流体力学第一章

人生有规划，便活的从容，活的无悔。1比利时的《老人》杂志曾在全国范围内，对60岁以上的老人开展了一次题为“你最后悔什么”的专题调查。调查结果十分有意思：72%的老人后悔年轻时努力不够，以致事业无成；67%的老人后悔年轻时错位选择了职业；63%的老人后悔对子女教育不够或方法不当；58%的老人后悔锻炼身体不够；56%的老人后悔对伴侣不够忠诚；47%的老人后悔对双亲尽孝不够；41%的老人后悔自己未能周游世界；32%的老人后悔一生过得平淡，缺乏刺激；11%的老人后悔没有赚到更多的金钱。1.2流体力学研究的对象和应用1.流体力学研究的对象流体，包括气体和液体。2.流体的定义通常说能够流动的物质为流体；若按照力学术语定义，则在任何微小切力的作用下都能发生连续变形的物质称为流体。流体的特征?流体只能承受压力，不能承受拉力；静止状态只有压应力。没有固定的形状，液体的形状取决于盛装它的容器；气体则完全充满容器；流体具有可压缩性；液体可压缩性小，水受压从1个大气压增加至100个大气压时，体积仅减小0.5%；气体可压缩性大；流体具有明显的流动性。

什么是流体

从列举的角度水、大气、油；烟雾、沙尘暴

从归纳的角度：易于流动，不能保持一定的形状固体液体气体

从本质的角度：在无数分子的聚集体内，分子间不具有绝对的约束力，分子活动剧烈宇宙内星系群复杂道路的交通流1.2流体力学研究的对象和应用1.2流体力学研究的对象和应用流体力学研究流体在外力作用下宏观的平衡及运动规律以及流体与固体间的相互作用，即流体机械运动的规律以及应用这些规律解决工程实际问题的一门学科。流体力学的研究内容流体平衡的条件及压强分布规律流体运动的基本规律流体绕流某物体或通过某通道时的速度分布、压强分布、能量损失以及流体与固体间的相互作用1.3连续介质模型1.问题的提出从微观上看：由于构成流体的无数分子之间存在间隙，流体不连续。从宏观上看，流体力学并不研究流体的微观分子运动，而只研究流体的宏观机械运动。当所讨论问题的特征尺寸远大于流体的分子平均自由程时，可将流体视为在时间和空间连续分布的函数。

0C，1mm3水含3.4×1019个分子气体含2.7×1016个分子如此大量的分子，容易取得它们共同作用的有代表性的统计平均值1.3连续介质模型2.流体质点是研究流体的机械运动中所取的最小流体微元是体积无限小而又包含大量分子的流体微团从宏观看，和流动所涉及的物体的特征长度相比，该微团的尺度充分小，在数学上可以作为一个点来处理从微观看，和分子的平均自由行程相比，该微团的尺度又充分的大，包含有足够多的分子，使得这些分子的共同物理属性的统计平均值有意义流体分子流体微团或流体质点流体质点组成连续介质的流体质点，指的是微观上无穷大，宏观上充分小的分子团。宏观运动特征尺度L3逻辑抽象的流体质点L2分子间距L1一滴水流体质点L3>>L2>>L11.3连续介质模型1.3连续介质模型3.连续介质模型不必去研究流体的微观分子运动，而只研究描述流体运动的宏观物理属性（如密度、压强、速度、温度、粘度、热力学能等）不考虑分子间存在的间隙，而把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质

