测量误差分析与处理

第二章测量误差分析与处理本章主要内容：1.随机误差的分析2.系统误差分析3.等精度测量结果的数据处理本章重点：1.掌握标准偏差、标准误差、贝塞尔公式等概念和计算公式2.掌握随机误差、系统误差的基本概念、分析及处理方法。3.掌握等精度测量结果的数据处理方法本章难点：等精度测量结果的数据处理方法及应用。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.1随机误差的分析随机误差:测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。再规定的条件下对某一物理量重复测量时，所得结果互不相同，其总体服从统计规律，多数情况下服从正态分布，具有随机变量的一切特征.2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.1.1随机误差的正态分布连续型正态分布随机变量X的概率密度函数的数学表达式为：（2-1）式中μ——均值或数学期望值；——均方根差或标准差；2——方差

随机变量可能取值的范围和取这些值的相应概率,称为随机变量的概率分布.2/6/2023材料学院热能系周丽雯方差的定义是当n时，测定值xi与真值之差的平方的统计值，表示为：2-2则：2-3值恒为正值。如果令测定值x对真值的偏差为真误差，据定义，有

=x-，2-42/6/2023材料学院热能系周丽雯则2-1式可以改写成作用于该组测定值的随机误差的分布密度函数形式：2-5

函数p(x)或p()的图解曲线成为正态分布曲线，呈钟型，如图2.1所示。2/6/2023材料学院热能系周丽雯P（x）x图2-1正态分布（a）x的正态分布曲线（b）随机误差的正态分布曲线2/6/2023材料学院热能系周丽雯2.1.2正态分布密度函数与概率积分

将密度函数积分，就获得正态分布函数F（x），亦称概率积分或简称为概率：2-6由概率积分求随机误差出现在某一区间的概率为:2-72/6/2023材料学院热能系周丽雯而且，p(||)68.27%，p(||2)95.45%，p(||3)99.73%。以上关系示于图2-2。图2-2置信概率与置信区间

-3-2-02368.27%95.45%99.73%P()2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.1.3

随机误差的特点1对称性2单峰性3有界性4抵偿性

2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.1.4标准偏差图2-3表示了对应不同标准偏差的正态分布曲线。-6-4-20246P()图2-3标准偏差不同的正态分布曲线=0.4=1.0=2.52/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.2直接测量误差分析与处理2.2.1算术平均值与标准误差

一列n次等精度测量所得到的n个测定值xi为随机变量，其算术平均值为样本平均值的代数和除以样本容量，即：2-8当测量次数n时，的极限值称为该测量值的数学期望，其关系式为2-92/6/2023材料学院热能系周丽雯可以证明即Mx

=µ2-10上式说明的数学期望（统计平均值）等于真值µ。也就是说，算数平均值是真值µ的无偏估计。证明如下：

设测量序列为x1,x2,…,xn,则随机误差为：

i=xi-µi=1,2,…,n2-11将上式两边求和得：或2/6/2023材料学院热能系周丽雯对于有限测量列，其算术平均值是该测量值的最佳值。算术平均值原理:标准误差:算术平均值的均方根误差称为标准误差。可以证明：1.21.00.80.60.40.2

0510152025图2-4比值与n的关系曲线n2-122/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.2.2

标准偏差的估计值——贝塞尔公式一、剩余误差（残差）：随机变量的某一次测定值xi与全部测量结果算术平均值之差：二、贝塞尔公式三、标准偏差的标准偏差Vi=xi-2-132-142/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.2.3

小子样误差分析、t分布及其应用一、t分布（学生氏分布）2-15t分布的概率密度函数是：2-16

式中：是特殊函数，是正整数，t分布的自由度。当进行n次独立测量时=n-1。2/6/2023材料学院热能系周丽雯正态分布（n=)t分布（n=2)tF(t;)0图2-5

t分布曲线

假设一列等精度独立测量值x1，x2，…，xn

服从正态分布，真值µ和均未知，根据这一列测定值可求得子样平均值及均方根误差的估计值：2/6/2023材料学院热能系周丽雯

利用2-16作如下的概率描述：2-17或写成：2-18测量结果可表示成：(P=?)表2-1

t分布的分位数（tp）表

显然，tp>1,对于小子样，若用来计算误差限，往

往得到太好的结果。2/6/2023材料学院热能系周丽雯

例：用光学高温计测量某金属铸液的温度，得如下5个测量数据（℃):975,1005,988,993,987。设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。求铸液的实际温度（置信概率取99%）。

