曹 平面的基本性质及推论

1.2.1平面的基本性质与推论象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以____的印象一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉的.二.平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延展的。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果,就是处处平直的面。平面复习ADCB平面α、平面ABCD三.平面的表示方法几何画法：通常用平行四边形来表示平面．

符号表示：通常用希腊字母等来表示，如：平面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC．、平面AC（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。【例1】已知命题：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；②有一个平面的长是50m，宽是20m；③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.

其中正确的的命题是__________.④想一想:两个平面能将空间分成几部分?3或4两个平面相交1342132两个平面平行三个平面能将空间分成几部分?1324

4678我们把空间看作点的集合，也就是说，点是空间的基本元素，直线和平面都是空间的子集，直线是它所在平面的子集。于是，我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。新知讲解四.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α内：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝AαaαAa●lA●lA点A在直线l上点A在直线l外●AA●点A在平面内点A在平面外直线l在平面外直线l在平面内lll５填空

4．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？思考：··公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB桌面αAB观察上面问题，你能得到什么结论？五.平面的基本性质公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB文字语言：图形语言：符号语言：一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；

二是可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。Pαβa观察下列问题，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ文字语言：图形语言：符号语言：公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。Paαβ如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理2的作用有二：三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线PlβαABCDA1B1C1D1O【例2】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.

6.如图找平面BA1C1与平面B1AC的交线

ABCDA1B1C1D1DABCE【例3】如图画出平面与平面ADE的交线画出DE与平面的交点PA变式：如图，已知△ABC三边所在的直线分别交平面于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上。BCQPR证明：（公理2）同理可证：要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上.ABCQPR用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？思考：手指的位置需要满足什么条件？公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB文字语言：图形语言：符号语言：公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB或记为平面ABC公理3是确定平面的依据;

判定点或线的共面推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。βaABC数学语言表示:已知：点A求证：过点A和直线a有且只有一个平面.∵∴过不共线的三点A,B,C有一个平面（公理3）∵B∈，C∈∴a（公理1）∴过点A和直线a有一个平面证明:（存在性）（唯一性）推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.,在a上任取两点B、C，又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个∴经过a和点A的平面只有一个.aABC推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。βCab数学语言表示:推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。βACBab数学语言表示:思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?【例4】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.ABC共面∵A、B、C三点不在一条直线上证明：∴过A、B、C三点可以确定平面(公理3)∵A∈,B∈∴AB(公理1)同理BC,AC∴AB、AC、BC共面ABC证法2：∵A直线BC∴过点A和直线BC确定平面∵A∈,B∈BC∴B∈,∴AB同理AC∴AB、AC、BC共面ABC证法3：∵AB∩AC=A∴直线AB、AC确定一个平面∵B∈AB,C∈AC,C∈∴B∈∴BC(推论2)(公理1)∴直线AB、BC、CA都在平面内即它们共面ABC（×）（×）（×）（×）练3.直线l与过点P的三条直线a1,a2,a3分别交于A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。αa3ACPa1a2B例2图不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）1、异面直线判断：(1)图中直线m和l是异面直线吗?αβlmml(2),则a与b是异面直线吗？(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？异面直线的画法:

通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点.(1)相交