按照连续介质模型，流体的密度、压强、速度、温度等物理量一般在时间和空间上都是连续分布，是空间坐标和时间的单值连续可微函数，这样可以用解析函数的诸多数学工具去研究流体的平衡和运动规律，为流体力学的研究提供了很大的方便。1.3连续介质模型例外情况超声速气流中出现激波在空气非常稀薄的高空中运动的飞行器解析函数不适用分子的平均自由行程和飞行器的特征尺寸相比拟强调三点内容1、当流体力学中引进连续介质假设,并将流体近似看成是由流体质点连续地无空隙地组成后,我们将不再考虑流体的分子结构.也就是说,从连续介质力学看来,流体的形象是宏观的均匀连续体,而不是微观的包含大量分子的离散体.2、在流力中谈到流体质点的位移,不是指个别分子的位移,而是指包含大量分子,在流体力学中看成是几何点的分子团的位移,特别地当我们说流体质点处于静止状态时,那就是说它将永远留在原地不动,虽然那里的分子由于热运动将不断移动位置。3、当我们在连续介质内某点A上取极限时,不管离A多近的地方都有流体质点存在,并有确定物理值。而不这样认为：在取极限时会出现叙列点陷入分子间真空区的现象,因为我们已经将流体看成是宏观连续体,不再认为其中有分子结构了。1.3连续介质模型1.3连续介质模型小结：研究流体的最小物理微元？流体微团或流体质点1.4流体的主要物理性质1.流体的密度表征流体的质量在空间的密集程度，单位为kg/m3。均质流体式中，m为流体的质量，V为流体的体积。非均质流体式中，δV为在空间某点取的流体体积，流体的质量为δm。这里数学上的δV→0，从物理上应理解为体积缩小到前面所讲的流体质点。注意4℃水的密度ρ=1000kg/m30℃水银的密度ρ=13600kg/m30℃空气的密度ρ=1.29kg/m3常用流体的密度值1.4流体的主要物理性质2.流体的比体积单位质量流体占有的体积，即密度的倒数，单位m3/kg。3.流体的压缩性流体在一定温度下，压强增高，体积缩小。体积压缩率在一定温度下单位压强增量引起的体积变化率，单位Pa-1。可见，对于同样的压强增量，κ值大的流体体积变化率大，容易压缩；κ值小的流体体积变化率小，不容易压缩。为了保证压缩率为正，故加上负号“-”式中，δp为压强增量，δV为体积的变化量。1.4流体的主要物理性质体积弹性模量为压缩率的倒数，单位为Pa。可见，K值大的流体压缩性小，K值小的流体压缩性大。4.流体的膨胀性温度升高，体积膨胀体胀系数在一定压强下单位温升引起的体积变化率，单位1/k或1/C。式中，δT为温度的增量。1.4流体的主要物理性质通常情况下，水和其它液体可视为不可压缩流体，而将气体视为密度可变的可压缩流体特例：水下爆炸、水击、热水采暖需考虑水的压缩性和膨胀性；当气体流速比声速小很多时，也可视为不可压缩流体。流体的压缩性和膨胀性1.4流体的主要物理性质5.流体的粘性是流体抵抗变形的能力，是流体的固有属性，是运动流体产生机械能损失的根源。流体的粘性UF’Fxyoyh牛顿粘性应力公式牛顿发现：并且F与流体的种类有关即：1.4流体的主要物理性质式中，μ为流体的动力粘度，与流体的种类、温度、压强有关，在一定的温度压强下为常数，单位Pa·S；

U/h为速度梯度，表示在速度的垂直方向上单位长度的速度增量，单位S-1；A为两平板的接触面积。切向应力是指流层间单位面积上的内摩擦力，即：xyx+xxyyo当流动为二维非线性速度分布时，牛顿粘性应力公式可表示为：各流层间的切向应力和速度梯度成正比1.4流体的主要物理性质流体流动的速度梯度与流体微团的角变形速度的关系为：牛顿粘性应力公式用流体微团的角变形速度可表示为：各流层间的切向应力和流体微团的角变形速度成正比yxt在流体力学中还常遇到动力粘度与密度的比值，即运动粘度，单位为m2/s1.4流体的主要物理性质流体粘性的形成因素通常情况下形成流体粘性的因素有两个方面：一是流体分子间的引力在流体微团相对运动时形成的粘性；二是流体分子的热运动在不同流速流层间的动量交换所形成的粘性。当温度升高时：气体的粘性增大，液体的粘性减小。对于气体，形成粘性的主要因素是分子的热运动对于液体，形成粘性的主要因素是分子间的引力1.4流体的主要物理性质例题1如图所示，转轴直径d=0.36m，轴承长度l=1m，轴与轴承之间的间隙=0.2mm，其中充满动力粘度=0.72Pa·s的油，如果轴的转速n=200r/min，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。dn解：油层与轴承接触面上的速度为零，与接触面上的速度等于轴面上的线速度：轴表面上的切向力为：克服摩擦所消耗的功率为：1.4流体的主要物理性质例题2如图所示，上下两平行圆盘的直径为d，两盘之间的间隙为，间隙中流体的动力粘度为，若下盘不动，上盘以角速度旋转，不记空气的摩擦力，求所需力矩M的表达式。drdr解：假设两盘之间流体的速度为直线分布，上盘半径r处的切向应力为：所需力矩为：走着走着，就散了，回忆都淡了；

