北航自动控制原理课件第七章至第九章(程鹏)

第七章非线性系统分析17-1非线性问题概述主要内容7-2常见非线性因素对系统运动特性的影响7-3相平面法基础7-4非线性系统相轨迹分析7-5描述函数7-6用描述函数分析非线性系统返回主目录2基本要求

1.明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。2.熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理解焦点、节点、中心、鞍点、极限环等概念。3.熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知相轨迹大致画出时间响应曲线的图形。4.对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的解析表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹。返回子目录35.对分段线性的非线性系统，能决定开关线,写出分区域相轨迹的方程式。6.对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合适地选取相坐标作出相轨迹图。7.正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念。8.了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。9.熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周期运动,判断周期运动的稳定性。4简介非线性系统一般理解为非线性微分方程所描述的系统。线性系统的本质特征是叠加原理，因此非线性系统也可以理解为不满足叠加原理的系统。本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的一些区别于线性系统的现象。57-1非线性问题概述一、实际系统中的非线性因素图7-1一些常见的非线性特性返回子目录6除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最简单和最普遍的就是继电器。7图7-2电磁继电器的工作原理和输入-输出特性8二.非线性系统和线性系统有不同的

运动规律在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。9线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。图7-4非线性系统在不同初始偏移下的自由运动10线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图7—5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。图7-5非线性系统的自激振荡11线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。12三.非线性系统的分析方法在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲过渡函数等概念。在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。137-2常见非线性因素对系统

运动特性的影响一、不灵敏区不灵敏区又叫死区，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造成的。图7-6死区特性返回子目录14死区非线性特性的数学表达式如下：式中15图7-7包含死区的非线性系统图7-8

斜坡输入时的系统输出量16二、饱和图7-9部件的饱和现象饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。17理想化后的饱和特性典型数学表达式为：式中：

是线性范围，K为线性范围内的传递系数（对于放大元件，也称增益）。18粗略地看，饱和特性的存在相当于

大信号作用时，增益下降。图7-10饱和特性图7-11饱和特性的等效增益19图7-13图7-12系统的响应随动系统的方块图如图7—12所示。当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图7-13中的曲线1；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如图7-13中的曲线2。图7-12非线性系统20若随动系统的方块图如图7—15所示。图7-14根轨迹图图7-15非线性系统根轨迹分析：21图7-16系统的时间响应当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发散，而是出现稳定的等幅振荡，如图7-16中的曲线2。22三、间隙图7—17齿轮传动中的间隙传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的一种常见的非线性因素。23间隙特性的典型

特性如图7-18所示。数学表达式为图7—18间隙非线性特性24间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说来，它会增大系统的静差，使系统波形失真，过渡过程的振荡加剧。图7-19间隙特性的输入-输出波形25四、摩擦图7-20直流电动机的方框图摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。图7-21摩擦力矩示意图26图7-22小功率随动系统方框图图7-23低速爬行现象277-3相平面法基础相平面法

是一种求解二阶常微分方程的图解方法。设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述

令

,（7-9）

则（7-11）返回子目录28相平面:描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫相轨迹。

通常把方程（7－9）称为相轨迹微分方程式，简称相轨迹方程。将式（7－11）的积分结果称为相轨迹表达式。相轨迹:把具有直角坐标的平面叫做相平面。29一、线性系统的相轨迹设系统的微分方程为（7-12）式（7-12）的特征方程为

上述特征方程的根为

式（7-12）所表示的自由运动，其性质由特征方程根的分布特点所决定。30取相坐标、，式（7-12）可化为

（7-14）或31（1）无阻尼运动由方程（7-14），相轨迹方程为：其中相轨迹如图7－24所示，在相平面上是为一族同心的椭圆。每个椭圆相当于一个简谐振动。（7-16）32图7-24系统无阻尼运动时的相轨迹相轨迹的方向如图7-24中箭头所示。相轨迹垂直穿过横轴。坐标原点处相轨迹的斜率不能由该点的坐标唯一地确定，这种点叫做奇点。图7-24的奇点(0,0)通常称为中心

33（2）欠阻尼运动其中（7-17）方程（7-12）的解为34相轨迹如图7－25所示。从图中可以看出，欠阻尼系统不管初始状态如何，它经过衰减振荡，最后趋向于平衡状态。坐标原点是一个奇点，它附近的相轨迹是收敛于它的对数螺旋线，这种奇点称为

