山西省运城市北辛高级中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

山西省运城市北辛高级中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z=为纯虚数，则x的值为（

）A.-1或3

B.0

C.3

D.-1参考答案：D略2.已知实数a，b，c，则以下正确的是（

）A.若，则

B.若，则C.若，则

D.参考答案：C3.△ABC中，已知∠A=1200，且，则sinC为A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A．5.已知为纯虚数(是虚数单位)则实数 （） A.

B.

C.－1

D.－2参考答案：A6.=（） A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：=． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 7.参考答案：A8.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(

)A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”

参考答案：C略9.直线截圆得到的弦长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知数列的前项和为，且，，可归纳猜想出的表达式为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.指出下列命题中，是的充分不必要条件的是____________.（1）在中，，（2）对于实数、、，或；（3）非空集合、中，，；（4）已知,，参考答案：

⑵⑷略12.不等式（x2﹣2x﹣3）（x﹣2）＜0的解集为

．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，3）

【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即（x﹣3）（x+1）（x﹣2）＜0，再用穿根法求得它的解集．【解答】解：（x2﹣2x﹣3）（x﹣2）＜0，即（x﹣3）（x+1）（x﹣2）＜0，用穿根法求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，3）．13.函数的定义域是

参考答案：

解:由.

所以原函数的定义域为.

因此，本题正确答案是.14.右边的程序中,若输入，则输出的

.参考答案：215.已知双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程是y=±x，则其准线方程为

．参考答案：x=±根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，由题意分析可得a的值，由双曲线的几何性质可得c的值，进而将a、c的值代入双曲线的准线方程计算可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x，则有=，解可得a=3，其中c==5，则其准线方程为x=±，故答案为：x=±．16.已知向量,.若,则实数__________

参考答案：17.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在以该抛物线截x轴所得线段为直径的圆的内部，则a，b，c之间的关系是

。参考答案：4ac<b2<4ac+4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），证明：f（x）＜axlnx．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=a﹣=，当a≤0时，ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，若0＜x＜，则ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，若x＞，则ax﹣1＞0，从而f'（x）＞0，函数在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），则g′（x）=﹣﹣alnx，g″（x）=，令g″（x）=0，解得：x=，①≤1即a≥1时，g″（x）＜0，g′（x）在（1，+∞）递减，g′（x）＜g′（1）=﹣1＜0，故g（x）在（1，+∞）递减，g（x）＜g（1）=0，成立；②＞1即0＜a＜1时，令g″（x）＞0，解得：1＜x＜，令g″（x）＜0，解得：x＞，故g′（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减，∴g′（x）＜g′（）=2lna﹣a+1，令h（a）=2lna﹣a+1，（0＜a＜1），则h′（a）=＞0，h（a）在（0，1）递增，故h（a）＜h（1）=0，故g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，g（x）＜g（1）=0，成立；综上，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），f（x）＜axlnx．19.已知函数．若，求：

（I）的值；

（II）的最大值．参考答案：解：

（I）由得，

又，所以，

得.

（II）由（I）知，

所以，即，当时，“”号成立，所以的最大值为.

略20.已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围.参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）根据集合的交集运算法则可求；（2）由交集与子集的关系，可以得出，利用分类讨论，可分析出.试题解析：由解得，所以，由得（1）时，，所以（2）∵，∴若时，显然不成立，若时，，，所以.21.已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．参考答案：考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．专题：计算题；综合题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=则AB===2两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．22.已知椭圆C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于E、F两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形AEBF面积取最大值时，求k