山西省长治市石北中学高三数学理下学期期末试题含解析

山西省长治市石北中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（i为虚数单位）的虚部是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求出复数z，即可得复数z的虚部．解答： 解：===﹣故复数（i为虚数单位）的虚部是故选B点评：本题主要考查了复数的基本概念，以及复数代数形式的乘除运算，同时考查了计算能力，属于基础题．2.已知则（）A. B. C.3 D.2参考答案：C，选C.3.偶函数f（x）＝loga｜x一b｜在（－，0）上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是（）

A.f(a＋1)≥f(b＋2)B.f(a＋1)＜f(b＋2）C.f(a＋1)≤f(b＋2)D.f(a＋1)＞f(b＋2)参考答案：D4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内应抽出

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人.参考答案：略5.已知正方形的边长为1，、分别为边,上的点，若，则面积的最大值是

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】三角形的面积公式．C8【答案解析】B

解析：如图所示，C（1，1）．设P（a，0），Q（0，b），0＜a，b＜1．则kPC=，kPQ=1﹣b．∵∠PCQ=45°，∴tan45°===1，化为2+ab=2a+2b，∴2+ab，化为，解得（舍去），或，当且仅当a=b=2﹣时取等号．∴．∴△APQ面积=ab≤3﹣2，其最大值是3．故选：B．【思路点拨】C（1，1）．设P（a，0），Q（0，b），0＜a，b＜1．可得kPC=，kPQ=1﹣b．利用到角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式即可得出．6.西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多5人,则不同的分配方案共有（

）A．36种

B．68种

C．104种

D．110种参考答案：C分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有种;第二类有种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.7.设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D8.集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选A．9.(5分）设向量，满足，，则“”是“∥”成立的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．不充分也不必要条件参考答案：C∵向量，满足，，“，∴=2，∴∥，∵∥，∴=λ，可以取，，也有∥，，∴“”是“∥”成立的充分不必要条件．故选C．10.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的两条切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为________．参考答案：12.若，则的解集为

．参考答案：13.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为

．参考答案：14.已知Sn为数列{an}的前n项和，，若，则__________．参考答案：【详解】因为，所以数列为等比数列所以，又，则，故答案为.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.15.数列{an}满足，则an=．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】由题意可知数列{}是以为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得=，即可求得an．【解答】解：由﹣=5，=，则数列{}是以为首项，以5为公差的等差数列，∴=+5（n﹣1）=，∴an=，数列{an}的通项公式为：an=，故答案为：．16.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：(单位：克)125，124，121，123，127，则该样本的标准差是

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克．参考答案：217.二项式(2x+)6的展开式中的常数项是

.参考答案：由，令，得，所以常数项是三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）设函数．（1）求的单调区间；

（2）当0<a<2时，求函数在区间上的最小值．参考答案：解：（I）定义域为．

．

………2分

令，则，所以或．

………4分

因为定义域为，所以．

令，则，所以．………6分因为定义域为，所以．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

…7分（II）

（）．．

…8分

因为0<a<2，所以，．令

可得．所以函数在上为减函数，在上为增函数．……10分①当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数．…11分所以．

…12分②当，即时，在区间上为减函数．所以．…13分

综上所述，当时，；当时，．

…14分19.如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数λ的值．参考答案：解：（1）∵椭圆的右顶点为A（2，0），∴a=2，∵点P（2e，）在椭圆上，∴，∵a2=4，，a2=b2+c2，∴b2=1，c2=3，∴椭圆的方程为．（2）设直线OC的斜率为k，则直线OC方程为y=kx，代入椭圆方程，即x2+4y2=4，得（1+4k2）x2=4，∴，∴C（，），又直线AB方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，∵xA=2，∴xB=，∵=0，∴+=0，∴，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=，∵=（），=（2﹣，0﹣）=（，），由=，得，∴k=，∴．略20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点．参考答案：【考点】抛物线的应用．【分析】（Ⅰ）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），所以．得到抛物线方程为y2=4x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t2=32．所以（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）联立方程，化简得ky2﹣4y+4b=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据韦达定理得到，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以得到，即xAxB+2yAyB=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得到，化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=﹣32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为，所以y=kx﹣8k，即y=k（x﹣8）．综上所述，直线AB过定点（8，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.设数列满足，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列