看着看着，就累了，星光也暗了；

听着听着，就醒了，开始埋怨了；

回头发现，你不见了，突然我乱了一生至少该有一次，为了某个人而忘了自己，

不求有结果，不求同行，不求曾经拥有，

甚至不求你爱我，只求在我最美的年华里，遇到你。

习惯，失眠，习惯寂静的夜，躺在床上望着天花板，想你淡蓝的衣衫。

习惯，睡伴，习惯一个人在一个房间，抱着绒绒熊，独眠。

习惯，吃咸，习惯伤口的那把盐，在我心里一点点蔓延。

习惯，观天，习惯一个人坐在爱情的井里，念着关于你的诗篇。

一个人的世界，很安静，安静的可以听到自己的呼吸声和心跳声。

冷了，给自己加件外套；

饿了，给自己买个面包；

病了，给自己一份坚强；

失败了，给自己一个目标；

跌倒了，在伤痛中爬起并给自己一个宽容的微笑

是啊，我总是一个人，你从来不曾来过，

我也从来不曾出现在你的世界你见，或者不见我，我就在那里，不悲不喜；

你念，或者不念我，情就在那里，不来不去；

你爱，或者不爱我，爱就在那里，不增不减；

你跟，或者不跟我，我的手就在你手里，不舍不弃面对，不一定最难过。

孤独，不一定不快乐。

得到，不一定能长久。

失去，不一定不再拥有。

不要因为寂寞而错爱，不要因為错爱而寂寞一生。

你会不会忽然的出现，在街角的咖啡店，

我会带着笑脸，和你寒暄，

不去说从前，只是寒暄，

对你说一句，只是说一句，

好久不见...

如果真相是种伤害，请选择谎言。

如果谎言是一种伤害，请选择沈默。

如果沈默是一种伤害，请选择离开。

那个他打电话来问：’你好么？’

你稀松平常的回答：’我很好。’

