材料力学10组合变形

10组合变形110组合变形目录10.1斜弯曲10.2拉伸（压缩）与弯曲组合变形10.3弯曲与扭转组合变形10.4偏心拉伸与压缩10.5截面核心2轴向拉压MeMe扭转○○○F平面弯曲一、基本变形回顾FF3轴向拉压FFFFN

Fs4扭转MeMeMeMTMTτmaxτmaxρτ5平面弯曲中性层xyz主轴平面xy

s(Mz)中性轴FQy

Mz

6zxys(My)中性轴平面弯曲中性层xyz主轴平面xz

FQz

My

yxz7

事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。FFq＜＜FFF当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。8结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。斜弯曲：两平面弯曲的组合

F檩条二、组合变形9压弯组合变形ABFAxFAyPFFxFy10压弯组合变形11偏心压缩12拉弯组合变形13q弯扭组合变形14弯扭组合变形F15双向弯曲与扭转组合变形16

组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。

1.斜弯曲；

2.拉伸（压缩）与弯曲组合；

3.弯曲与扭转组合；

4.偏心拉伸与压缩。

应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。17三、组合变形下的计算⑤用强度理论进行强度计算。基本解法：①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；②分别计算各基本变形下的内力及应力；④对危险点进行应力分析；？

分析方法：叠加法

前提条件：小变形18思考题1.分析组合变形时，先分后合的依据是什么？2.叠加原理的适用条件是什么？能否应用于大变形情况？19平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合

一、斜弯曲的特征10.1斜弯曲20

受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。zyFFyFZlφ10.1斜弯曲21ACBF1F2平面弯曲斜弯曲10.1斜弯曲221.分解将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正交的平面弯曲。二、斜弯曲的研究方法

2.叠加分别研究两个平面弯曲；然后叠加计算结果。10.1斜弯曲23

例：分析图示悬臂梁斜弯曲时的强度计算。φFyzyzFφlx三、斜弯曲的强度计算10.1斜弯曲24平面弯曲（绕z轴）+平面弯曲（绕y轴）=+FφAByzxyzFy=FcosφxyzFz=Fsinφx解：1.

外力分析10.1斜弯曲252.应力分析+任一点K（y，z）处的正应力:注意：正应力

的正负号判定。yzxMzKyzxMyK10.1斜弯曲26+Mz图FlcosφMy图Flsinφ（1）确定危险截面:3.强度计算固定端截面zyFy=FcosφxyzFz=Fsinφx10.1斜弯曲27zyα中性轴先确定中性轴的位置；再作中性轴的平行线，与横截面边界相切，切点便是危险点。D1(y1,z1)D2D1、D2为危险点。a.若截面有棱角（如矩形、工字形等）（２）确定危险点，并计算出最大正应力。10.1斜弯曲28中性轴方程（1）中性轴是一条过截面形心的直线；斜率设（y0，z0）是中性轴上的任一点。

中性轴位置的确定yzFφα中性轴（y0，z0

）中性轴：中性轴上各点处的正应力均为零。10.1斜弯曲29（2）当Iz≠Iy，α≠φ，中性轴与荷载线不垂直。而挠曲线与中性轴垂直，所以挠曲线与荷载线不在同一平面内，为斜弯曲。yzxzyFφα中性轴荷载作用面Fφ荷载作用面f挠曲线平面10.1斜弯曲30+=mm中性轴maxtsD1D2若截面有棱角，也可无需定出中性轴，由直接观察得出，危险点必在棱角处。MymaxyzxD1D2yyWMmaxMzmax

yzxD1D210.1斜弯曲31zyα中性轴b.若截面无棱角，如何确定危险点?D1(y1,z1)D2D1、D2为危险点。?10.1斜弯曲32（3）强度条件危险点D1、D2处于单向应力状态。D1D2若许用拉、压应力不同，则拉、压强度均应满足。D1D210.1斜弯曲33a=26º34´hbyzq

例1

矩形截面木檩条，L=3m，q=800N/m，[]=12MPa，选择截面尺寸。解：qLABqzqy10.1斜弯曲341.分析斜弯曲时，如何确定危险点的位置？2.中性轴位置在何处？3.加载方向与中性轴之间的关系如何？思考题10.1斜弯曲35一、概念外力轴向力Ｆ横向力ｑ

轴力弯矩剪力（忽略）内力二、计算方法1.分别计算轴向力和横向力引起的正应力；2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。xqFFy正应力正应力应力10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形36三、注意事项

1.若许用拉、压应力不同，最大拉、压应力应分别满足拉、压强度条件。

2.对于EI较大的杆，由于横向力产生的挠度与横截面尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩∆M=Fy可以忽略，叠加原理可以应用。

如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则∆M=Fy不能忽略，这时叠加法不再适用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。

xqFFy10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形37例

图示起重机的最大吊重G=12kN，材料的许用应力[σ]=100MPa，试为AB杆选择适当的工字梁。

一、计算简图及外力分析FAxFAyFCABGFyFxB2m1m1.5mGACD10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形38FAyFAxCABGFxFyFAxCABFxCABGFAyFy二、变形分析弯曲轴向压缩压弯组合变形10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形39FAxCABFxFAyCABFy24kN_FN12kN·m_M三、内力分析C点左侧截面是危险截面???10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形40xy四、应力状态单向应力状态