稳定的焦点。图7-25系统欠阻尼运动时的相轨迹35（3）过阻尼运动这时方程（7－12）的解为相轨迹如图7－26所示。36图7-26过阻尼时的相轨迹图7-27过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。37（4）负阻尼运动相轨迹图如图7－28所示，此时相轨迹仍是对数螺旋线，但相轨迹的运动方向与图7－25不同，随着t的增长，运动过程是振荡发散的。这种奇点称为不稳定的焦点。图7-2838系统的相轨迹图如图7-29所示，奇点称为不稳定的节点。图7-2939此时相轨迹如图

7-30所示。奇点称为

鞍点

该奇点是不稳定的。图7-30斥力系统的相轨迹40图7-31特征根和奇点的对应关系41

二、相轨迹作图法设系统微分方程为化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是。这条曲线就称为等倾线。

令其中

为某个常数1.等倾线法42例子微分方程或等倾线是直线，它的方程为：43取不同值时，可在相平面上画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示该等倾线斜率值的小线段，这些小线段表示相轨迹通过等倾线时的方向，从相轨迹的起点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。图7-3244极限环在图7-33中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的极限环。图7-3345图7-34各种类型的极限环46三、由相平面图求时间解相轨迹上坐标点移动到点所需的时间，可按下式计算（7-32）这个积分可用通常近似计算积分的方法求出，因此求时间解的过程是近似计算的过程。471.用曲线计算时间利用式（7－37）计算时间，在某些情况下可直接进行积分运算。图7-37482.用小圆弧逼近相轨迹计算时间在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆心位于实轴上的一系列圆弧来近似的。轴上的P、Q、R点为圆心，以如图7－36AD段，可用、、为半径的小圆弧来逼近，这样就有49

代入式（7-32）得令（7-33）50图7-36用小圆弧逼近相轨迹计算时间51例7-2图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知和均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。图7-3752解：相轨迹和对应的周期运动，它们的周期分别为和s，则有537-4非线性系统相轨迹分析根据系统结构形式选取相坐标，列写微分方程。画相轨迹图。根据相轨迹图分析系统的运动情况。返回子目录54一、继电型系统系统中有一个或几个元件具有继电型非线性特性的系统称为继电型系统。图7-38继电型非线性特性55若继电型系统的方框图如图7—41所示。

研究图中继电型特性为图7-38(b)的情况。图7-4156很明显，相平面以直线为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定。57

1.在c>h的区域系统方程为其中58所以当592.在|c|<h区域系统方程为（7-42）603.在c<-h区域相轨迹方程为当时61图7-40图7-39系统当时的相轨迹62当m=-1时，系统微分方程为对这个系统而言，不论初始条件如何，系统最终都是处于自振状态，并且振荡的周期与振幅仅取决于系统的参数，而和初始条件的大小无关。63图7-41图7-39系统当m=-1时的相轨迹64图7-42振荡趋势加大示意图65图7-43m逐渐减少时的相平面66二、速度反馈对继电型系统自由运动的影响图7-44有速度反馈的继电型系统67系统的微分方程为将此相轨迹图与图7—40比较可看出两者主要是开关线不同。可以通过改变开关线的位置来改善系统的性能。68图7—45速度反馈对系统运动过程的影响69三、含有间隙非线性的系统图7-46间隙非线性和非线性控制系统70方程式：71式中相轨迹方程（7-54）（7-55）72图7-47式（7-54）和式（7-55）的相轨迹73图7-48图7-46系统的相平面74图7-49判断开关线所用的对应关系75四、具有阶跃或斜坡输入时非线性系统的相平面图7-50具有非线性放大器的系统76图7-50（a）表示的系统方程为得到假定77（1）阶跃输入r(t)=R系统方程变为图7-5178（2）输入信号r(t)=Vt+R系统方程为79图7-52V<kKe0，R>e0时的相轨迹80图7-53

kKe0<V<Ke0,R=0图7-54V>Ke0,R=081返回子目录

7-5描述函数描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比。若输出的一次谐波分量为输入的正弦量为则描述函数的数学表达式如式（7-70）所示：

