人教版九年级上册数学全册教案

二十一 一元二次方第121．1一元二次方难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二 2、问题（1） （1）x（2）（3）x2+x+c=（a≠0项，bcax2+bx+c=（a≠0注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号2（2（x+2=2（x+2）=1 2

(1)3x+2=5y-3(2)x=4(3)3xx

=0(4)x- (5)ax3x（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，mmm2-8m+17≠0∵（m-（2）

第 21．1一元二次方难点关键：由实际问题列出的一元二次方根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．一、1．x123456789……x123x123456……（1）老师点评（1）问题1中 问题2中， 的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有 有两个根，一个是，另一个是，都满足题意；但是，问题2中的x=例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=023x=-2x=-32x=1xax2+bx+c=0(a≠0)2007(a+b+c)的值xa-1)x2+x+a2-1=00,a常用到,要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗 思考题练习1、2．要会用一些方法求一元二次方程的根．(“”方法;平方根的意义)

第 21.2.1配方a（ex+f）2+c=0 问题1．填空 2（29x2+12x+ 2（3x2+px+ （1）164（2）4

p p 例1：解方程：(1)(2x-1) (2)x 分析：很清楚，x2+4x+4（x+2）2=1．（x+3）2=22222即 2222 ，x2=-22例2．市计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率10x=1（1+x10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为则 20%．练习．（1+x，三月份的营1+（1+x）+（1+x）2=3.31123

23

3x+=±1.6，

2

=- pp x2=p（p≥0，pp

（mxn）2p（p≥0

第 22.2.1配方法 （3）4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-pppp

（p≥0如：4x2+16x+16=（2x+4）24x2+16x=-7（2x+4）2=9问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少x两边加（6/2）2x2+2bx+b2（x+3）225降次→x+3=±5x+3=5x+3=-解一次方程→x1=2，x2=-例1．x （1）x- （2）x-2x-2（1）（2） 2（1C1m/s，几秒后△PCQRt△ACBAP x△PCQRt△ABC，△PCQ解：设xPCQRt△ACB12

x（6-

12121 121212△PCQRt△ACB 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，

第 21.2.1配方法难点与关键：把常数到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．一、 （2）1（3）1．解下列方程 （31+）2+2（+x）-1（1）（2）求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正

第621.2.2公式一 (2)(x-2)1这种解法的（理论） （2）1（3）（1）ax2－7x+3 (2)aax2+bx+c=（a≠0bb21abb21

bbb2

a、b、ca

aa

）2=-a

b即

b24ac

b2∵4a2>0，4a2＞0,当b2-4ac≥0b2b2

b2b2bb2b

bb2bb2bb2由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）a、b、c

bbb21．用公式法解下列方程．2 2（1）2x-x-1=0（2）x+1.5=-3x(3)x

（4）4x-2:（5（x-2（3x-若使方程为一元二次方程，mm（1）m21

m21

m1(m1m20m20m2 第721.2.4判别一元二次方程根的情b2-4ac00ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0重点：b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0一元二次方程没有实根．3 3（（2b2-12=0，（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，方程没有实根.b2-4acb2-4ac2x2-3x2-23bbb2

b2b2

bbb2

bbbb2

b221 b2211（结论（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1bb2bb2bb2 当b-4ac=0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即 当b2-4ac<0ax2+bx+c=0（a≠0）例1．不解方程，判定方程根的情 b2-4ac000（1）16x2+8x+3=0 （1）x （2）x-4

（4）4x-

x-1=0（6）4x2- 343．二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0（-2a）2-4（a-2（a+1）<0ab2-4ac>0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的

第 21.2.3因式分解（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法 （1）

4

（1）2，同时减去（

）2（2）（1） 1．22（00，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．1．解方 （1）10x-4.9

=0（2）x（x-2）+x-2 (3)5x-2x-=x- (4)(x-1)2=(3-2x)2 （方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积）练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（A（x-3（x-1B（2-2（5x-15 C（+2）+4x=0∴xD．x2=x两边同除以x，