10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形41确定危险截面确定危险点五、确定危险截面、危险点、建立强度条件24kN_FN12kN·m_MD1D2Ｄ１点Ｄ２点10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形42六、选择工字钢型号１．按弯曲正应力强度条件选取截面。（暂不考虑轴力的影响）２．按压弯组合变形校核。C截面下缘的压应力最大。选取16号工字梁是合适的。

选取16号工字钢，W=141cm3，A=26.1cm2。24kN_FN12kN·m_MC讨论：为什么只要校核σcmax，不要校核σtmax？10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形43分析步骤：建立计算简图及外力分析;变形分析；内力分析；根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算。10.2拉伸压缩与弯曲的组合变形44钻床10.3弯曲与扭转组合变形45ACEBMOAFrF250250DdMOA

=1kN·m齿轮直径D=80mm切向力F和径向力Fr=Ftan20°轴的直径d=60mm材料的许用应力[σ]=170MPa试用第三或第四强度理论校核轴的强度。10.3弯曲与扭转组合变形46BxACyzFrMOAE一、计算简图及外力分析

FZMOEMOAFrF250250DACBEdＦcZＦcyＦBZＦBy10.3弯曲与扭转组合变形47二、变形分析xy面弯曲xz面弯曲扭转弯扭组合变形MOEMOABCEAFrMOAEFZMOEＦcZＦcyBＦBZＦByxACyzFrＦByＦCyBCEyxAFzＦBzＦCzBCEzxA10.3弯曲与扭转组合变形48yz三、内力分析MyMzMM作用面中性轴ＭT1kN·m＋MOEMOABCEAE截面是危险截面???1.14

kN·mMz3.13kN·mMy3.33kN·mMFrＦByＦCyBCEyxAFzＦBzＦCzBCEzxA10.3弯曲与扭转组合变形49xyz四、应力状态二向应力状态（1）（2）

M中性轴压拉ＭTyz10.3弯曲与扭转组合变形50σ是由弯曲变形引起的，σ可以由其他变形引起吗？同样，τ是由扭转变形引起的，τ可以由其他变形引起吗？适用于非圆截面杆吗？和2.公式讨论：1．在例题中，和中的10.3弯曲与扭转组合变形513.33kN·mMxy

z确定危险截面确定危险点（1）（2）五、确定危险截面、危险点、建立强度条件或1kN·mＭT＋E1E210.3弯曲与扭转组合变形52六、强度校核1kN·mＭT＋3.33kN·mM10.3弯曲与扭转组合变形53分析步骤：建立计算简图及外力分析;变形分析；内力分析；根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算．10.3弯曲与扭转组合变形54FＭTＭTFa_对图示钢制摇臂轴AB段进行强度校核，已知构件尺寸和材料的［σ］．思考题：对于变截面轴，如何确定危险截面？若选用不同的强度理论，危险截面是否有所不同？若C截面处有一水平力，能否用公式：？xlayzFCBdAxlayzFCBdAFxlayzFCBdAEDFlM_10.3弯曲与扭转组合变形55OzyOOxyzAFezPyPyPzPA一、偏心拉伸或压缩外力与轴线平行，但不与轴线重合。10.4偏心拉伸与压缩56OzyOOxyzAFezPyPyPzPAFMz

=FyPMy=FzP二、横截面上任意点的应力

1.将力F向形心简化；F：轴向压缩Mz：绕z轴的纯弯曲My：绕y轴的纯弯曲10.4偏心拉伸与压缩57OzyOOxyzyBzFMz

=FyPMy=FzP3.组合应力：

2.任一点（y,z）的正应力分别为：B10.4偏心拉伸与压缩58OzyzPAyPazay三、中性轴位置的确定

1.设（y0，z0）是中性轴上任一点，得中性轴方程y0=f(z0)为：

—直线方程

3．中性轴在y、z轴上的截距分别为：

4.ay、az分别与yP、zP符号相反，故中性轴与偏心压力F的作用点位于截面形心的两侧。2．中性轴是不过截面形心的直线，将截面分成两个区。

（y0，z0

）＋－10.4偏心拉伸与压缩59Ozy＋－四、确定危险点、建立强度条件作中性轴的平行线，与横截面边界相切，切点D1和D2便是危险点。危险点D1、D2处于单向应力状态D1D1(y1，z1)D2(y2，z2)10.4偏心拉伸与压缩60思考题在偏心压缩的情况下，中性轴一定通过截面形心吗？中性轴一定在截面内吗？中性轴位置与力作用点的坐标有何关系？10.4偏心拉伸与压缩61例

图示压力机，F=1400kN，机架用铸铁作成，[σt]=35MPa，[σc]=140MPa，试校核压力机立柱的强度。500FFhzycyc立柱截面的几何性质为：yc=200mm

h=700mm

A=1.8×105mm2

Iz=8.0×109mm4。10.4偏心拉伸与压缩62FeFN=FM=FeFN=Fs′sa″sb″M=Fesasbe=yc+500=700mm最大正应力在a、b处。符合强度要求。

500FFhzycycy2ycbca讨论：若按来定中性轴位置，对吗？10.4偏心拉伸与压缩63Ozy－2.研究意义

①工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截面上不出现拉应力；②地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。

1.定义azay＋zPAyP当压力F作用在截面的某个区域内时，整个截面上只产生压应力，该区域通常就称为截面核心。10.5截面核心64Ozy3.求截面核心方法

（1）基本方法：将截面边界上任一切线作为中性轴，反求出相应压力F

作用点位置，其连线即