解：（1）（2）p=99.73%，置信系数k=3，

测量结果为：µ=989.8±3*4.7=989.8±14.1℃（3）因测量次数较少，采用t分布推断给定置信概率下的误差限：由p=99.73%，=5-1=4,查表4-1得tp=5.51,测量结果为：

µ=989.8±5.51*4.7=989.8±25.9℃ (p=99.73%)2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.3

间接测量的误差分析与处理

通过已经得到的有关直接测量量的平均值（也可是单次测定值）及其误差，估计间接测量量的真值及其误差。§2.3.1

误差传递原理：

设间接测量量y是可以直接测量量x1,x2,…,xm

的函数，其函数关系式为：

y=F(x1,x2,…,xm)5-1

假定对x1,x2,…,xm都进行了n次测量，那么每个xi(i=1,2，…m)都有自己的一列测定值xi1,xi2,…,xim,则：（1）间接测量量的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量量的算术平均值（I=1,2,…,m)，代入代数关系式5-1求得：5-2（2）间接测量量的标准误差是各独立直接测量量的标准误差和函数对该直接测量量偏导数乘积的平方和的根：5-3（3）局部误差的取舍原则：若某个局部误差小于间接测量量标准误差的1/3，则该局部误差是微小误差，可以舍去。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.3.2

间接测量误差分析在测量系统设计中的应用

误差传布原理不仅可以解决如何根据各独立的直接测量量及其误差估计间接测量量的真值及其误差的问题，而且对测量系统的设计有重要意义。如果规定了间接测量结果的误差不能超过某一值，那么可以利用误差传布规律求出各间接测量量的误差允许值，以便满足间接测量量允许误差的要求。同时，可以根据各间接测量量允许误差的大小选择适当的仪表。

一般采用等影响原则即：从而

进而考虑技术上实现的可能性及各测量量在函数关系中的地位，对误差分配进一步调整。（高次幂出现的应提高精度要求，对方根形式出现的可放松要求等。）2/6/2023材料学院热能系周丽雯

§2.3

剔除可疑数据的统计学方法

凡是用测量的客观条件不能解释为合理的明显偏离测量总体的个别测值，称为异常值（坏值）。异常值是虚假的，并会直接形象数据总体的正确性。测量中的粗大误差导致出现异常值。粗大误差又称疏失误差、粗差、差错。意指明显歪曲测量结果的误差。在测量过程中，粗大误差是偶然出现的，带有随机性。产生粗大误差的原因主要是测量方法不当，测试者的粗心大意，以及出现概率极小但作用较强的偶发性干扰等。粗大误差在数值上远大于随机误差或系统误差。严格地说，它已不属于误差的范畴，而是不应该发生但大多由于粗心大意而导致的一种错误。2/6/2023材料学院热能系周丽雯

根据随机误差的单峰性和有界性，绝对值很大的误差出现的概率很小。因此，总可以确定一些原则来判断某些可疑数据是否在正常的离散分布范围之内。用统计学方法处理可疑数据的实质，就是给定一个置信系数或置信概率，再根据a=k,找出相应的置信区间。凡在此区间以外的数据，就定为异常数据并从测定值数列中剔除。在实际测定值处理中，常用算术平均值代替真值，用标准偏差估计值代替标准偏差，凡测量值在区间[]以外，即6-12/6/2023材料学院热能系周丽雯这时，就将该数据xk定为坏值，弃而不用。公式6-1中，置信系数k选定过小，有可能把正常的测定值当成异常值剔除；置信系数给得过大，异常值又有可能未被鉴别出来，从而影响测值处理的精确度。下面介绍几种常用的判别方法。（1）莱特准则(3准则）6-2该准则是以n为前提的。当测量次数较少时，这个判据并不可靠。当n=10,若坏值xk包含在一列等精度测量值xi中，则：即式子恒成立，此时已无法依据莱特准则剔除坏值Xk。当然以上推算理论上也是不严格的，因为贝塞尔公式的引用有n的前提。