（7-70）82图7-55理想继电型特性在正弦输入时的输出波形和振幅频谱83其中为非线性特性在输入信号作用下的输出。84例7-3若非线性特性为

其特性曲线如图7-56。（7-71）85令则有86图7-56式（7-71）的输入-输出特性图7-57描述函数87一、不灵敏区特性的描述函数88（7-78）根据描述函数的定义，可求出不灵敏区的描述函数为89图7-58不灵敏区特性及其输入-输出波形90二、饱和特性的描述函数91图7—59表示了饱和特性和它在正弦信号作用下的输出波形。饱和特性的描述函数为从上式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函数，与输入频率无关。92图7-59饱和特性及其输入-输出波形93三、间隙特性的描述函数9495间隙特性的描述函数为图7—62表示了间隙特性和它在正弦信号作用下的输出波形96图7-62间隙特性及其输入-输出波形97四、继电型特性的描述函数图7—61表示了具有滞环和不灵敏区的继电型特性和它在正弦信号作用下的输出波形9899100继电特性的描述函数为可知具有滞环和不灵敏区的继电型特性的描述函数和输入信号的频率无关，只是输入信号幅值的复数值函数。101图7-61继电型特性及其输入-输出波形102当h=0,两位置理想继电型特性的描述函数当m=1,三位置理想继电型特性的描述函数当m=-1,得到具有滞环的两位置继电型特性的描述函数103返回子目录

7-6

用描述函数法分析非线性系统非线性控制系统可化为下列结构形式图7-62非线性控制系统104用描述分析非线性系统时两个基本假设：系统的线性部分G(jω)具有很好的低通滤波性。系统若发生自激振荡（稳定的周期运动），假定非线性环节N的输入端的振荡为正弦波。105一、特征方程的解法图7－62所示系统的特征方程为（7-85）如果对于某一个和，式（7－85）成立，

那么非线性环节N输入端将有的周期运动。此时相当于将整个曲线当作临界点。

106二、自激振荡的确定

图7-63周期运动的确定及稳定性判别分别将

和曲线画在复平面上,如图7－63所示。107图中

曲线和曲线分别相交于M1点和M2点。M1对应的周期运动为X01sinω01t。M2对应的周期运动为X02sinω02t

。M1的周期运动是不稳定的。M2的周期运动是稳定的。上述方法适用于G(s)无右半复平面极点的情形。108图7-64不稳定的和稳定的周期运动109M1对应周期运动稳定，M2对应周期运动不稳定图7-65当有不稳定根时，周期解的稳定性判断，需要用乃奎斯特判据。110解析法式（7－93）中的偏导数均在X0、处取值。则X0、对应的周期运动是稳定的,否则就是不稳定的周期运动。令（7-92）设式（7－97）有解X0和，若有下式成立

（7-93）111三、分析系统自激振荡的例题例7-4

研究如图所示非线性系统。试判断系统是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。图7-66112解：

描述函数为113计算数据表-2-1.64-1.57-1.6410.90.80.6-1.81-2.14-2.74-4.18-7.890.50.40.30.20.1

1140.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.90.197

0.388

0.579

0.920

1.132

1.593

2.351

400300250200180150120115图7-67图7-66系统的曲线116四、系统稳定性分析图7-70非线性系统的稳定性分析117本章主要知识点与主要线索作图积分求解开关线结构归化计算查表非线性系统典型结构乃氏曲线线性部分分段线性的非线性系统分段相迹方程奇点类型相迹方程等倾线法稳定性,自振,求自振参数求时间相迹时间响应118第八章采样系统理论1198-1采样过程与采样定理主要内容8-2信号的恢复与零阶保持器8-3z变换与z逆变换8-4脉冲传递函数8-5采样系统的性能分析8-6采样系统的数字校正返回主目录120基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。z变换和z逆变换，熟练掌握几种典型信号的z变换和通过部分分式分解进行逆变换,了解用z变换法解差分方程的主要步骤和方法。正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式。返回子目录121熟练掌握z域稳定性的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。掌握最小拍采样系统的设计步骤。122图8-1机载火力控制系统原理图1238-1采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离散信号的过程返回子目录该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3所示，其中载波信号，

是一个周期为T，宽度为的脉冲序列，如图8-3（b）所示。幅值为幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。

调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为(124图8-3信号的采样过程T125实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8-3（d）所示的符号表示。（8-1）由于载波信号是周期函数，故可以展成如下Fourier级数（8-2）126则采样信号可以表示为（8-4）（8-3）其中，为采样频率，Fourier系数由下式给出127若连续信号的Fourier变换为，则采样信号的Fourier变换为连续信号与离散信号的频谱曲线如图8-4所示。（8-5）128图8-4连续信号与离散信号的频谱