5例2．已知9a2-4b2=0，求代数 a2

a2

a2b2a2b2

∴（3a+2b（3a-232

ba=3当a=-b时，原式 2323

a（x-ba（x- a（-而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式．0，0．第9一元二次方程的解法复习教学内容教学目标能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰当的(A)直接开平方法(B)配方 (C)公式 2（1）7x-3=2x2 )(2)4(9x-1)2=25 )(3)(x+2)(x-1)=20 24x2+7x=2 )(5)2(0.2t+3)2-12.5=0 )(6)

x-4=0 0(1)3x2=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2(3)(x+3)(x-4)=-6（4）(x+1)2-2(x-1)2=6x-22 2 22 222x4=-

（1） 学思想（2）解方程x4—x2—6=0. 一元二次方程根与系数的关中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用.本册又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系针对本班学生的特点，本课在(a≠0,b2–4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.一、前2天悄悄地听到咱班的和的一段，内容如下：郑：我说，我有一个，你想听吗？董：什么郑：你知道咱们可爱的老师到底有多大吗？郑：呵呵，这绝对是个，我不能直接告诉你，我这么说吧：啊是方程x2–12x+35=0董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，老师的啊还是方程x2-35x-200=02一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的.x2–5x+623562x2–3x+112132123x2+x-223-1-2-【设计意图】111222xx是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0b2 cx1+x2ax1x2= 【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字x1x2的值代入相应的代数式x1+x2x1x2得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能（1）x2–3x+1（2）3x2–2x-（3）2x2–3x（4）3x222222：12x12

x2-4x+1=02 2（2）x2+x 2

-x 学生练习（1） （2（x1+1（x2+1）进一步体会整体代入的数学思想方法.

第1021.3实际问题与一元二次方程一、（学生活动）问题1：列一元一次方程解应用题的步骤①审题，②设出未知数.③找等量关系. 也就利用我前面所过的一二方程建立学模型应用题？请完成面题．（学生活动）1:121分析:1第一轮传 1+x第二轮传染后解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有 列方程 解方程, x1=- （后一轮被传染的人数前一轮患数的x倍）烈已于某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,1+x+x.x=91x2+x-90=0解得x1=9,x2=－10(290第1121.3实际问题与一元二次方程 a(1±x)n=bax（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b（或降低）后的量。两年前生产现在生产1300013600分析:甲种药品成本的年平均下降额 x,5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元,依题意得小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式xa,增长(或降低)nb,则它们的数量关a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－) 例2．将2000元按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得x200010001000x80%；1000x·80%，其它依此类推．x则：1000x·80%+（1000整理，得：1280x2+800xx=320，8x2+15x-1，x2=8第1221.3实际问题与一元二次方程（二）例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠0.4m．分析：xm，x+2，x+0.4，那么，根据（1）12

45

1.6

=25学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正是一个与整个封面长宽比宽，应如何设计四周边衬的宽度（0.1cm）？级练学习步(1正是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解143

， 18x（21-4

63634，92=1.cm，72=1.4m分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正的矩形两边之比也为例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(25402.练习20m32m500m2，道路的宽为多少？解法一:x，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移x（32- 第1321.3实际问题与一元二次方程 一、我们这一节课就是要利用刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型， 例某辆汽车在公行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行 解得3

3（

第 22.3实际问题与一元二次方程商场平均每天可多售出100，商场要想平均每天120元，每贺年卡应降价多少元?x

x（50+

解得的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34．如果商场要想每种贺年卡平均每天120元， 一样多，都是150元；0.30.75100，从这些数目看， （1） y3