莱特准则的运用条件一般要求n20。2/6/2023材料学院热能系周丽雯（2）肖维勒准则同上，根据式6-1，当某剩余误差满足：剔除该坏值xk，式中n〈3，故肖维勒准则比莱特准则严格一些，更易于发现坏值。但在n<10时，使用这个判据也比较勉强。当n=4~10时，即使没有差错值，平均也会有（5~12）%的测量数据可能被误剔除，故该准则偏严。当n=185时，二判据相当；当在n>185时，肖维勒准则是对莱特准则的一种变革，但它没有固定的概率意义，特别是理论上当n时，n，此时所有异常值都不能被剔除。2/6/2023材料学院热能系周丽雯表6.2肖维勒系数n数值表2/6/2023材料学院热能系周丽雯（3）格拉布斯准则当6-4则认为xk为坏值。式中，=1-p为危险率；(,n)值列于表6.3。

格拉布斯准则是建立在统计理论基础上的较为合理的判断方法。在作以上统计学处理时，值不宜选得过小，否则正常值被误判的概率固然减小了，但把异常值判为正常值的另一种误判的可能性却增大了。工程计算时，通常取=0.05或0.01。表6.3格拉布斯系数(,n)数值表2/6/2023材料学院热能系周丽雯例2：重复测量某电压24次，测定结果如表6.4:求估计值及标准误差。解：（1）根据测量数据可以求出：根据莱特准则，全体数据可用。2/6/2023材料学院热能系周丽雯（2）根据肖维勒准则，n=24时，24=2.32。其中，故x8此时被判为坏值。剔除后重新计算：标准偏差已明显下降，而23=2.30，各剩余误差均能满足无新的坏值出现，各测定值可用。（3）根据格拉布斯准则，系数(0.01,24)=2.99，(0.05,24)=2.64。如果取=0.01，将判定x8为正常数据；若取=0.05，则x8被判为坏值。

从例6.2可以看出，对于同一测定值数列，三种判据的结论互有差异。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.4

系统误差

§2.4.1

系统误差的性质及分类

系统误差是指在规定的测量条件下多次测量同一量值时，误差的数值保持恒定，或按某种确定的规律变化的误差。系统误差具有下面特点：（1）确定性——系统误差是固定不变的，或是一个确定性的（非随机性质）时间函数，它的出现服从确定的函数规律。（2）重现性——在测量条件完全相同时，重复测量时系统误差可以重复出现。（3）可修正性——由于系统误差的重现性，就决定了它的可修正性。

系统误差的分类：（1）固定不变的系统误差。（2）线性变化的系统误差。（3）周期性变化的系统误差。（4）变化规律复杂的系统误差。变值系差恒值系差2/6/2023材料学院热能系周丽雯研究系统误差的意义在于：（1）对随机误差所进行的数学分析和处理，是以测量数据中不含系统误差为前提的。研究系统误差产生的原因极其规律，并消除或减弱其在误差总体中的影响，对以数理统计方法提高随即误差的分析至关重要。（2）系统误差在数值上常比随即误差大得多，但其出现的规律性又常隐含在测量数据中不易被发现，更由于多次重复测量不能降低它对测量结果准确度的影响，故比随即误差更具危险性。（3）对系统误差的性质及其本质的研究，有助于发现新的规律或事物。

恒定系差可以修正，而变值系差无法修正。二者都可以通过实验分析或计算予以抵消或削弱。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.4.2

系统误差的判别（1）实验对比法——通过改变产生系统误差的条件进行同条件的测量，以便发现误差，它用于发现固定不变的系统误差。（2）残余误差观察法——对被测量进行多次测量后得到测量列x1,x2,…,xn,便可算出相应的残余误差列，通过对残余误差列大小符号的变化分析，可以判断该测量列有无系统误差，这种方法主要用于发现有规律变化的系统误差。（3）残余误差之和相减法——当测量次数较多时，将测量列前一半的残余误差之和，减去测量列后一半的残余误差之和，若其差值接近于零，说明不存在变化的系统误差。若其差值明显不为零，则认为测量列存在着变化的系统误差。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.4.3

