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山西省长治市西营镇中学2021年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若函数的最小值为-3,则实数的值为(
)A.-2
B.-4
C.2或-4
D.-2或4参考答案:D2.已知,,,则与的夹角是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C略3.已知函数与的图象有公共点A,且A点的横坐标为2,则k=(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:C当时,,所以,,故选C。
4.函数的零点所在的区间为(
).A.[1,2]
B.[2,3]
C.[3,4]
D.[5,6]参考答案:A5.已知集合,,若,则实数的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略6.点在直线上,是原点,则的最小值是(
).A. B. C. D.参考答案:B解:由题意可知:过作已知直线的垂线,垂足为,此时最小,则原点到直线的距离,即的最小值为.故选.7.的值等于A.
B. C.
D.参考答案:A略8.函数y=sin的单调增区间是(
)A.,k∈Z
B.,k∈ZC.,k∈Z
D.,k∈Z参考答案:D9.设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},若则a的范围是()A.a<1
B.a≤1C.a<2
D.a≤2参考答案:B略10.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:卡片号码12345678910取到的次数138576131810119则取到号码为奇数的频率是()A.0.53
B.0.5
C.0.47
D.0.37参考答案:A取到号码为奇数的卡片共有13+5+6+18+11=53(次),所以取到号码为奇数的频率为=0.53.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f(x)=ax﹣x﹣a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.参考答案:(1,+∞)【考点】函数的零点.【分析】根据题设条件,分别作出令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况的图象,结合图象的交点坐标进行求解.【解答】解:令g(x)=ax(a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况.
在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数f(x)=ax﹣x﹣a有两个不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当a>1时符合题目要求.故答案为:(1,+∞)12.若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=
.参考答案:
【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值,再利用两角差的正切公式求得tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]的值.【解答】解:∵═==,∴tanα=,又tan(α﹣β)=,则tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]===,故答案为:.13.如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为.参考答案:【考点】点、线、面间的距离计算.【分析】如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF,进而得到异面直线D1E与C1C的距离.【解答】解:如图所示,取B1C1的中点F,连接EF,ED1,∴CC1∥EF,又EF?平面D1EF,CC1?平面D1EF,∴CC1∥平面D1EF.∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离.过点C1作C1M⊥D1F,∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1.∴C1M⊥平面D1EF.过点M作MP∥EF交D1E于点P,则MP∥C1C.取C1N=MP,连接PN,则四边形MPNC1是矩形.可得NP⊥平面D1EF,在Rt△D1C1F中,C1M?D1F=D1C1?C1F,得=.∴点P到直线CC1的距离的最小值为.故答案为14.在单位圆中,面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_
.参考答案:2试题分析:由题意可得:.考点:扇形的面积公式.15.关于函数f(x)=4sin(2x+),(x∈R)有下列命题:①y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;②y=f(x)可改写为y=4cos(2x-);③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=对称;其中正确的序号为
。参考答案:②③④略16.直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则的值为
.参考答案:-117.若,,且与的夹角为,则
.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,,∠ABC=∠BCD=90°,E为PB的中点。(1)证明:CE∥面PAD(2)若直线CE与底面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积。参考答案:(1)见解析(2)【分析】(1)取PA中点Q,连接QD,QE,可证四边形CDQE为平行四边形,从而CE∥QD,于是证得线面平行;(2)连接BD,取BD中点O,连接EO,CO,可证EO∥PD,从而得到直线CE与底面ABCD所成的角,求得EO也即能求得PD,最终可得棱锥体积.【详解】解法一:(1)取PA中点Q,连接QD,QE,则QE∥AB,且QE=AB∴QE∥CD,且QE=CD.即四边形CDQE为平行四边形,CE∥QD.又∵CE平面PAD,QD平面PAD,∴CE∥平面PAD.(2)连接BD,取BD中点O,连接EO,CO则EO∥PD,且EO=PD.
∵PD⊥平面ABCD,∴EO⊥平面ABCD.
则CO为CE在平面ABCD上的射影,即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角,∠ECO=45°
在等腰直角三角形BCD中,BC=CD=2,则BD=2,则在RtΔECO中,∠ECO=45°,EO=CO=BD=2PD=2E0=2,∴
∴
∴四棱锥P-ABCD的体积为.解法二:(1)取AB中点Q,连接QC,QE则QE∥PA∵PA平面PAD,QE平面PAD∴QE∥平面PAD,
又∵AQ=AB=CD,AQ∥CD,∴四边形AQCDカ平行四迹形,则CQ∥DA∵DA平面PAD,CQ平面PAD,∴CQ∥平面PAD,
(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD,证明其中一个即给2分)又QE平面CEQ,CQ平面CEQ,QECQ=Q,∴平面CEQ∥平面PAD,
又CE平面CQ,∴CE∥平面PAD.
(2)同解法一.【点睛】本题考查线面平行的判定,考查棱锥的体积,考查直线与平面所成的角.涉及到直线与平面所成的角,必须先证垂直(或射影),然后才有直线与平面所成的角.
19.化简:参考答案:原式=20.如图是一个面积为1的三角形,现进行如下操作.第一次操作:分别连结这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”;第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”;第三次操作:连结剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”;…,如此下去.记第n次操作中挖去的三角形个数为an.如a1=1,a2=3.(1)求an;(2)求第n次操作后,挖去的所有三角形面积之和Pn?(3)求第n次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn.参考答案:【考点】数列的求和.【分析】(1)由题意知,数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,进而可得an;(2)记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn,则{bn}是以为首项,以为公比的等比数列,进而可得第n次操作后,挖去的所有三角形面积之和Pn;(3)由题意知,第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n?3n﹣1,利用错位相减法,可得挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn.【解答】解:(1)由题意知,数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,所以an=3n﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2)记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn,则{bn}是以为首项,以为公比的等比数列,所以bn=,故第n次操作中挖去的所有三角形面积为3n﹣1﹣=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣从而第n次操作后挖去的所有三角形面积之和Pn==.﹣﹣﹣﹣﹣(3)由题意知,第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n?3n﹣1,﹣﹣所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Qn=1×1+2×3+…+n?3n﹣1,①则3Qn=1×3+2×32+…+n?3n,②①﹣②得,﹣2Qn=1+3+32+…+3n﹣1﹣n?3n=,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故Qn=.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.计算下列各式:(1);(2).参考答案:【考点】有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质.【专题】计算题.【分析】(1)将各项的底数化为幂的形式,利用指数的运算法则求解即可.(2)将化为3的分数指数幂形式,将lg25+lg4利用对数的运算法则化为lg100=2,由对数的意义知为2,结果可求出.【解答】解:(1)原式====
(2)原式===【点评】本题考查指数和对数的运算法则、根式和分数指数幂的互化、对数恒等式等知识,考查运算能
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