2即（-y（200+16y）=12v 44949 2

500kg110kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：xyyx（1）

=250kg，（1）5×1=450（k元 教学时课22.1二次函数课培养学生的良好的课堂教学程序设1.ABxmxBCym2．试将计算结果填写在下表的空格中，3．AB(x)确定后，矩形的面积(yyx1.，ABBC对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表意见。形成共识，x的值不可以任意0＜x＜10。(2)面积y等于多少?并y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式．810100低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场，发现这种商品单价每降低0.1元，其10[x0≤x≤2]5．yyx[y=(10－8－x)y=x(20－2x)(0＜x＜10＝ 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2) ABAB123456789BC(1)函数关系式(1)和(2)1(2)多项式－2x2＋20100x2＋100x＋200(4)P12让学生讨论、交流，意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值二次函数定义y=ax2＋bx＋c(a、bc，a≠0xx…x…0123…y…9410149…教学时课22.1二次函数课新授课堂教学程序设y=x2y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。函数y=ax2的图象是一条 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?当a>0时，抛物线y=ax2开口 ，当X>O时，函数值y随X的增大 ；当 时，函数值y=ax2(a>0)取得最小值，最小值 以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特a<Oy=ax2具有哪些性质?a<Oy=ax2x<0yxx>O时，函数值yxx=0y＝ax2y＝0教学时课22.1课新授让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋cy＝ax2＋by＝ax2＋by＝ax2＋by＝ax2＋by＝ax2的相互关系课堂教学程序设图二次函数y＝2x2的图象是 对称轴的左侧，y随x的增大 ，函数与 值，其 二次函数y＝2x2＋1y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?y＝2x2y＝2x2的图象，并加以比较)2，y＝2x2y＝2x2＋1xy＝2x2＋1对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋13：xxy＝2x2＋1y＝2x21。y＝2x2＋1y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)y＝2x2＋1y＝2x24：y＝2x2＋1y＝2x23y＝2x2＋1y＝2x2的图象向上平问题5：现在你能回答前面第2个问题了吗?让学生观察两个函数图象y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0y＝2x2＋1(0，1)。6：y＝2x2y＝2x2＋1当 时，函数值y随x的增大而减小；当 值y＝ ．以上就是函数y＝2x2＋1的性质。7：y＝2x2－2y＝2x2的图象，再作比较，说说它们让学生意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，y＝2x2－2y＝2x28：y＝2x2－2xx…0123……82028……93l39…x＜0yx 12＋2图象与函数 12的图象有什么关系＝－ ＝－ 12与函数y＝－12＋2的草图，由草图观察得出结论＝－ 函数y＝12＋2的图象与函数 — ＝－ 数 12＋2的图象可以看成将函数 12的图象向上平移两个单位得到的＝－ ＝－ 12＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗＝－3[函数 12＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是＝－30yxx＝0y＝2。教学时课 二次函数课新授标让学生经历二次函数y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2的性质，理y＝a(x－h)2y＝ax2的图象的关系。y＝a(x－h)2y＝ax2的图象的关系ax2的图象的相互关系多课课堂教学程序计 1．y＝－x2，y＝－x2－1 2．二次函数y＝2(x－1)2y＝2x22：y＝2x2y＝2(x－1)2的图象吗?让学生完成列表。2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。问题3：现在你能回答前面问题吗?y＝2(x1)2y＝2x21x＝1，顶点坐标是(1，0)。当x 时，函数值y随x的增大而减小；当 当x＝ 值y＝ 但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。6；y＝2x2y＝2(x＋1)2的性质吗?x＜－1yx 1＋2)2图象与函数 12的图象有何关系＝－ ＝－ 1＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗＝－39：y1＋2)2＝(x让学生讨论、交流，意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；x＞－2yx＝－2y＝0。 的图象1向上 1y顶点教学时课 二次函数课新授标y=a(x－h)2＋ky=ax2y=a(x－h)2＋k课堂教学程序设图y=2(x－1)2＋1y=2(x－1)2y=2(x－1)2＋1二、试一 2：y=2(x－1)2＋1y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?3：y=2(x－1)2＋123，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；y＝2(x－1)2＋1y=2(x－1)21x＜1yxx＞1yxx=1y=1。45：y=1－1)2＋2y=12— － (函数 1－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=12的图象向右平移一个单位再向上平移＝－ － 二次函数y＝ax2＋bx＋c (－ 多课课堂教学程序设函数y＝－4(x－2)2＋1y＝－4x2(函数y＝－4(x－2)2＋1y＝－4x221函数y＝－4(x－2)2＋1不画出图象，你能直接说出函数 12＋x5的图象的开口方向、对称轴和顶点＝－ [因为 1x2＋x 1－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 －＝－ 12＋x ＝－ 12＋x ＝－ 12＋x5的图象，＝－ 说明：(1)x＝11x＜1yxx＞1yxx＝1y＝－21．y12－4x＋10＝x b＋c b＋(b)2－(b)2]＋c b＋(b＋ ＋ ＋ ＝a(x＋ ba＞0a＜0x＝－b/2a，顶点坐标是(－，4a五、小结：22.2用函数的观点看一元二次方课堂教学程序设等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请共1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池垂直于水面竖一根柱子，上面的A＋。之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。5x2＋2x

