山西省长治市潞城石窟中学2023年高三数学理月考试卷含解析

山西省长治市潞城石窟中学2023年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，则集合（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A2.已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）参考答案：A【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|0＜x＜2}=（0，2），则A∪B=（﹣1，2），故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．3.函数，则的图象只可能是参考答案：C因为函数都为偶函数，所以也为偶函数，图象关于轴对称，排除A,D.当时，函数，所以当时，，所以选C.4.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数z可取（

）A.2 B.-1 C.i D.参考答案：B【分析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值.【详解】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.“为真命题”是“为真命题”的A、充分不必要条件；

B、必要不充分条件；

C、充要条件；

D、非充分非必要条件参考答案：B6.若，则= 1

0

参考答案：C略7.已知平面向量满足的夹角为60°，若则实数的值为（

）A.1

B.

C.2

D.3参考答案：D因为所以，即，所以，解得，选D.8.若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，则可以是(A).

(B).

(C).

(D).参考答案：A略9.已知双曲线，点F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过点F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点，若，则双曲线C的离心率为__________.参考答案：2【分析】先由题意作出图像，设，，根据求出，再由，即可求出结果.【详解】由题意可设，，则，解得，即，整理得，即，，解得.故答案为2【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10.设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．【解答】解：不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a，且|F1F2|=2c，由于2a最小，即有∠PF1F2=30°，由余弦定理，可得，cos30==．则有c2+3a2=2ac，即c=a，则b==a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知参考答案：．因为则。

12.给出下列四个命题：

①命题“”的否定是“”；

②若，则函数只有一个零点；

③若，则的最小值为4；

④对于任意实数，有，且当时，，则当时，

.其中正确命题的序号是

（填所有正确命题的序号）参考答案：①③④13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Q在线段CC1上，则线段PQ长的最小值为

▲

．参考答案：线段PQ长的最小值为异面直线D1E，CC1之间距离，取B1C1中点M，则CC1//平面EMD1,所以异面直线D1E，CC1之间距离为点C1到平面EMD1距离，由得即线段PQ长的最小值为.

14.若,且,则

．参考答案：15.若zl=a+2i，z2=3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值为．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】把zl=a+2i，z2=3﹣4i代入，然后化简，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，利用实部等于0，虚部不为0，求出a即可．【解答】解：=它是纯虚数，所以3a﹣8=0，且4a+6≠0，解得a=故答案为：16.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D17.若复数z满足z=i（2+z）（i为虚数单位），则z=

。参考答案：－1＋i三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.（1）求证：；（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.参考答案：（1）证明：取的中点，连接，，；（2）解：，∴若最大，则最大.∴平面平面.此时.19.（15分）（2015秋?余姚市校级期中）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．参考答案：【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；作图题；数形结合；不等式的解法及应用．【分析】（1）作平面区域，从而可得C（2，1），r==，从而解得；（2）由题意作图，从而可得CB∥x轴，从而解得B（2+，1）或B（2﹣，1）；从而解得．【解答】解：（1）、作平面区域如下，，结合图象可知，点C（2，1），r==，故圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（2）由题意作图如右图，结合图象可知，CB∥x轴，故由（x﹣2）2+（1﹣1）2=5解得，x=2+或x=2﹣；故B（2+，1）或B（2﹣，1）；故l的方程为y﹣1=x﹣2﹣或y﹣1=x﹣2+；即x﹣y﹣1﹣=0或x﹣y﹣1+=0．【点评】本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．20.（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右交点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，A（，）是椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程和离心率e的值；（2）若T为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM与y轴交于点P，直线TN与x轴交于点Q，求证：|PN|?|QM|为定值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），2a=|AF1|+|AF2|=+=8，即可求方程、离心率．（2）写出直线TN\TM的方程，得P（，得Q（0，），即|PN|=|4+|=||，|MQ|=|2+|=|||PN|?|QM|==．【解答】解：（1）由已知得c=2，F1（﹣2，0），F2（2），∴2a=|AF1|+|AF2|=+=8∴a=4，∴b2=a2﹣c2=4，e=椭圆C的标准方程：．e=．（2）T（x0，y0），（x0≠0，y0≠0），则．M（0，2），N（4，0），∴直线TM的方程为：，令y=0，得P（，直线TN的方程：，令x=0，得Q（0，）则|PN|=|4+|=||则|MQ|=|2+|=|||PN|?|QM|==∴|PN|?|QM|为定值16【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：

工种类别ABC赔付频率

已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（Ⅰ）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.参考答案：解：（Ⅰ）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X25PY25P

Z40P保险公司的期望收益为；；；保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（Ⅱ）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与