其实你还爱着他，你一点也不好。

男人伪装坚强，只是害怕女人会发现他软弱。

女人伪装幸福，只是害怕男人发现她伤心。

Inyourpursuitofyourpassions,alwaysbeyoung.Inyourrelationshipwithothers,alwaysbegrown-up.–TomBrokaw追寻兴趣时保持年轻，与人相处时保持成熟。——汤姆·布洛卡Unlessyoutrytodosomethingbeyondwhatyouhavealreadymastered,youwillnevergrow.–RalphWaldoEmerson如果你不尝试自己能力之外的事情，你永远不会成长。——拉尔夫‧爱默生面朝大海春暖花开海子从明天起，做一个幸福的人喂马、劈柴，周游世界从明天起，关心粮食和蔬菜我有一所房子，面朝大海，春暖花开从明天起，和每一个亲人通信告诉他们我的幸福那幸福的闪电告诉我的我将告诉每一个人给每一条河每一座山取一个温暖的名字陌生人，我也为你祝福愿你有一个灿烂的前程愿你有情人终成眷属愿你在尘世获得幸福我只愿面朝大海，春暖花开1.4流体的主要物理性质6.理想流体没有粘性的流体，即=0。理想流体是假想的流体模型，客观上并不存在。实际流体都是有粘性的。可以把实际流体看成理想流体的情况：实际流体的粘性显现不出来，如静止的流体、等速直线运动的流体等粘性不起主导作用采用理想流体假设可以大大简化理论分析过程。1.4流体的主要物理性质7.牛顿流体和非牛顿流体牛顿流体切向应力和流体的速度梯度成正比的流体，即满足牛顿粘性应力公式的流体。非牛顿流体不满足牛顿粘性应力公式的流体。其一般表示式为：式中，为流体的表观粘度，k为常数，n为指数。DACB0τoA：理想流体，如水和空气B：理想塑性体，如牙膏C：拟塑性体，如粘土浆和纸浆D：胀流型流体，如面糊1.5作用在流体上的力为了研究流场中流体平衡和运动的规律，必须分析作用在流体上的力。作用在流体上的力按其性质（作用方式）的不同，可分为：表面力：流体分离体以外的物体作用在分离体上的力质量力：某种力场作用在全部质点上的力1.表面力tnFFtFnA作用在分离体表面上的表面应力为：法向应力和切向应力分别为：pn与n的方位不一致，其大小和点的坐标、时间以及作用面的方位有关，即：pn=f(x,y,z,n,t)1.5作用在流体上的力2.质量力常见的质量力有：单位质量力某种力场作用在单位质量流体上的质量力。注意：惯性力是根据达朗贝尔原理虚加在做加速运动物理上的力重力惯性力xyza对于如图所示竖直向下做加速运动的容器，单位质量力三个坐标轴方向的质量力分布为：第2章流体静力学2.1流体静压强及其特性2.2流体平衡微分方程式2.3重力场中流体的平衡2.4液体的相对平衡2.5液体对壁面的作用力2.6浮力返回目录研究流体平衡的条件及压强分布规律研究流体与固体间的相互作用及其工程应用静止或平衡状态：相对静止或相对平衡状态：流体相对于地球没有运动流体相对于非惯性坐标系没有运动流体静力学研究的是流体平衡的规律在研究流体平衡时，通常将地球选作惯性坐标系2.1流体静压强及其特性1.流体静压强当流体处于静止或相对静止状态时，作用在流体上的力只有法向应力，没有切向应力。此时的法向应力就是沿作用面内法线方向的静压强。用符号p表示，单位为Pa。2.流体静压强的特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向2.1流体静压强及其特性特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数xyzpxpzpypnxyzABCD如图所示，在静止流体中的点A取一微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别为x、y、z，三角形BCD的面积设为S，各微小平面中心点上的压强分别为px、py、pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为fx、fy、fz。由于流体静止，则作用在四面体上的力平衡，即：2.1流体静压强及其特性以x坐标轴方向为例，作用在四面体上的力在x方向上的平衡方程为：因为：故上式简化为：让四面体无限缩小到点A，上式第二项为无穷小，可以略去，故得：同理：即：可见，在静止流体中任一点上任意方向的压强相等，是空间坐标的连续函数，即：2.2流体平衡微分方程式1.流体平衡微分方程式在静止流体中取一边长分别为x、y、z的微小立方体，中心点为a（x,y,z），该点的密度为，静压强为p。abcxzyxyzfx作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:2.2流体平衡微分方程式以微小立方体的质量xyz除以上式，得a点在x方向的平衡方程：写成矢量形式：上式即为流体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。该式的物理意义为：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。该方程对不可压缩流体和可压缩流体的静止和相对静止状态都适用，是流体力学的基本方程。2.2流体平衡微分方程式2.压强差公式和等压面等压面将流体平衡微分方程的两端分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得：即：在流场中压强相等的点组成的面，dp=0，p(x,y,z)=const。压强差公式，表明流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量。等压面的微分方程，表明在静止的流体中作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面。写成矢量形式：2.3重力场中流体的平衡1.流体静力学基本方程式xyzz2z1p1p212p0o在重力场中，单位质量力只有重力，即：

代入压力差公式得：

积分得：

方程两边同除以g，得：如图所示，上式可写成：流体静力学基本方程式，适用于重力作用下静止的不可压缩流体。2.3重力场中流体的平衡2.流体静力学基本方程式的物理意义z——单位重量流体的位置势能p/(g)

——单位重量流体的压强势能z+p/(g)

——单位重量流体的总势能

方程的物理意义是：在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。xzzhpapp0hob2.3重力场中流体的平衡3.流体静力学基本方程式的几何意义水头单位重量流体的势能具有长度的单位，可以用液柱高度来表示。z——位置水头p/(g)——压强水头z+p/(g)——静水头2.3重力场中流体的平衡积分常数根据自由表面上的边界条件确定：

4.重力作用下静止液体内的静压力分布在重力场中，单位质量力只有重力，即：

代入压力差公式积分得：xyzz0zp0oh所以任意坐标z处的压强为：在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中，静压强由两部分组成：自由表面上的压强p0淹没深度为h、密度为的流体柱产生的压强gh帕斯卡原理：指加在密闭液体任何一部分上的压强，必然按照其原来的大小由液体向各个方向传递.只要液体仍保持其原来的静止状态不变，液体中任一点的压强均将发生同样大小的变化。这就是说，在密闭容器内，施加于静止液体上的压强将同时传到各点。由法国数学家、物理学家B·帕斯卡于1653年提出，在流体机械工程中广泛应用