52：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3AB＝1.6m2.4m1.5mED1m?EDFD(3)DDD纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2(a＜0)－2.4) －2.4＝a×0.82所以4因此，函数关系式是 ＝－4—＝xy＝0?xx2－x—＝

4＝x2－x4 得到图象与x，0)，0) y＝x2－x3的图象与x—4 ＝0y＝xx－0 x2－x30y＝ax2＋bx＋cx—4ax2＋bx＋c＝0y＝ax2＋bx＋c0ax2＋bx＋c＝0 ＜x＜，y＜0；当x＜－x＞ x2－x30?x2－x30— － 从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等ax2＋bx＋c＜0从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相1．多课课堂教学程序设1．y＝ax2＋bx＋cax2＋bx＋cy＝2x2－3x－22x2－3x－2＝0 1 ＝－x2＝2，x1＝－x2＝2 问题 提问 1.这两种解法的结果一样吗函数y＝x2y＝bx＋c4，函数y＝x2y＝bx＋cx2＝bx＋c5．y＝x2y＝bx＋cx2＝bx＋c 3＋1，画函数y＝x2和y3＋1的图象；③在学生练习的＝ ＝ 解得 所以y1 22.3实际问题与二次函数y＝ax2的关系bx＋c多课课堂教学程序设如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB4mCO0.8m。施工前要如图所示，以AByOyx立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y y＝ax2 因为y平分AB，并交ABCCB＝2＝2(cm)，又因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)， 所以因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。 请根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。问题1：能不能以AABx过点Ax的垂线为y让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A为原点，AB直线为xAxy，问题2，若以AABx过点Ax的垂直为y求出其函数关系分析：按此方法建立直角坐标系，则A为(0，0)，B坐标为(4，0),OC＝CB，AC＝2m，O(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c所以O2，0.8)，A为(0，0)，B为(4，0)。 5所以，所求的二次函数的关系式为 124 ＝－x＋ 5问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?分析：观察图象可知，A是(8，0)，C为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x一交点B2，0)，问题转化为已知三点求函数关系解：观察图象可知，A、C(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B2，0)。设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、1141 所以，所求二次函数的关系式是＝－x＋3 2 一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。于求出三个待定系数a、b、c，22.3实际问题与二次函数多课课堂教程序计已知二次函数的图象经过A(01)B(13)C(－11。 1，顶点坐标为(13 －， 2 [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－ 分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－数关系式为：y＝a(x－8)2＋9c＝－5(31)x＝2 解这 方程组，得：b＝－8y＝2x2－8x＋41：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)c＝3－ 4a4得 所以，所求二次函数的关系式为y4 8＋3 ＝x＋ 3 解得a＝9所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y4 8＝x＋ －p2 解得 4y＝x2－10x＋23。《二次函数》小结与复习知识能y＝ax2过方多课课堂教程序计 2ym2)xmm4x1)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x，yx教师精析点评，二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称yx＝0。2(1)ym2)xmm4xm2＋m－4＝2，且m＋2≠0，m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2m＝－3，m≠－2(2)m＋2＞0，2强化练习已知函数y(m1)xmm是二次函数其图象开口方向向下则 顶点为x0，yxx0，yxy＝－3x2。 顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋ y1x2－4x＋5＝23ABxA(2，0)，且与(2)DAOD△OBC积相等，求D教师点评：(1)ABA(2，0)，B(1，1)y＝kx＋bk、b，y＝ax2B(1，1)，a。(2)y＝－x＋2y＝x2，先求抛物线与直线的另一个交点C ∵S△AOD＝S△OBC，且 ∴D的纵坐标为又∵D在抛物线y＝x2上，∴x2＝3，即x＝± ∴D(－3，3)或(强化练习：函数y＝ax2(a≠0y＝2x－3A(1，b)，abxy＝ax2yx《二次函数》小结与复习多课课堂教学程序设一、例题精析，强化练习，剖析知识点(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k (3)两根式：y＝a(x－x)(x－x) y＝a(x－h)2＋kxy＝a(x－x1)(x－x2)A(1，0B(2，1)，ym。(2)xAm(3)MOM⊥BC，垂足D，M1±2(3)由|0B|＝|OC|＝3又OM⊥BC1±2M(x，－x)y＝x2－2x－3解得1＋21－21＋21－2题 MMM强化练习；已知二次函数y＝2x2－(m＋1)x＋m－1 《二次函数》小结与复习课过方多课课堂教学程序设1 响应我国西部大开发的宏伟决策，区在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项每年最多50万元，若开发该产品，5年中，必须每年从专项中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公每投资x万元可获利润Q= 194(50－x)＋308万元 (2)101 5M2=9.5×5=47.55x 则由 5M＝1 ×5＋(49 —x ∴10M＝M2＋M3＝3547.5800yx(元/件)可(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售式＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500例：某公司设计一幅周长为12米的矩形牌设计费为每平方米元，设矩形的边长为x，S获得的设计费是多少?(精确到元)(参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②5≈2.236)S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，x＝33矩形面积最大，为9m2，因而相应的费也最多：为9×1000＝9000元。设设计的黄金矩形的长为x(6－x)米。x1＝－3－35x2＝－3＋35即设计的矩形的长为(35，3)米，宽为(9－35)米时，矩形为黄金矩形。此时费用约为：1000(35－3)(9－35)≈8498(元)，，第二十三章旋转一、 形我们前面已经复移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研请看讲台上的大时钟有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下钟转了多少度 如果图形上的点PP′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．（1）（2）ABEF2（（2）（3）点DEF、点GH．一、如图，OABCDEFOA、B、C、D、E、FO（1）（2）（3）请看我手里拿着的硬纸我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作ABCB′C′∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连（3，得出1．如图，△ABCC点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位CB=CB′，B′的位置，如图所示．（1）12．ABCD1DE=，△ABF△ADE4对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三（1）14 4∵对应点到旋转中心的距离相等且FE41（如图，△AOBO，GB△AOB旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A：A′．1．O45°、90°、135°、180°、（1）以O，OA452（心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆180°的特殊旋转──中心 如图，△ABCOAD（1）COD（1）（1）ADDA′=AD（12AD△ABCDABDAD（1）B（C′，BD的对称点为C（B′）x（0≤x≤4，（1）∵BC=4，AC=41．练习

