山西省运城市万安中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

山西省运城市万安中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“”是“直线与直线互相垂直”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．解析：若，则直线x+y=1和直线x﹣y=1互相垂直，是充分条件；若直线与直线互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A．【思路点拨】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．

2.设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴?=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．3.下列四个命题中，正确的是A.已知服从正态分布，且，则B.已知命题；命题,则命题“”是假命题．C.设回归直线方程为,当变量增加一个单位时,平均增加2.5个单位D.已知直线,，则的充要条件是

参考答案：B4.已知实数满足，,则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.函数的零点所在的一个区间是

(

）A．（一2，一1）

B．（一1，0）

C．（0，1）

D．（1，2）参考答案：B6.化简的结果是(

)A．﹣cos1 B．cos1 C．cos1 D．参考答案：C【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可化简求值．【解答】解：．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角间三角公式的综合应用，属于基本知识的考查．7.设集合

A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.（5分）已知复数z满足z（1+i）3=1﹣i，则复数z对应的点在（）上．A．直线y=﹣xB．直线y=xC．直线x=﹣D．直线y=﹣参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）3=1﹣i，得=．∴复数z对应的点在直线x=﹣上．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．9.双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A． B． C． D．3参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程以及渐近线的性质求出a，b关系式，通过|AB|=2，求出c，然后求解a即可得到结果．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，可得，直线AB过焦点，且|AB|=2，可得c=，则，解得a=．则双曲线实轴长为：3．故选：D．10.若、为实数，则“＜1”是“0＜＜”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B，所以，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则=

.

参考答案：12.已知向量a＝(3，4)，b＝(－1，m)，且b在a方向上的投影为1，则实数m＝

参考答案：213.由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列，，，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为__________．参考答案：14.已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为．参考答案：﹣12【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性和对称性，结合图象可得方程的根．【解答】解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数．分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示．这两个函数的图象关于点P（﹣2，2）中心对称，故它们的交点也关于点P（﹣2，2）中心对称，从而方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（﹣2，2）中心对称，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为3×（﹣4）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查根的存在性及根的个数判断，函数的周期性以及对称性的综合应用，综合性比较强．15.已知θ是第二象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于

.

参考答案：答案:－

16.用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位上的数字之和为偶数的四位数共有

个（用数字作答）参考答案：324

17.过双曲线x2﹣y2=1焦点的直线垂直于x轴，交双曲线于A、B两点，则|AB|=

．参考答案：2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其焦点坐标，进而可得直线AB的方程，联立直线AB与双曲线的方程可得AB的纵坐标，由此计算可得线段AB的长度，即可得答案．【解答】解：双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），直线AB的方程为x=或x=﹣，联立，解可得y=±1，则|AB|=2；故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出点A、B的坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。参考答案：（1）证明：（1）因为EC=ED，所以∠ECD=∠EDC，

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA，

故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB。（2）由（1）知AE=BE，所以∠EAB=∠EBA，

因为EF=EG，所以∠EFD=∠EGC，从而∠FED=∠GEC，

连接AF、BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，

所以∠FAE+∠EAB=∠GBE+∠EBA，即∠FAB=∠GBA，

又CD∥AB，所以∠GFA+∠FAB=∠GFA+∠GBA=180°，

故A，B，G，F四点共圆。19.在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于点D，记满足的动点M的轨迹为F。

（I）求轨迹F的方程；

（Ⅱ）已知直线：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点,射线OG交轨迹F于点Q，且∈R。

①证明：2m2=4k2+1；

②求△AOB的面积S（）的解析式，并计算S（）的最大值。参考答案：解：（I）设点M(x，y)，，得点D坐标为，且.①因为，所以②，将②代入①得，所以所求的轨迹方程为；（Ⅱ）①令，由，所以③，所以，由中点坐标公式得，根据，得，将其代入椭圆方程，有.化简得④②由③④得m≠0，λ＞1.因为⑤，在△AOB中，⑥，由④⑤⑥得，令，则.所以当时，取得最大值，其最大值为1.略20.已知数列{}中，，前n项和．(I)求a2，a3以及{}的通项公式；(II)设，求数列{}的前n项和Tn．参考答案：

【解析】略21.若数列同时满足：①对于任意的正整数，恒成立；②对于给定的正整数，对于任意的正整数（）恒成立，则称数列是“数列”.（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数（），使得，，，成等差数列，证明：是等差数列.参考答案：（1）当为奇数时，，所以..当为偶数时，，所以..所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，，,…是等差数列，设其公差为，数列，，,…是等差数列，设其公差为，数列，，,…是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以①，②.若，则时，①不成立；若，则时，②不成立；若，则①和②都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以，所以是等差数列.【另解】，，，以上三式相加可得：，所以，所以，，，所以，所以，所以，数列是等差数列