2.3重力场中流体的平衡5.绝对压强、计示压强、真空和真空度绝对压强以完全真空为基准计量的压强，如p=pa+gh

中的p。计示压强（相对压强）以当地大气压强为基准计量的压强，如pe=p-pa=gh

中的pe。真空当流体的绝对压强低于大气压强时，该区域处于真空。计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即：pv=-pe=pa-p真空度ppepvppp=0pap<pap>pa2.3重力场中流体的平衡6.液柱式测压计测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通。测压管hp0ppahpap不足之处是?2.3重力场中流体的平衡U形管测压计这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，U形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。h1h2pap1122由于1和2点在同一流体的等压面上，故：故有：其中：被测液体的压强高于大气压强2.3重力场中流体的平衡被测液体的压强低于大气压强h1h2pap11222.3重力场中流体的平衡U形管压差计hh2h1B11A212由于1、2两点在同一等压面上，故有：A、B两点的压强差为：若被测流体为气体，由于气体的密度很小，1gh可以忽略不计。2.3重力场中流体的平衡例题1h1h2h3h4h511223344BBA1123已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000kg/m3，2=800kg/m3，3=13598kg/m3，求A、B两点的压强差。解：图中1-1、2-2、3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：联立求解得：A、B两点的压强差为：2.3重力场中流体的平衡F2F1hped1d2aa例题2两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强pe=9810Pa；第二圆筒直径d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差h。（已知水银密度=13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面产生的压强分别为：图中a-a为等压面，第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有：2.4液体的相对平衡匀加速运动时匀速旋转时1,知之为知之，不知为不知，是知也。——《论语·为政》

2,君子耻其言而过其行。——《论语·宪问》

3,士虽有学，而行为本焉。——《墨子·修身》4,道虽迩，不行不至；事虽小，不为不成。——《荀子·修身》

5,善言古者必有节于今，善言天者必有证于人。——《荀子·性恶》

6,谨于言而慎于行。——《礼记·缁衣》

7,君子强学而力行。——杨雄《法言·修身》

8,实事求是。——《汉书·河间献王刘德传》

9,百闻不如一见。——《汉书·赵冲国传》

10,临渊羡鱼，不如退而结网。——《汉书·董仲舒传》

11,事莫明于有效，论莫定于有证。——王充《论衡·薄葬》

12,名必有实，事必有功。——荀悦《申鉴·俗嫌》

13,操千曲而后晓声，观千剑而后识器。——刘勰《文心雕龙·知音》

14,古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。-陆游《冬夜读书示子聿》

15．非我而当者，吾师也；是我而当者，吾友也；谄谀我者，吾贼也。-《荀子·修身》

16．己欲立而立人，己欲达而达人。——《论语·雍也》

17．君子贤而能容罢，知而能容愚，博而能容浅，粹而能容杂。——《荀子·非相》

传统文化----务实篇2.4液体的相对平衡1.水平等加速直线运动容器中液体的相对平衡单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为：代入压强差公式得：积分上式得：根据边界条件：x=0，y=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：水平等加速直线运动容器中液体静压强的分布规律流体静压强的分布规律ayz

p0xg-afo2.4液体的相对平衡等压面方程以（xs，ys，zs）表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：将质量力代入等压面方程得：积分上式得：等压面方程，不同的积分常数C1代表不同的等压面。等压面与水平面之间的夹角为：2.4液体的相对平衡如果y坐标都相同，对于液面内任意一点，有：将上式代入静压强分布规律得：ayz

