山西省运城市北垣中学2021年高三数学理期末试题含解析

山西省运城市北垣中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数y=f(x)的图象如图，则函数y=f(1-x)的图象大致为参考答案：A2.已知向量满足，则=（）A．3 B． C．7 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式以及向量的模的计算即可．【解答】解：∵向量满足，∴|+|2=||2+2?+||2=2+2?=1，∴2?=﹣1，∴|2+|2=4||2+4?+||2=4﹣2+1=3，∴|2+|=，故选：B3.函数的单调递增区间是（

）

参考答案：D4.曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为(

)A．y=2x+3 B．y=2x+1 C．y=﹣2x﹣1 D．y=﹣2x参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y′==∴y′|x=﹣1=2而切点的坐标为（﹣1，1）∴曲线y=在点（﹣1，1）处的切线方程为y=2x+3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．5.设，若，则下列不等式中正确的是

(A)(B)

(C)

(D)参考答案：B略6.（多选题）设为函数f(x)的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（

）A.在(0,+∞)单调递增 B.在(0,+∞)单调递减C.在(0,+∞)上有极大值 D.在(0,+∞)上有极小值参考答案：ABC【分析】根据条件，构造函数g（x）＝xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．【详解】解：由x2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，则xf′（x）+f（x），即[xf（x）]′，设g（x）＝xf（x），即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，即在单调递增，在单调递减，即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g（1）＝f（1），故选：ABC．【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．7.已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的范围为（

）A．1，+∞）

B．（0，+∞）

C．10，+∞）

D．（，+∞）参考答案：B8.已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为（

）A.

2B.

3C.

4D.

5参考答案：C9.已知函数，若是偶函数，则实数的值为A． B． C． D．参考答案：D略10.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的

（

）

A．充要条件

B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是_________．参考答案：12.已知，若，则参考答案：3略13.曲线在点(0,1)处的切线方程是________________．参考答案：.14.已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=

．参考答案：2﹣4【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．15.已知，则对应的的集合为

.参考答案：[-1，2]16.已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．17.已知不等式组表示的平面区域的面积为，若点，则的最大值为.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1DC；（Ⅱ）求二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，则OD∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1DC．（2）以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）连结BC1，B1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，∴OD∥A1B，∵A1B?平面B1DC，OD?平面B1DC，∴A1B∥平面B1DC．（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2正三角形，D是A1C1的中点，且AA1⊥平面ABC，AA1=3．∴以D为原点，DC1为x轴，DB1为y轴，过D作平面A1B1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B1（0，，0），C（1，0，3），C1（1，0，0），=（﹣1，，﹣3），=（﹣1，0，﹣3），=（0，0，﹣3），设平面B1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣3，0，1），设平面B1CC1的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（），设二面角D﹣B1C﹣C1的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D﹣B1C﹣C1的余弦值为．19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．（1）证明：AM∥平面BDC1；（2）证明：DC1⊥平面BDC．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，证明：四边形ADNM为平行四边形，可得DN∥AM，即可证明AM∥平面BDC1；（2）证明：DC1⊥BC，DC1⊥DC，且DC∩BC=C，即可证明DC1⊥平面BDC．【解答】证明：（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，则且．又且，∴AD∥MN，且AD=MN，∴四边形ADNM为平行四边形，∴DN∥AM．又DN?平面BDC1，AM?平面BDC1，∴AM∥平面BDC1．（2）由题设AC=1，则AB=2，由余弦定理，得．由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC1．又∵BC⊥CC1，且CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1．又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．又DC1⊥DC，且DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．20.设函数的图象经过原点，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为.

（1）若方程=0有两个实根分别为-2和4,求的表达式；

（2）若在区间[-1,3]上是单调递减函数,求的最小值.参考答案：解（Ⅰ）因为函数的图象经过原点,所以,则.根据导数的几何意义知,………4分由已知—2、4是方程的两个实数,由韦达定理，

…………6分

（Ⅱ）在区间[—1，3]上是单调减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,即在[—1，3]恒成立,这只需满足即可,也即…………10分而可视为平面区域内的点到原点距离的平方，其中点（—2，—3）距离原点最近，所以当时,有最小值13

13分略21.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出m的值；（Ⅱ）根据条件概率求出两组中各有一户被选中的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）=2m×100，∴m=0.0015．设中位数是x度，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48＜0.5，所以400＜x＜500，，故x=408，即居民月均用电量的中位数为408度．（Ⅱ）第8组的户数为0.0004×100×100=4，分别设为A1，A2，A3，A4，第9组的户数为0.0002×100×100=2，分别设为B1，B2，则从中任选出2户的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），