请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图第二步，以△ABCC（O）180°画出△A′B′和△A′B′C12 AA′、BB′、CCOO2（1）同样地，点O也段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．AO、BO、CO（1）则△DEF2（B′C′D′ABCDO（只保留作图痕迹，不要求写出作法． 分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形OA+OB>OC一、1（2（AOOAOBBOOD=BO从另一个角度看，上面的（1）AB180°，OA=OB，所以，就是线段AB180°后与它重合． OO也就是，ABCDO180°后与 OO 分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C点关于O点对称，这方面的知识在解决 形B=90°，AB=CD=3，AD=1∴AC=5，OC=2 8

∴OF=FC-OC ）- 8同理 ，即4

23.2P（x，y教具、学具准 教学过 一、AL，如图，请画出点ALy43Ay43A2DB-4-3-2- O12 --13140C（0，3D（2，232FO（1）（1）（2）P（x，y）OP′（-x，-yP（x，y）OP′（-x，-练习．

y4321-4-3-2-O-1-B2 因此，线段AB的两y4321-4-3-2-O-1-B2 △AB，A（12，（-1，3，C（-于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABCA、B、CABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．3．ABxyA、BABO90°得到直线y432Ay432A-4-3-2- O2 --ABy=kx+b（我们发现互（1）BAB 1kA1B1y=代入求xA1B1A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2（1）A1（1，0，B1（2，0A1B1就是所求的．1∵A1B1的中点坐标是（1，2kx 则= 1xA1（0，1，B1（2，0）∴02k

∴k` 1∴y=-2P（x，y）P′（-x，-y）得：A10，1，1（，0）1，B2（-

k∴0 ∴ 1∴A2B2：y=-x-21y=1x-1y=2 y1y1 -1x-1=2x+2=-1 yxx1y1x-1y=2 1∴A2B2：y=-x-12（xyy23.3 教学过 CDABD是BAB，并回答，ABCDlC CDDDE⊥L，EED′=ED，C′C′DCD′就是所求的．CDC′D′LCD=C′D′．1（学生活动）学生亲自动手操作题．（d（2（1．活动第二十四章24．1垂径定理：平分弦（不是直径）（1）（2）OAOOOAO2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ACBBOACCAMCAMBO（1）（2）AM=BM，ACBC，ADBD，即直径CD平分弦AB，并且平

