合成与平衡条件2/6/202332力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似，力偶系的平衡即为力偶系的作用不能使物体发生变速转动，物体处于平衡状态，其合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代数和等于零。m=mi=0平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和等于零。mi=0力系简化的基础知识2/6/202333力系简化的基础知识2/6/202334力系简化的基础知识2/6/202335力系简化的基础知识2/6/2023362/6/202337例5：已知:

结构受力如图所示,图中M,r均为已知,且l=2r.试:画出AB和BDC杆的受力图;求A,C二处的约束力.力系简化的基础知识2/6/202338

受力分析:1.AB杆为二力杆;讨论

怎样确定B、C二处的约束力

2.BDC杆的B、C二处受力必形成有力偶，才能和主动力偶相平衡。力系简化的基础知识2/6/202339已知杆AB和杆CD的自重不计，且在C处光滑接触，若作用在杆AB上的力偶的矩为m1

，则欲使系统保持平衡，作用在CD杆上的力偶的矩的m2转向如图示，其矩为

。A：m2=m1;B：m2=4m1/3;C：m2=2m1。am1ADB600Cm2aA力系简化的基础知识2/6/202340ABCDEamaa3-14.图示结构受一已知力偶的作用，试求铰A和铰E的约束反力。解（1）取EC和CD为分离体CDEmNE45°

ND45°

∑mi=0，NEacos45°-m=0ND=NE=√2m/a（2）取整体为分离体∑mi=0，NA*2a-m=0NA=NB=m/（2a）NANB力系简化的基础知识2/6/202341力的等效平移定理是力系简化的基础。力的平移定理：P30

在同一刚体上A点的力F可以等效地平移到任意一点B。但必须附加一个力偶，其力偶矩等于F对作用点B的之矩。如图所示：

力系简化的基础知识§3-5力的等效平移2/6/202342F´

附加力偶m作用在刚体上A点的力F可以等效地平移到此刚体上的任意一点B，但必须附加一个力偶m，且：m=MB(F)=Fd。FA刚体BA刚体Bd力系简化的基础知识2/6/2023432/6/2023442/6/2023452/6/202346例3图示门式刚架，已知：P=20KN，不计刚架自重，求：支座A、D的约束反力。PBACDPBAC8m4mFDFAPFDFA解：1选取研究对象：“刚架”画受力图

2选取适当的比例尺，作封闭的力多边形10KNabc3求解未知量：可由图中直接量取:FA

=22.5KN,FD=10KN；亦可由几何关系计算出未知量：tg=1/2，cos=2/√5FD=Ptg=20/2=10kN，FA=P/cos=20/（2/√5）=22.4kN力系简化的基础知识D2/6/202347例4连杆机构OABC受铅直力P和水平力F作用而在图示位置平衡。已知P=4kN，不计连杆自重，求力F的大小。AFPBOC6001200AFPB解：“B”FABBFBCBFABAFAOAyFy=0FABB=P“A”Fx=0F

=FABA·cos300F=P·cos300P

·cos600-FABB·cos600=0FABA·cos300-

F=0=

FABB·cos300XX力系简化的基础知识2/6/202348PBACDFDFA选取适当的坐标轴列平衡方程Fx=0P-FA·cos=0

Fy=0FD-FA·sin=0DPBAC8m4m注意：应使所选坐标轴与尽可能多的未知量相垂直，若所选坐标轴为水平或铅直方向，则在受力图中不用画出，否则，一定要画出。力系简化的基础知识2/6/2023490.6m0.4mCBAF300例4、已知：机构如图，F=10kN，求：MA(F)=?dFxFy解:方法一:MA(F)=-F•d=-100.6

sin600方法二:MA(F)=-F•cos300•0.6+0=-100.6

cos300Fx

=Fcos300

MA(Fx)Fy

=-Fsin300

MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)力系简化的基础知识2/6/202350M=0M1

-FB·0-M=0M

=M1ABCDEMM1450aFBFA槽力系简化的基础知识2/6/202351已知杆AB和杆CD的自重不计，且在C处光滑接触，若作用在杆AB上的力偶的矩为m1

，则欲使系统保持平衡，作用在CD杆上的力偶的矩的m2转向如图示，其矩为

。A：m2=m1;B：m2=4m1/3;C：m2=2m1。am1ADB600Cm2aA力系简化的基础知识2/6/202352铰接四连杆机构O1ABO2在图示位置平衡。已知O1A=40cm,O2B=60cm，作用在杆O1A上的力偶的力偶矩m1=1Nm。试求杆AB所受的力S和力偶矩m2的大小。各杆重量不计。BAm1O1O2m2300力系简化的基础知识