减少系统误差的方法

从现实的角度看,没有一种通用的处理模式来降低系统误差的影响,检验及鉴别实验中是否存在系统误差,分析产生系统误差的原因,估计系统误差的数值,以及尽可能消除产生系统误差的根源,或设法防止受到这些误差源的影响,例如提高操作人员的水平;改善测量工作环境,采用稳压、散热、恒温、屏蔽措施;定期校准仪表,正确调节零点;在读测数据时引入仪表的修正值等,这些都是减小系统误差较为有效的方法.

采用某些特定的测量技术,可以在相当程度上减小以致消除系统误差的影响,例如:(1)零示法_零示法属于比较测量法.它是把被测量与作为计量单位的标准的已知量进行比较,使二者的效应相互抵消.当总的效应为零时,指示读数为零或最小.零示法测量的准确度主要决定于标准已知量的准确性,而对平衡状态的判断是否准确,主要取决于指示器的灵敏度.零示法可以较好地消除系统误差.2/6/2023材料学院热能系周丽雯（3）交换法——交换法又称为对照法。交换法原理是交换改变测量条件，使产生系统误差的原因对测量结果起相反的作用，从而抵消了恒定系差。

系统误差的出现一般是有规律的，其产生的原因是可知或可以掌握的。工程测量中估计误差时，应该重点研究系统误差。在一个测量当中，如果系统误差很小，则测量结果的准确度就高。可以说，测量的准确度由系统误差来表征。如果存在某项系统误差，而我们却毫无察觉，那是很危险的。（2）

替代法——替代法是在测量条件不变的情况下，用已知量替代测量电路中的待测量，并使仪器的示值不变，以达到消除恒定系差的目的。此时，被测量就等于标准已知量。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.5

等精度测量结果的数据处理

恒定量数据处理的目的，就是从测量所得的一组等精度原始数据中，通过误差分析和加工整理，求出被测量值的最佳估计值，并计算其精度。

在一组等精度测量的数据中，常含有系统误差、随机误差和粗大误差。误差的性质不同，对误差的处理方法也不同。对于系统误差，可以采取消除误差源或减弱误差源的影响、以及对测定值进行修正等技术措施来处理；对于随机误差的影响，应该用统计平均的方法消除或削弱；而对含有粗大误差的坏值，则应予以剔除。当然，在实际测量中，随机误差、系统误差和粗大误差并不是一成不变的，它们在一定的条件下可以相互转化。2/6/2023材料学院热能系周丽雯数据处理的步骤如下：（1）判明是否含有系统误差，（方法如§3.2），然后，采取各种措施消除误差源或减小误差源的影响，用修正值等方法，减小恒定系差的影响。判明含有系统误差的测量数据，原则上应舍弃不用。（2）求算术平均值（3）求各测定值相应的剩余误差2/6/2023材料学院热能系周丽雯理论上讲，剩余误差之和为零。应予校准：（4）按贝塞尔公式计算数列标准偏差的估计值（5）判断测定值中是否含有坏值，并剔除之。当测量次数足够多时，可以用方法较为简单的莱特准则；如果n较少，应当用格拉布斯或肖维勒准则。（6）剔除坏值后，数据总数相应减少。应重新计算，vi和再判断和剔除可能出现的坏值。2/6/2023材料学院热能系周丽雯在一组测量数据中，由于粗大误差引起的坏值应当是很少的几个。如果剔除的坏值数目较多，则说明测量系统工作不正常，不具备精密测量条件，测量数据不可信。应重新安排测量工作，改善测量条件，获取新的测量数据。（7）计算算术平均值的标准误差估计值（8）按设定的数据量和置信概率，可以写出测量结果处理值及其可信范围的表示式。

(P=?)2/6/2023材料学院热能系周丽雯（9）测量结果的误差评价

测量误差即一定概率下真误差可能出现的范围的界限值也就是置信区间半长。实际测量中常用以下几种表示方法：1.标准误差(P=68.3%)2.平均误差（p=57.5%）这时实质是残差的平均值。2/6/2023材料学院热能系周丽雯3.或然误差（p=50%）4.极限误差（p=99.73%）