p0xoh等加速直线运动容器中，液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。2.4液体的相对平衡2.等角速旋转容器中液体的相对平衡作用在半径为r处的液体质点上的单位质量力沿坐标轴的分量为：流体静压强的分布规律代入压强差公式得：积分上式得：yxyoo2r2y2xhzp0r2.4液体的相对平衡根据边界条件：r=0，z=0时p=p0，代入上式得积分常数C=p0，故有：等角速旋转容器中液体静压强的分布规律等压面方程将质量力代入等压面方程得：积分上式得：等压面方程，是以z轴为旋转轴的旋转抛物面方程，不同的积分常数C1代表不同的等压面。2.4液体的相对平衡以下标s表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：如果考察的是相同半径r处的情况，则由上式得液面下任一点处：将上式代入静压强分布规律得：上式表明，等角速旋转容器中液体相对平衡时，液体内任一点的静压强仍然是液面上的压强p0与淹没深度为h密度为的液柱产生的压强gh之和。2.4液体的相对平衡3.两个特例特例一：顶盖中心开口的旋转容器zoRpa代入压强差公式并积分得：根据边界条件：r=0，z=0时p=pa，代入上式得积分常数C=pa，故有：作用在顶盖上的计示压强为：2.4液体的相对平衡特例二：顶盖边缘开口的旋转容器代入压强差公式并积分得：根据边界条件：r=R，z=0时p=pa，代入上式得C=pa-2R2/2，故有：作用在顶盖上的真空度为：zoRpa2.4液体的相对平衡例题1h2h1Lazyo汽车上有一与水平运动方向平行放置的内充液体的U形管，已知L=0.5m，加速度a=0.5m/s2，试求U形管外侧的液面高度差。解：质量力在坐标轴方向的分量为：代入压强差公式并积分得：在y=0，z=0处，p=pa求得C=pa，即：在y=-L，z=h1-h2处，p=pa，代入上式得：即：2.4液体的相对平衡例题2圆筒形容器的直径d=300mm，高H=500mm，容器内水深h1=300mm，容器绕中心轴等角速旋转，试确定（1）水正好不溢出时的转速n1；（2）旋转抛物面的顶点恰好触及底部时的转速n2；（3）容器停止旋转后静水的深度。dh2h1Hz解：设坐标原点始终位于凹液面的最低点。当水恰好触及容器口时，自由液面所包容的体积等于原来无水部分的体积，即：其中：所以：2.4液体的相对平衡

当自由液面形成的抛物面恰好触及容器底部时，抛物面所包容的体积正好为容器体积的一半，此时：当容器停止转动时容器中水的高度为：2.5液体对壁面的作用力2.5液体对壁面的作用力1.静止液体作用在平面上的总压力液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力。通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境中，壁面两侧都受到大气压强的作用，因此只需按静止液体的计示压强去计算总压力。xypaohhChDdFpdFxxCxDdACDA总压力的大小和方向在平面上取一微元面积dA，其中心的淹没深度为h，到oy轴的距离为x，液体作用在该微元面积上的微元总压力为：在平面上积分上式，可得液体作用在平面上的总压力：2.5液体对壁面的作用力上式中，为平面对oy轴的面积矩，xc为平面形心的x坐标，故：液体作用在平面上的总压力等于以该平面为底、平面形心的淹没深度为高的柱体内液体的重量，并垂直指向平面。四个容器底面上的总压力相等2.5液体对壁面的作用力总压力的作用点总压力Fp对oy轴的力矩等于各微元总压力对oy轴的力矩的代数和，即：式中，为面积A对oy轴的惯性矩，故有：根据惯性矩平行移轴定理Iy=Icy+xc2A(Icy为面积A对通过其形心并平行于oy轴的坐标轴的惯性矩），代入上式，得：2.5液体对壁面的作用力同理可求得压力中心的y坐标：若通过形心的坐标系中有任何一轴是平面的对称轴，则Icxy=0，yD=yc，压力中心便在通过平面形心平行于x轴的直线上。式中，yc为平面形心的y坐标，Ixy、Icxy分别为平面对oxy坐标系和通过平面形心并平行于oxy的坐标系的惯性积。由于Icy/(xcA)恒为正值，故xD>xc,即压力中心永远在平面形心的下方。2.5液体对壁面的作用力例题一矩形闸门宽度为b，两侧均受到密度为的液体的作用，两侧液体深度分别为h1、h2，试求作用在闸门上的液体总压力和压力中心。h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解：对于闸门左侧同理，对于闸门右侧2.5液体对壁面的作用力两侧总压力的合力为：方向向右。设合力F的作用点的淹没深度为xD，根据合力矩定理，对oy轴取矩，有：合力作用点的y坐标为b/2。2.5液体对壁面的作用力2.静止液体作用在曲面上的总压力总压力的大小作用在曲面不同点的静压强的大小和方向都不同，组成一空间力系。在静止液体中有一二维曲面，面积为A，它的母线与oy轴平行，它在oxz平面上的投影为曲线ab。在淹没深度为h的地方取一微元面积dA，则液体作用在该微元面积上的微元总压力为：abdAAxAzxzhcxhopadFpdFpxdFpdFpzdAdAxdAz微元总压力在坐标轴上的投影为：2.5液体对壁面的作用力总压力的水平分力式中，为投影面积Ax对oy轴的面积矩，hcx为Ax的形心淹没深度。故上式成为：静止液体作用在曲面上的总压力沿x方向的水平分力等于液体作用在该曲面的投影面积Ax上的总压力，作用点在Ax的压力中心。2.