129当时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-5所示。

图8-5连续信号与离散信号的频谱130香农（Shannon）采样定理若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-6所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的图8-6香农（Shannon）采样定理。131如果采样频率满足以下条件式中为连续信号频谱的上限频率。则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。（8-6）132二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念。载波信号可以近似成如下理想脉冲序列（）（8-7）133再设当时，则采样过程的数学描述为此时，采样过程如图8-7所示。

理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。（8-8）134图8-7理想采样开关的采样过程135同样，可以展成如下Fourier级数其中（8-10）则有（8-11）和（8-12）136图8-9连续信号和采样信号的频谱137注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：频谱的上限频率是有限的。2.存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。1388-2信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。可将展成如下泰勒级数时，（8-13）返回子目录139各阶导数的近似值由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。（8-14）140零阶保持器的数学表达式为（8-16）图8-10信号的采样与保持过程141理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8-17)(8-18)142由上式可知零阶保持器的(8-20)(8-19)传递函数143零阶保持器的频率特性为相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为144其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。145图8-11零阶保持器的频率特性曲线幅频特性(b)相频特性1468-3z变换与z逆变换一、z变换连续信号经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得（8-25）（8-26）返回子目录147引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z变换的定义式如下称为的z变换，记作或由此可看出是关于复变量的幂级数。（8-28）（8-29）148例8-1

求单位脉冲信号的z变换。

解：设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有149例8-2

求单位阶跃信号的z变换。

解：设，则

该级数的收敛域为，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式150例8-3

求单位斜坡信号的z变换。

设，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘，便得单位斜坡信号的z变换解：151例8-4求指数函数的z变换。解：设，则152例8-5设，求的z变换。解：上式两边求Laplace逆变换，得再由例8-2和例8-4有153注意：不能直接将代入来求，因为z变换是针对采样信号进行z变换。154二、z变换的基本定理其中和为任意实数。1．线性定理（8-30）若和的z变换为和，则155证明：1562．实数位移定理若的z变换为，则（8-31）（8-32）157证明：证明式（8-31）由于当时，，所以有158证明式（8-32）1593．复位移定理已知的z变换函数为，则证明：1604．z域尺度定理若已知的z变换函数为，则证明：其中，为任意常数。（8-34）161三、z逆变换

z逆变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列（或），记作（8-35）

z逆变换只能给出采样信号，而不能给出连续信号。注意1621.部分分式法上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）若象函数是复变量z的有理分式，且的极点互异，则可展成如下形式：163例8-6已知z变换函数求其z逆变换。164解：首先将展成部分分式1652.长除法对比式（8-29）可知若z变换函数是复变量z的有理函数，则可将展成的无穷级数，即（8-40）（8-41）166例8-7已知z变换函数为求其z逆变换。167解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成1683.留数计算法由z变换的定义可知（8-43）169设的极点为，则包围了的所有极点。（8-48）170例8-8已知z变换函数为试用围线积分方法求z逆变换。171解：上式有两个极点和，且所以172四、初值定理和终值定理1.初值定理

设的z变换为，并且有极限存在，则

（8-49）1732终值定理

设的z变换为，且的极点均在z平面的单位圆内，则（8-50）174五、用z变换法解线性常系数差分方程1.差分的定义假设在图8-1所示的采样系统中，模拟-数字转换器在离散时间对误差信号进行采样，并将瞬时值记为或，则的一阶前项差分定义为175二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为1762.线性定常差分方程线性n阶差分方程可表示为3.线性差分方程的求解例8-9已知差分方程为输入信号，初始条件，求响应

。177解对差分方程两边进行z变换，可得

其中由所给初始条件得z逆变换得178例8-10已知差分方程为初始条件为。

解对方程两边进行z变换，得则逆变换得1798-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比（8-59）返回子目录图8-12180系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值。181二、开环脉冲传递函数1．开环脉冲传递函数的推导182（8-66）由此183求该开环系统的脉冲传递函数。例8-11系统结构如图8-12所示，其中连续部分的传递函数为184解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为185或由得查表得1862．串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数（8-67）图8-13187例8-12系统结构如图8-13所示，其中求开环脉冲传递函数。188解：189(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-14所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为（8-68）图8-14串联环节间有采样开关的开环系统190例8-13系统结构如图8-14所示，其中求开环脉冲传递函数。191解：所以由于192（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为