ABCAMBO求证：AM=BM，ACBCADCAMBO分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要 连结OA、OB或AC、BC即可．OAOM∴ACBC，AD1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD， 2、O是CD的圆心，其中CD=600m，E为CD上一点 这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 设弯路的半径为R，OF=（R- ∴CF=CD= 即R2=3002+（R-90）2 练习260mMN=32mR，R．MDENC MDENC 24.1圆(第2重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的 °． 如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕 OAB=A'B'BOBOAA′重合，点BB∴AB与A'B'重合，弦AB与弦A′B′重 ∴AB=A'B' （学生活动）1，在⊙O⊙OOAO′A′重合．O OAOO ABAB'，AB=A/B/．ACFACFEO OE=OFAB与CD的大小有什么关系？ABCDAOB∠COD（1（2）∵OE=OF，∴Rt△AOERt△COFAO=CO∴Rt△AOE≌Rt△COF，（1） ∴AE=AB，CF= 又 （2）OE=OFAB=CD，ABCD，∠AOB=∠COD又 ∴AE=AB，CF= ∴AB=CD在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组24.1圆(第3理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角一、（1）ACACOBADOBCADOBC1∴∠ABC=21如图，圆周角∠ABCAB、ACOD∠ABC=2吗？请独立完成这道题的说明过程BO⊙OD∠AODABOCOD△BOC1如图，圆周角∠ABCAB、ACOD∠ABC=2吗？请独立完成证明 ∠CBO=∠AOD-∠COD= 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的（1（2（3分析：BD=CD，AB=AC，所以这个△ABCDBCADAD或是∠BAC解又圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一点和圆的位置关作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于2

AB长为半径画弧AB的两AB的距离相等．[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大作圆，使它经过已知点作圆，使它经过已知点A与线段AB有什么关系？为什么？已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B线上的点到线段两端点的距离相等则圆心应段AB的垂直平分线上在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．1．连结AB、DEFG，DE和FGO3O为圆心，OA为半径⊙O就是所要求作FGFGB、C的距离相等．EDFG的满足条件．由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircleofO为外接圆的圆心，即外心Ⅳ．小如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心解：因为A、B、BCD如下图，CABCAB引垂线，DCDC到直线AB的距离dr之间的关系来确定三种位置关系呢？时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞rdr间的大小关系断定直线与圆的位置关系．dr的大小关系来断定．drd＜r时，直线与圆相交；d＝r时，直线与圆相切；d＞r时，直线与圆相离．投影片1]Rt△ABC以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙CC2cm4cmAB分析：根据dr间的数量关系可知d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相解：(1)如上图CAB的垂线段∴cosA＝AC1 3 333 cm时，AB与⊙C相切33r＝4cmd＜r，⊙CAB相交．

cm，所以r＝2cmd＞r，⊙CAB相离如图(2)，CD与⊙OAABCD对于 都认为直径AB垂直于CD．你同意他们的观点吗[师]请大 dOl垂直的直线．(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠在图(2)中，ABCD要么垂直，要么不垂直．假设ABCD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径CD与⊙O相交，这与已知条件“直CD与⊙O相切”相，所以AB与CD垂直．Ⅳ．小(2)从dr间的数量关系来判断3．77如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域

(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城这次台风影响的时间有多长ABFd200d＞200d≤200，则有影响．解：(1)过AAC⊥BF在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，∴AC＝ABsin30°＝300×2∵AC＜200，∴A城受到这次台风的影

