大学物理 第一章 矢量分析

第一章矢量分析1本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流和旋度1.6

无旋场与无散场1.7

拉普拉斯运算与格林定理1.8

亥姆霍兹定理21.标量和矢量矢量的大小或模：矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

3矢量用坐标分量表示zxy4（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律5（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角6（4）矢量的矢积（叉积）qsinABq矢量与的叉积直角坐标系中，用坐标分量表示为写成行列式形式为若，则若，则7（5）矢量的混合运算——分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积81.2

三种常用的正交曲线坐标系直角坐标系圆柱坐标系球坐标系点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

91.直角坐标系

坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量线元矢量可表示成它在三个坐标方向，所增加微分元的矢量和。直角坐标系中：从坐标原点指向空间位置点的矢量10面元矢量在直角坐标系中，与三个坐标单位矢量相垂直的面积元分别为：体积元x

yz直角坐标系的体积元

odzdydx112.圆柱坐标系坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系123.球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标变量坐标单位矢量位置矢量线元矢量体积元面元矢量134.坐标单位矢量之间的关系

直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系ofxy单位圆

直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系foqrz单位圆

柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系qq14本节重点回顾矢量的基本计算熟练掌握三种常用坐标系15两个相隔一定距离的物体之间的相互作用：超距作用以太论场1.3标量场的梯度16如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：17标量场的等值面

标量场的等值线(面)等值面:

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:

形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。18当点M沿射线趋近于时,比值的极限称为标量场在点处沿方向的方向导数,记作M0M方向导数的概念

方向导数的概念

——u(M)沿方向增加；

——u(M)沿方向减小；

——u(M)沿方向无变化。

19直角坐标系中，方向导数的计算公式：——的方向余弦。

式中：

M0M方向导数的概念

证明：如函数u(x,y,z)在M0点可微203.标量场的梯度（或）梯度的概念：在直角坐标系中：由梯度定义可知：标量场u在点M处的梯度为一个矢量，其方向沿u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率21梯度的表达式：直角坐标系

哈密顿算符圆柱坐标系

球坐标系

22标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）23

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

例1.2.1

设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。

(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。24表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为25而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。26本节重点熟练掌握标量场梯度的意义及计算方法271.4矢量场的通量与散度

1.矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM

282.矢量场的通量

通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；

如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量矢量穿过面积元的通量，定义为：矢量穿过曲面S的通量为：29通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果通量的物理意义303.矢量场的散度

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。

如何研究场域内，每一点处的通量特性呢？或者说是通量源的分布特性？某一点的散度，描述了该点单位体积内散发出来的矢量的通量。也即该点通量源的密度。31直角坐标系下散度表达式的推导

即流出

不失一般性，令包围P点的体积元V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP和两面元的通量为：32于是根据定义求得散度为：

同理，可计算出应流出另两组侧面的通量，最后得：33圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：344.散度定理（高斯定理）体积的剖分VS1S2en2en1S矢量通过曲面S的通量（S围成体积V内的通量源）对通量源密度进行体积分（S围成体积V内的通量源）该式为矢量场的散度的体积分与该矢量场的闭合曲面积分之间的变换关系，在电磁理论中应用非常广泛！35本节重点矢量场通量的意义及计算方法矢量场散度的计算方法散度定理（高斯定理）361.5矢量场的环流和旋度

磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的矢量线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。37矢量场的环流环流的定义：磁场的环流与电流的关系：

矢量场沿闭合路径C的环流。矢量场沿场中一条闭合路径C的曲线积分38环流面密度的定义：称为矢量场在点M处沿方向

的环流面密度。特点：其值与面元的法线方向有关。在矢量场中的任一点M处作一面元，取为此面元的法向单位矢量。当面元保持以为法向分量而向点M无限缩小时39以表示旋度2.矢量场的旋度矢量场在Ｍ点的旋度是一个矢量大小：该点最大环流密度的值方向：取得最大环流密度的面元的法线方向和方向导数与梯度的关系类似：沿任一方向的环流面密度等于旋度沿该方向的投影。（旋度在该方向的分量）旋度的定义：40旋度的计算公式：在直角坐标系中，由旋度的定义可得旋度的计算公式为：413.斯托克斯定理斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消该定理表明矢量场的旋度在曲面Ｓ上的面积分，等于矢量场沿限定曲面的闭合曲线Ｃ上的线积分，即42本节重点矢量场环流的意义及计算方法矢量场的旋度及计算方法斯托克斯定理431.矢量场的源散度源旋度源1.6无旋场与无散场2.矢量场按源的分类（1）无旋场仅有散度源而无旋度源的矢量场又因为，标量场梯度的旋度恒等于0因此，无旋场总可以表示为某一标量场的梯度，即函数u称为无旋场的标量位函数，简称标量位重要恒等式44例如：静电场标量位函数的引入，使得我们可以通过对标量场的研究来得到相应的矢量场。这在某些情况下可以大大简化计算过程。可以通过研究标量电位来得到电场强度的分布45可知无旋场的曲线积分与路径无关，是保守场。由斯托克斯定理可知，无旋场沿闭合路径的环流等于0无旋场的特点：46因此，无散场总可以表示为某一矢量场的旋度，即（2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场又因为，矢量场旋度的散度恒等于0重要恒等式函数

称为无散场的矢量位函数，简称矢量位47无散场的特点：由散度定理可知，无散场通过任何闭合曲面S的通量等于0484.散度和旋度的区别

491.7拉普拉斯运算与格林定理1.拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算概念：——拉普拉斯算符直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系50矢量拉普拉斯运算在直角坐标系中在其它坐标系中，应该按照矢量拉普拉斯运算的基本定义来计算即512.格林定理格林定理又称为格林恒等式，它的表达式如下：格林第一恒等式：格林第二恒等式：

格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可