图8-15带零阶保持器的开环采样系统193例8-14系统结构如图8-15所示，其中采样周期s，求其开环脉冲传递函数。194解：由于所以195三、闭环脉冲传递函数图8-16闭环采样系统196采样开关的输入和系统的输出分别为197整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为198例8-15闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中采样周期s，求闭环脉冲传递函数。若，求。199解：对于阶跃输入函数有200则输出信号的z变换为于是201注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号的表达式。如图8-17所示的闭环采样系统（8-17）202

8-5采样系统的性能分析一、稳定性1.从s平面到z平面的影射关系由z变换的定义（8-80）若令（8-81）则有（8-82）返回子目录203左半s平面上的带称为主带，其他称为次带。图8-18从s平面到z平面的影射2042.z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内。设采样系统的闭环脉冲传递函数为则闭环特征方程为（8-84）205(1)朱利（Jury）稳定判据且，根据特征方程的系数构造朱利阵列，则特征方程的根均位于单位圆内的充分必要条件为共（n-1）个约束条件（8-86）（8-87）206例8-16已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。解：207朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系统是稳定的208(2)劳思(Routh)稳定判据在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。209引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。210(3)z平面的根轨迹方法以上述例8-15的闭环采样系统为例，其特征方程为可知使系统稳定的最大K值为4.33。例8-19的根轨迹图211二、闭环极点与瞬态响应之间的关系设采样系统的闭环传递函数为（8-91）若输入信号为单位阶跃，则

212将按部分分式展开，得上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置。213图8-20不同极点所对应的瞬态响应214三、稳态误差图8-21单位负反馈采样系统（8-97）在输入信号作用下，误差的z变换表达式为2151.当输入为阶跃函数时定义静态位置误差系数为则根据终值定理，有2162.当输入是斜坡函数时定义静态速度误差系数为稳态误差为2173.当输入是等加速信号时定义静态加速度误差系数为稳态误差为218例8-17已知采样系统的结构如图所示，其中，，采样周期s，求在输入信号的作用下，系统的稳态误差。图8-22219解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为220该采样系统稳定在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为因此，在输入作用下的稳态误差为2218-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统，闭环脉冲传递函数为图8-23含数字校正装置的采样系统返回子目录222系统的误差为其中为的有限次多项式，若能选择合适的，使其中为关于的多项式，并且不含因子。设输入为时间的幂函数Atq

（），其中为正整数，则223则稳态误差为零。（8-108）（8-109）将代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数。又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪，应使中所含项的数目最少，为此应取2241.当时最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为系统经过1拍便可以完全跟踪上输入信号。（8-110）（8-111）2252.当时最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为系统经过2拍便可以完全跟踪上输入信号。（8-112）（8-113）2263.当时最少拍无差系统的闭环传递函数为此时误差信号的z变换为系统经过3拍便可以完全跟踪上输入信号。（8-114）（8-115）227例8-18已知采样系统的结构如图所示，其中，采样周期s，，试设计使该系统在单位阶跃信号作用下为最少拍无差系统。图8-24最少拍无差系统228解：将上式求z逆变换可得输出序列229本章主要知识点与主要线索稳态误差根轨迹开环脉冲传递函数闭环零、极点系统稳定性、品质系统型别(稳定系统)劳思判据双线性变换终值定理特征式D(z)稳定性一定条件下长除法部分分式分解求留数朱利判据闭环零、极点稳定性平稳性、快速性230231第九章状态空间分析方法231232主要内容9-1状态空间方法基础9-2线性系统的可控性和可观性9-3状态反馈和状态观测器9-4有界输入、有界输出的稳定性9-5李雅普诺夫第二方法返回主目录232233引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简单比较。经典控制理论(20世纪50年代前)现代控制理论(20世纪50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成分多,经验起很大作用。主要在复数域进行。设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。233234基本要求

掌握由系统输入-输出的微分方程式、系统动态结构图及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。正确理解可逆线性变换,熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。返回子目录234235熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法,能将可控系统

化为可控标准形。能对不可控系统进行可控性分解。正确理解对偶原理,会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。正确理解状态反馈对可控性、可观性的影响,正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。235236熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统,可进行闭环极点配置和观测器极点配置。正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念,熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法,能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。2362379-1状态空间方法基础在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入、单输出系统。在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。返回子目录237238状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。一、状态空间的基本概念已知时状态，时的输入，可确定时任一变量的运动状况。状态变量：确定动力学系统状态的最小一组变量。238239状态空间：由张成的n维向量空间。状态向量：

