广东省东莞市中学松山湖学校2021-2022学年高三数学理测试题含解析

广东省东莞市中学松山湖学校2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是（）A. B.20π C.4π D.12π参考答案：D【分析】首先把三视图转换为几何体，求出三棱锥外接球的半径，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．【详解】根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以该几何体的球心为，，，故选D．2.已知数列{an}满足，则=A．－1

B．－2

C．－3

D．1－log340参考答案：C3.“函数在区间（0，＋∞）上为增函数”是“a=3”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B4.已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：，又因为即，所以，解之得，故选C.考点：1.集合的表示；2.集合的运算.5.已知向量满足：与垂直，且，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.执行如图所示的程序框图，则输出结果为A.15 B.16C.25 D.36参考答案：C【知识点】算法与程序框图.

L1

解析：循环过程执行的结果依次是：（1）s=1,k=2;(2)s=4,k=3;(3)s=9,k=4;(4)s=16,k=5;(5)s=25,k=6.∵k=6>5,∴输出S为25.故选C.【思路点拨】依次写出循环过程执行的结果即可.7.已知

A．

B．（）

C．

D．（）参考答案：A，，所以，选A.8.设，且，则下列关系中一定成立的是（

） A．

B．

C． D．参考答案：D9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4 C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．

【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．10.在等差数列中，若，，那么等于（

）A．4 B．5 C．9 D．18参考答案：B因为，所以，所以，因为，所以，所以公差，所以．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知当且时，函数取得最大值，则a的值为__________．

参考答案：由题意可得：其中，，.因为要取得最大值，，带入以上所求，化简：，解：12.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是__

参考答案：613.已知下列命题：

①已知表示两个不同的平面为平面内的一条直线，则“”是的充要条件；②命题“”的否定是“”；③在上是减函数；④同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一枚为正面向上、一枚为反面向上的概率为；⑤在△ABC中，若，则A等于30o.

其中真命题的是

.（写出所有真命题的序号）参考答案：14.已知圆的方程（x﹣2）2+y2=1，过圆外一点P（3，4）作一条直线与圆交于A，B两点，那么=

．参考答案：16【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心为（2，0），半径r=1，圆与x轴交于（1，0），C（3，0），从而PC与圆相切，且||=4，由此利用切割线定理能求出的值．【解答】解：∵圆的方程（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为（2，0），半径r=1，∴圆与x轴交于（1，0），C（3，0），过圆外一点P（3，4）作一条直线与圆交于A，B两点，则PC与圆相切，且||=4，由切割线定理得：==42=16，故答案为：16．15.二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为

参考答案：略16.某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解情况，然后对全市饭店逐一检查.为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，根据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开始顺次向后读数，则这5个号码中的第二个号码是

．

随机数表：84421753315724550688770474476721763350258392120676参考答案：068略17.下列结论：①若命题命题则命题是假命题；②已知直线则的充要条件是；③命题“若则”的逆否命题为：“若则”其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：(1)(3)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)己知某公司生产某品牌服装的年固定成木为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售一千件的收入为R(x)万元，且。（注：年利润＝年销售收入一年总成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

参考答案：解：（1）当时，当时，

………………5分（2）①当时，由当∴当时，取最大值，且

……9分②当时，=98当且仅当

……………13分综合①、②知x=9时，W取最大值.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.…………14分19.（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．参考答案：解：（I），，…（2分）又，，，…………（4分），

…………（5分）（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）

略20.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，求证：．参考答案：解：（1），当时，在上恒成立，函数

在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．

…………4分（2）∵函数在处取得极值，∴，

…………5分∴，

令，可得在上递减，在上递增，∴，即．

…………8分（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，………9分又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．

………………12分21.（12分）医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：

（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（1）根据合格率、优秀率的意义即可得出；（2）利用分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望即可得出．【解答】解：（1）解：各组的频率依次为0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，∴这个样本的合格率为1﹣0.2=0.8，优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3．（2）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中，各组人数依次为4，6，4，3，2，1．从20名医生中随机选出2名的方法数为，选出的2名医生的能力参数K为同一组的方法数为．故这2名医生的能力参数K为同一组的概率．②20名医生中能力参数K为优秀的有6人，不是优秀的有14人．依题意，X的所有可能取值为0，1，2，则，，．∴X的分布列为X012P∴X的期望值．【点评】熟练掌握合格率、优秀率的意义、分层抽样的方法、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列和期望是解题的关键．22.（本小题满分12分）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定个药品样本分成三组，测试结果如下