以上的表示方法的置信概率含义并不明确，因为即使测定值服从正态分布，其置信概率并不恒定，而是随n而异，因此，常用t分布估计测量误差。5.t分布误差估计（p=99%或p=95%）

t根据设定的置信概率p和样本容量n，由t分布表4-1查得。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.6

误差的综合（1）随机误差的综合

若测量结果中含有k项彼此独立的随机误差，各单项测量的标准误差分别为1,2,…,k，则k项独立随机误差的综合效应是它们的平方和之均方根。（2）系统误差的综合

若测量结果中含有l项已定系统误差分别为E1，E2，…，El,则已定系统误差的综合效应为：（3）未定系统误差的综合

估计出未定系统误差极限范围e，并设测量结果中含有m项未定系统误差为e1,e2,…,em,则：2/6/2023材料学院热能系周丽雯（4）误差合成规律测量系统的综合误差为：2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.7

组合测量的误差分析与处理§2.7.1概述

从一组离散的测量数据中，运用有关误差理论知识，用数学方法减小随机因数引起测定值对原函数的偶然偏差，求得一条能最佳地描述该原函数的曲线的过程，称为拟合。而以比较符合事物内在规律性的数学表达式来代表这一函数关系或你和拟合曲线的方法，称为回归分析。

采用回归分析，能够把测量数据的内在规律性用最佳的经验公式表示出来，关系简明紧凑，易于判断各因数的影响，从而能最优化的分析测试条件。回归分析后，还可进行微积分和插值处理，以及对变化趋势作某种预测和估计预测的精度等。2/6/2023材料学院热能系周丽雯

回归分析的主要内容有：（1）根据实验测量数据，确定变量之间是否存在相关关系，如果存在相关关系，则找出变量间关系的合适的数学表达式，对变量间的关系给以近似描述，从而建立表征被测系统基本特征的数学模型。（2）对关系式的可信程度进行统计检验，并了解这种归纳性预测的精度。2/6/2023材料学院热能系周丽雯§2.7.2

最小二乘法原理

最小二乘法原理是一个统计学原理，用来解决从一组测定值中决定最佳值或最可信赖值的问题，它在工程实际中应用很广泛。最小二乘法作为一种最似然方法，仅在正态分布误差的情况下才成立。然而在与正态分布差异不大，以及在误差很小的任意分布时，也常用最小二乘法原理来处理数据。假定某一元独立变量x的函数表示为：y=f(x;a,b,…)8-1式中，a,b,…是常数变量，而且是测量求解值。测量时，改变x数值，相继取x1,x2,…,xn,测量出对应值y1,y2,…,yn

,若测量无误差，则把n个测量结果yi及其对应值xi代入式8-1中，就可以得到n个方程，就能得到a,b,…共n个参数值。

2/6/2023材料学院热能系周丽雯然而yi的测量不可避免地含有误差，因而解出的a,b,…也必然有误差。为了简化讨论，假定xi的取值无误差，则真误差为：I=yi-f(xi

;a,b,…)8-2

设在等精度测量中，各测量值的出现是彼此独立的，互不相关，I为正态分布，故所有误差同时出现的概率为8-32/6/2023材料学院热能系周丽雯

根据正态分布的特性，在一组测量中，测量结果的最佳估计值乃是概率p为最大时所求出的计算值。为使p最大，显然应该令8-4或实际上，测定值的真值不可知，常用算术平均值代替真值，以剩余误差代替真误差，并以标准偏差的估计值代替标准偏差，则上式可以改写为：8-5

式8-5说明，测量结果中最佳估计值出现的条件是剩余误差平方和为最小，这在数学上称为最小二乘法。而8-62/6/2023材料学院热能系周丽雯

将式8-6代入8-5，有8-7

要求估计值能满足最小二乘条件8-7，就是要求8-8亦即要求解下列联立方程组：8-9式中，表示函数f(x;a,b,…)对a的偏导数在x=xi点上所取的值。2/6/2023材料学院热能系周丽雯方程组8-9称为正规方程或法方程。这是一个线性方程组，利用线性代数知识或