如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么状态向量定义为X(t)。对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的一条轨迹。239240例9-2设一RLC网络如图所示。回路方程为图9-2RLC网络240241则有写成输出选择状态变量,241242写成则有若选另一组状态变量,242243

若给出(t=0)时的初值、、…、和时就可确定系统的行为。单输入-单输出线性定常系统选取状态变量二、系统的状态空间表达式243244（9-17）244245或写成（9-19）245246系统结构图如图所示图9-3246247例9-3输入为u，输出为y。试求系统的状态方程和输出方程。考虑用下列常微分方程描述的系统247248解：状态方程为写成取状态变量248249输出图9-4例9-3系统的结构图249250多输入-多输出系统图9-6多变量系统250251………为状态变量；为输入量；为输出变量。251252矩阵形式：式中252253……….输出变量方程253254式中254255图9-7系统结构图255256三、线性定常系统状态方程的解式中均为列向量。（9-28）齐次向量微分方程（9-29）方程的解为1、齐次状态方程的解256257可得代入方程将方程两边系数必相等,即257258我们定义(9-31)(9-32)因此，齐次状态方程的解为将t=0代入式（9-29）中得258259(9-33)（9-34）（9-35）为n×n矩阵，称矩阵指数。于是齐次状态方程的解为用拉氏变换法求解259260拉氏逆变换后得到（9-37）（9-38）260261最终得到与前一种解法所得结果一致。式中（9-41）261262状态转移矩阵具有以下性质：262263图9-8状态转移特性性质3263264例9-5设系统的状态方程为试求状态转移矩阵。264265解：求状态转移矩阵为其中可以写出方程解为265266例9-6设系统状态方程为试求状态方程的解。266267解：用拉氏变换求解。先求出矩阵指数267268状态方程之解为将上式进行拉氏逆变换268269图9-9系统的瞬态解（a）与相轨迹（b）269270改写为用左乘等式两边2非齐次状态方程的解非齐次方程(9-53)(9-54)270271用左乘上式两边(9-54)则式（9-54）可以写成(9-55)积分上式得271272讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法拉氏逆变换得由于由卷积定理有272273因此由于最后得到273274例9-7求下述系统状态的时间响应控制量u为单位阶跃函数。274275解：由状态转移矩阵275276若初始状态为零状态，则276277四、传递函数矩阵（9-58）系统状态方程（9-59）输出方程拉氏变换为277278解出定义传递函数矩阵为（9-63）278279所以特征方程为（9-64）279280例9-8设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。280281解：已知故281282282283例9-9设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。283284解：系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。284285五、动态方程的可逆线性变换其中P是n×n

矩阵285286特征多项式特征多项式没有改变。286287传递函数阵传递函数阵没有改变287288例9-10对例9-9之系统进行坐标变换，其变换关系为试求变换后系统的特征方程和特征值。288289解：

根据题意求变换矩阵代入289290特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果相同。可得2902919-2线性系统的可控性和可观测性在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出方程来表示。状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变化可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入是否能控制状态的变化’’和“状态的变化能否由输出反映出来’’这样两个问题。返回子目录291292一、准备知识设A

是n×n

矩阵,x

是n×1向量,齐次方程组若|A|=0,式（9-70）存在非零解；若|A|≠0,式（9-70）只有零解。Ax=0（9-70）1.齐次方程组的非零解2922932.凯莱-哈米尔顿(Cayley-Hamilton)定理

Cayley-Hamilton定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足（9-71）（9-72）A的特征多项式293294应用Cayley-Hamilton定理（9-78）对于矩阵指数可以用来表示。294295例9-11解：矩阵A的特征多项式要求计算矩阵的295296矩阵A满足自己的特征多项式，有本题中n=100，故有M2962973.引理的充分必要条件是：存在使（9-80）非奇异。这里A:n×n,b:n×1。297298若对任意状态，存在一个有限时刻和控制量，能在时刻将状态转移到0，则称此系统的状态完全可控。二、线性系统的可控性1.定义对于任意时刻和，若存在控制向量，能将的每个初始状态转移到时刻的另一任意状态,则称此系统的状态完全可控。等价的定义298299例如图9-10二维系统状态转移过程如图所示系统可控。2993002.可控性判据其中A(n×n),b(n×1),c(1×n),d(1×1)系统可控的充分必要条件是（9-84）（9-85）(9-86)单变量线性定常系统300301证明：将u(t)代入式(9-54)，可得(9-87)若式(9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在t1>0，使得式(1-30)定义的W(0,t1)矩阵非奇异，取t1为可控性定义中的tf

