山西省朔州市平鲁区第二中学2022年高三数学理联考试卷含解析

山西省朔州市平鲁区第二中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列中，前项和为，且，则=(

)A. 2600 B.

2601

C.

2602 D.

2603参考答案：A略2.设命题p：“若对任意，｜x＋1｜＋｜x－2｜＞a，则a＜3”；命题q：“设M为平面内任意一点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在角，使”，则A、为真命题B、为假命题

C、为假命题D、为真命题参考答案：C3.5个数依次组成等比数列，且公比为﹣2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣ D．﹣参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可设这5个数分别为a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，由题意计算可得．【解答】解：由题意可设这5个数分别为a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，故奇数项和与偶数项和的比值为=﹣故选：C4.正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．B．C．D．参考答案：B略5.若集合A={0，m2}，B={1，2}，则“m=1”是“A∪B={0，1，2}”的（）A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B略6.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中，用an表示解下个圆环所需的移动最少次数，{an}满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（

）A.7 B.10 C.12 D.18参考答案：A【分析】利用给定的递推关系可求的值，从而得到正确的选项.【详解】因为，故，，，故选：A.【点睛】本题以数学文化为背景，考虑数列指定项的计算，注意依据分段的递推关系来计算，本题属于基础题.7.在正项等比数列{an}中，a2=3，a8=27，则该数列第5项a5为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a52=a2?a8=81，解可得a5=±9，又由该数列为正项数列可舍去负值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a2=3，a8=27，则a52=a2?a8=81，即a5=±9，又由{an}为正项等比数列，则a5=9，故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质，解题时注意“正项等比数列”这一条件．8.若（，且），则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】对分成两种情况，利用对数函数的单调性，求得a的取值范围.【详解】当时，由得；当时，由得.综上所述，的取值范围是，故选C.【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.9.高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为

(A)36

(B)24

(C)18

(D)12参考答案：【知识点】排列与组合；计数原理.

J2

J1A

解析：第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，由3种方法；第二、三节从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，由种方法.根据分步计数原理得不同的安排方案种数为种.故选A.

【思路点拨】完成把六名教师中安排4人各上一节课这个事件，需分两步：第一步，安排上第一节课的教师；第二步，安排上第二、三节课的教师，(第四节丙教师上).求得完成每步方法数后，由分步计数原理得结论.

10.已知为虚数单位,则(

).A.

B.

C.

D.参考答案：答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则=____________参考答案：012.中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为______________________________________。参考答案：

13.已知函数f（x）=ax2（a＞0），点A（5，0），P（1，a），若存在点Q（k，f（k））（k＞0），要使=λ（+）（λ为常数），则k的取值范围为

．参考答案：（2，+∞）

【考点】二次函数的性质．【分析】根据向量和+共线得出a，k的关系式，化简即可得出k=．根据条件得出0＜1﹣a2＜1，【解答】解：Q（k，ak2），=（1，0），=（，），=（1，a）．∴+=（1+，），∵=λ（+）（λ为常数），∴﹣a（1+）=0，∴ak2﹣ak=a=ak，∴k﹣1=，即k2﹣2k+1=a2k2+1，若a=1，则k=0，不符合题意；∴a≠1，∴k=．∵a＞0且a≠1，k＞0，∴0＜1﹣a2＜1，∴＞2．故答案为（2，+∞）．14.过双曲线的右焦点Ｆ和虚轴端点Ｂ作一条直线，若右顶点Ａ到直线ＦＢ的距离等于，则双曲线的离心率参考答案：2略15.若函数，且，则

。

参考答案：4或-216.已知函数，若不等式的解集为，则的值为___________．参考答案：考点：一元二次方程与韦达定理17.设函数若函数是存在两个零点，则实数k的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点作直线l交曲线C于M，N两点，若Q恰好为线段MN的中点，求直线l的方程.参考答案：（1）.（2）.【分析】（1）由，得即可得直角坐标方程；（2）直线的方程为，利用得求解即可【详解】（1）由，得，根据公式，得，故曲线的直角坐标方程是.（2）设直线的斜率为，则直线的方程为.而曲线：化为标准方程是，故圆心.因为恰好为线段的中点，所以.所以，即，解得.故直线的方程是，即.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据恰好为线段的中点转化为是关键，是基础题19.已知函数f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R） （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，求a，b的值； （2）若a≥1，证明：?x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立． 参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求导，由题意可知，即可求得a，b的值； （2）利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=+2x+6a， 由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，则， 解得：或， 则a，b的值0，1或﹣，； （2）证明：①当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，欲证：?x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立， 构造函数h（x）=f（x）﹣14x，则h′（x）=2x++6a﹣14， 由a≥1，则h′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0， ∴h（x）在（0，+∞）内单调递增，则h（x2）＞h（x1）成立， ∴f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，则＞14成立； ②当x1＞x2时，则x2﹣x2＜0， 欲证：?x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立， 构造函数H（x）=f（x）﹣14x，则H′（x）=2x++6a﹣14， 由a≥1，则H′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0， ∴H（x）在（0，+∞）内单调递增，则H（x2）＜H（x1）成立， ∴＞14成立， 综上可知：?x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立． 【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查分析法证明不等式，考查转化思想，属于中档题． 20.（13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.参考答案：解析：（Ⅰ）解：因为所以的最小正周期（Ⅱ）解：因为,所以当时，取最大值为,当时，取最小值为－1∴的最大值为1,最小值为－21.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．（1）若|FA|=|AD|，当点A的横坐标为时，△ADF为等腰直角三角形，求C的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C，若点，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为（﹣x0，0），并求点P到直线AB的距离d的取值范围．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，求得FD的中点坐标，则+2+=3+2，即可求得p的值，求得抛物线方程；（2）设直线AB的方程，代入抛物线方程，由向量平行即韦达定理，即可求得P点坐标，则△EPB为等腰直角三角形，则kAP=1，由直线的斜率公式可得：y1﹣y2=4，两边平方（y1+y2）2﹣4y1y2=16，m2=1﹣x0，x0＜1，则d=，根据函数的单调性即可求得点P到直线AB的距离d的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知F（，0），丨FA丨=3+2+，丨FD丨=丨FA丨=3+4+，则D（3+4++，0），FD的中点坐标（+2+，0），则+2+=3+2，解得：p=2，∴抛物线C：y2=4x；（2）由题意设AB的方程x=my+x0，（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x2，﹣y2），由，消去x，整理得：y2﹣4my﹣4=0，由x0≥，△=16m2+16x0＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4x0，设P（xP，0），则=（x2﹣xP，﹣y2），=（x1﹣xP，y1），由∥，则（x2﹣xP）y1+y2（x1﹣xP）=0，即x2y1+y2x1=（y1+y2）xP==，显然y1+y2=4m≠0，∴xP==﹣x0，即P（﹣x0，0），由题意可知△EPB为等腰直角三角形，则kAP=1，即=1，则=1，则y1﹣y2=4，∴（y1+y2）2﹣4y1y2=16，即16m2+16x0=16，则m2=1﹣x0，x0＜1，由x0≥，则≤x0＜1，d===，令=t∈（1，]，则x0=2﹣t2，d==﹣2t，则f（t）