＝150(200272002710010∴t＝s10010v

507 答：A城受影响的时间为10时直线(一)教学知识 随着∠αOldl与⊙O当∠αOldrl与⊙O[师]大家可以先画一个圆画出直径AB，拿直尺当直线尺绕着点A观察∠α发生变化时Ol的距离d如何变化，然后互相交流意[生](1)如上图，直线l1AB的夹角为αOl的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点Ol的d2，d2＜rl与⊙O的位置关系是相离．[师]回答得非常通过旋转可知随着∠α由小变大点O到l的距离d也由小变大当∠α＝90°时，dd＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．[生](2)当∠α＝90Ol的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从Old＝r时，直线与⊙O相切．[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相[生]直线l垂直于AB，并经过直径的一端A点[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆已知⊙O上有一点AA作出⊙O的切线的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自过点AOAl，l即为所求的切线解：(1)作∠B、∠C的平分线BECF，交点为I(如下图IID⊥BC，垂足为I为圆心，以ID为半径作⊙I就是所求的圆[师]由例题可知，BECF只有一个II到△ABC三边的距离相等，为什么[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这(insribedcircleoftrangle(icenter如下图，如下图，AB是⊙O求证：AT是⊙OⅣ．小知识能方多课已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切B，OC平行于弦求证：DC是⊙O的切线关系推出∠3＝∠4OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．∵BC是⊙O的切线∴DC是⊙O的切线正多边形和学生观察图案，思考并找到问题2出是为 学生讨论、交流，各自学生课件，理解概念1有一个亭子（如图）它的地长和面积（0.1m21、2n个全等的等腰完成 页例6教师引导学生完成例题14]正n边形的一个内角的度数是多少？正n边形的半径，边心距，边长又有作设必选(三)情感与价值观要数学的，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力．转动轮转一周，传送带上的物品转动轮转一周，传送带上的物品A转动轮转1°，传送带上的物品A转动轮转n°，传送带上的物品A1所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长时传送距n倍

；转动轮转n°，传送带上的A被传送转[生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送(2)1°，A20 (3)nAn20n R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即

nR

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为 如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大

，n°的圆心角对应的圆面积为 [生]如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面

，n°的圆心角对应

扇形

πR2R为扇形的半径，n为圆

[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为

扇形

径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流

πR，S扇形

n∴

πR2＝2

R·

πR．∴S扇形2

六、扇形面积的应 见 例

n

πR，并运用公式进行计算πR2，并运用公式进行计算AB6πcm，CD10πcmAC＝12cm，求阴影部ABDC的面积．分析：要求阴影部分的面积，需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差．根据扇形S＝2知，则需要求两个OCOA，因为OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有：

6

n n (R ①得3 R1∴S＝S扇形COD－S2

×10π×30－2

96π24.4.2圆锥的侧面通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的，克服的决心，更好地服务于实际． [师]圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课解决这些问题．那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2πr，根据扇形12

·2πr·l＝πrl．因此圆锥的侧面积为S侧全圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，S＝πr2＋πrl．全lS侧＝πrl中即可．rcmlcmr＝(58(58)2S圆锥

＝πrl≈×58×22.03＝638.87cm2和．根据S侧

侧直于底面圆，在Rt△ABCOC、AB＝BC、AC可求出r，问题就解决了．Rt△ABC中，AB＝13cm，AC＝5cm，侧∴r＝OC＝∴S表

＝

πⅣ．小[例1]如图(1)，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD＝18cm，AB＝30cm，求这个圆1cm2)．SS＝2S圆＋S侧．∴S＝2π(2

)2＋2π×2

×30＝162π＋540π回顾设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应段AB的垂直平分AB的垂直平分线上任意取一这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线BCA点的距[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗[生]解：如图，矩形ABCD的对角线ACBD∵四边形ABCD为矩∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关B)4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中OD2OD2OD2OD2

3232OD2

所以点R在圆内，点Q在圆如图(2)ABDAC和BDOEFHOBBOCCODOAEFGH形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝2

AB，OF＝2

＝1CD，OH＝

AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点Od与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相分析xy轴是直线所以要判断⊙A与xy轴的位置关判断直线与圆的位置关系根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关r作比较即可[生]解：∵A点的坐标是又因为⊙A4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径∴⊙Ax轴、y轴的位置关系分别为相交、相切由勾股定理可求出OA的距离5，OA＞4，所以点O在圆外[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行次的研究，即[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径如图(1)，如图(1)，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，DABBD为直径的⊙OAC于点E，求AD的长．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠BAE与⊙O分析OAC相切可知OE⊥AC又∠C＝90所以

OAOE出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了

2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得EOEOE⊥ACOE∥BCOAE∽△BAC15OEOE．∴OE＝

2．解：∵AB是⊙O的直径BA⊥AE．∵BA为⊙O的直∴AE与⊙O相切两个同心圆中ABAC分别和小圆相切于点DE，则DEBC的位置关系怎样？DEBC之间有怎样的数量关系 12Ⅳ．小如图，⊙ORt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△O