，且在[0,tf]上定义301302由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。302303再证明若系统可控，则式(9-86)成立。根据凯莱-哈密尔顿定理（9-88）（9-89）假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即x(tf)=0。根据(9-54)式，则有303304把(9-89)式代入(9-88)式，得记这时（9-90）304305由于x(0)是任意的n维向量，式(9-90)要有解，一定有(9-86)式成立，即由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于式(9-84)中的A阵和b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为S，这样，可控的充要条件就写成：rankS=n或detS≠0。305306图9-11不可控系统306307例子系统可控。系统3073083.约当型方程的可控性判据

约当块的一般形式为由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。308309可控的充分必要条件为①同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特征值不同。②每一约当块最后一行，所对应的b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。309310例9-12系统状态方程为试确定系统可控时，应满足的条件。310311解：

如果用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果.因为A阵有两个约当块，根据判据的①应有，由判据的②，A的第二行所对应的b中的元素b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件为3113124.可控标准形(9-92)则系统一定可控。一个单输入系统，如果具有如下形式312313式(9-92)的形式被称为单输入系统的

可控标准形。对于一般的单输入n维动态方程

(9-93)其中A，b分别为n×n,n×1的矩阵。成立以下定理：若n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其变换成可控标准形。313314下面给出变换矩阵P的构成方法计算可控性矩阵S；计算，并记的最后一行为h。构造矩阵P令

即可求出变换后的系统状态方程。，，，，314315例9-13设系统状态方程为试将系统状态方程化为可控标准形。315316解：

先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。故系统可控。一定可将它化为可控标准形。316317此时标准形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。则变换矩阵为317318可求出3183195.系统按可控性进行分解

系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形，现在研究不可控的情况，这时应有下面的结果被称为系统按可控性进行分解的定理

（9-103）319320若单变量系统式(9-84)，(9-85)的可控性矩阵满足式(9-103），则存在可逆线性变换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下形式（9-106）（9-107）式中是n1维向量，是n2维向量，并且320321式(9-106)表明下面的动态方程是可控的：式（9-107)表明的动态方程(9-108)，(9-109)和原来的n维动态方程(9-84)，(9-85)具有相同的传递函数。或者说传递函数中未能反映系统中不可控的部分。（9-108）（9-109）321322证明：(9-110)考察(9-103)式，并将它重新写出如下进而可以证明补充选取线性无关的向量并使得向量组线性无关。322即可证明具有定理所要求的(9-104)的形式。323令若将式(9-104，105)所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能更直观地体现出来，式(9-104)，(9-105)的系统方框图如图9-12所示。323324图9-12系统按可控性分解324325从图9-12中可见，控制输入不能直接改变也不能通过影响间接改变，故这一部分状态分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。由图上还可看出系统的传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。325326例9-14设有系统方程如下其传递函数为试进行可控性分解。326327解：系统的可控性矩阵由于S的第3列是第1列与第2列的线性组合，系统不可控。选取327328计算出构成328329故有因而得329330三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为(9-113,114)

如果在有限时间间隔[0,t1]内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，能够唯一确定系统的初始状态x(0)的每一个分量，则称此系统是完全可观测的，简称可观的。1.可观测性的定义式中A,b,c分别为矩阵。330331

若系统中至少有一个状态变量是不可观测(不能被确定)的，则称系统不可观。图9-13不可观测系统331332

分析式(9-117)，当知道某一时刻的输出时，式(9-117)是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能唯一确定初值，要解出x(0)，必须要利用一段时间上的输入和输出的值。将式(9-117)左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在唯一解的条件来研究。(9-117)我们考虑没有外作用的系统，可求出3323332.可观测性判据

可观测的充分必要条件是(9-118)式(9-118)中的矩阵称为可观性矩阵。并记为V。333334式（9-118）又可以写成取x(0)=α，这一非零的初始状态引起的输出为（9-120）根据准备知识中的引理，存在334335将代入上式，得

显然α不可能由y(t)=0来确定。即系统不可观测。335336试判断系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15336337解：系统的可观性矩阵是奇异的，故系统不可观测。系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性。

337338事实上因为是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。3383393.对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称系统Ⅰ、Ⅱ是互为对偶的系统。系统Ⅰ系统Ⅱ339340对偶原理

系统Ⅰ的可控性(可观性)等价于系统Ⅱ的可观性(可控性)。只要写出系统Ⅰ的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统Ⅱ的可观性矩阵(可控性矩阵)即可证明以上结论。利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就相当于对原系统的可观性研究。340341应用：

若式(9-113)和式(9-114)的动态方程中A阵具有约当标准形，则系统可观测的充分必要条件为

①同一特征值对应的约当块只有一块。②每一约当块的第1列所对应的c中的元素非零。上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以由对偶系统的可控性判据得到。341342例9-16

设动态方程为试确定系统可观测时应满足的条件。342343解：由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：3433444.可观测标准形

一个单输出系统如果其A,c

阵有如下的标准形式，它一定是可观测的。式（9-122）称为单输出系统的可观测标准形。（9-122）344345通过对偶原理证明：给定系统方程如下（9-123）若有等价变换将其化为可观测标准形式中具有式(9-122)的形式。345346构造原系统的对偶系统

根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系统一定可控。

化为下列的可控标准形，其变换矩阵为P。346347因此有(9-134)比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测标准形。347348例9-17系统动态方程为将系统动态方程化为可观标准形，并求出变换矩阵。348349解：显然该系统可观测，可以化为可观标准形。写出它的对偶系统的A,b阵，分别为根据A,b阵，按化可控标准形求变换阵的步骤求出P阵。349350计算可控性矩阵S由(9-129)式求出P阵由(9-134)式求出M阵350351式中351352

5.系统按可观性进行分解

系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。若式(9-113，114)的系统不可观测，且352353则存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中是n2维向量,是n-n2维向量，并且（9-137）（9-135）（9-136）353354(9-135,136)的式子也可用图9-14表示。

这可以用前面证明可观标准形的方法论证。式(9-137)表明n2维的子系统(A1b1c1)是可观的；这部分状态变量是不可观的；式(9-138)表明传递函数未能反映系统的不可观部分。系统按可观性分解的结果(9-138)354355图9—14系统按可观测性分解由上图可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。355356四、可控性、可观测性与传递函数的关系（9-141）对应的传递函数为(9-140)考虑单变量系统，其动态方程为1.可控性、可观测性与零、极点对消问题356357式中：

N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点，D(s)=0的根称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。定理

动态方程式(9-140)可控、可观测的充分必要条件是g(s)无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。357358证明：首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0即使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得(9-143)利用恒等式可得(9-144)358359将s=s0代入式(9-144)，并利用式(9-143)，可得(9-145)将上式前乘c、后乘b后，即有（9-146）将式(9-145)前乘cA、后乘b后，即有（9-147）359360依次类推可得这组式子又可写成360361

出现矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形式(9-92)的形式，直接计算可知（9-148）361362例9-18设系统动态方程为验证系统是可控、可观测的。362363显然N(s)和D(s)无非常数的公因式，这时传递函数没有零、极点相消。事实上解：分别计算3633642.传递函数的最小阶动态方程实现

已知动态方程，可以用式(9-64)计算出传递函数。如果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传递函数的实现。如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传递函数的最小实现问题。364365设给定有理函数(9-149)式(9-149)中的d就是下列动态方程中的直接传递部分(9-150)所以只需讨论式(9-149)中的严格真有理分式部分。365366给定严格真有理函数(9-151)要求寻找A,b,c，使得(9-152)并且在所有满足式(9-152)的A,b,c中，要求A的维数尽可能的小。下面分两种情况讨论366367可控标准形的最小阶实现式(9-153)对式(9-151)，可构造出如下的实现(A,b,c)(9-153)（1）g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况367368(9-154)可观标准形的最小阶实现式(9-153)给出的(A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是式(9-151)的传递函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知式(9-153)对应的动态方程也一定可观。同样可以说明式(9-154)是式(9-151)的可观标准形的最小实现。368369

若g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例子说明,设g(s)有以下的形式(9-155)约当标准形的最小阶实现因为g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1、c4均不为零。369370令分别对应于370371而综合上面各式并令x=[x1x2x3x4]T可得由约当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因而它是g(s)一个最小阶实现。371372

若g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n阶的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的)。g(s)的最小实现的维数一定小于n。（2）g(s)的分子和分母有相消因式的情况372373例9-19设g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)=，分子与分母有公因子(s+1)。仿照式(9-153)，可写出g(s)的一个三维的可