山西省朔州市山阴北周庄中学2022年高三数学理月考试题含解析

山西省朔州市山阴北周庄中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的展开式中，常数项为15，则的值可以为

A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：D2.已知集合，集合，则的子集个数为（

）A．1

B．

2

C．3

D．4参考答案：D，所以，其子集个数为，选D.3.若函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在[0，]上的最大值为（）A．2 B． C． D．参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的化简求值．【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x），根据f（x）的最小正周期求出ω的值，由x的取值范围求出f（x）的最大值【解答】解：f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+），∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω==2，∴f（x）=cos（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）在[0，]上的最大值为f（0）=cos=故选：C4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x，若f(x0)＝－9，则x0的值为()A．－2

B．2

C．－1

D．1参考答案：B5.已知命题：、为直线，为平面，若∥，，则∥；命题：若＞，则＞，则下列命题为真命题的是（

）

A.或

B.或

C.且

D.且参考答案：B若∥，，则∥，也可能，所以命题是假命题；若＞，当时，；当时，，所以命题也是假命题，综上所述，或为假命题；或为真命题；且为假命题；且为假命题，故选择B。6.设以，若x>l，则a，b，c的大小关系是

A．a<b<c．

B．c<a<b

C．b<a<c

D．b<c<a参考答案：B7.执行如图所示的程序框图，若输入，那么输出的等于

（

）720

360

240

120

参考答案：B略8.在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是(

)

A．

B.

C.

D.2参考答案：A9.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是(

)

A．

y=－

B.

y=lnx

C.

y=

D.

y=x3＋参考答案：D略10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥P-ABCD中，若E为侧棱PB的中点，则异面直线PD与AE所成角的正弦值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】作出图形，连接、交于点，连接，可得出异面直线与所成的角为，通过解三角形可求得，即可得解.【详解】设四棱锥的棱长为2，连接、交于点，连接，如下图所示：则点为的中点，又为的中点，，所以，异面直线与所成的角为，且，，，，，则.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般通过平移直线法找出异面直线所成角，考查计算能力，属于中等题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若以轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角为参数，则圆的参数方程为

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质;图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【试题分析】圆化为标准方程为，所以圆心（1,0），半径为1，所以圆上的点的坐标为，,所以圆的参数方程为（为参数）,故答案为.12.在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______参考答案：由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.

13.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，

从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是

．参考答案：14.若定义域为R的函数f(x)满足，则不等式的解集为

.（结果用区间表示）参考答案：

(0，e)15.已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．参考答案：24π16.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

.参考答案：？当时,;,;,;,;时,满足条件,输出.故判断框内的条件是.17.“开心辞典”中有这样的问题，给出一组数，要你根据规律填出后面的几个数，现给出一组数：它的第8个数可以是．参考答案：【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，由所给的前几个数归纳分析可得an=（﹣1）n，问题得以解决【解答】解：化为﹣，，﹣，，﹣，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为负，偶数项符号为正，通项公式可为an=（﹣1）n，它的第8个数可以是a8=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．解答： 解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．19.已知双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动点M在椭圆C上，且|MN|=，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值．参考答案：【分析】（I）由题意求得椭圆的离心率，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，当斜率为0时，即可求得m的值，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式，利用导数求得函数的单调性及最值，即可求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，∴a=，，=，∴c=，b=，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）当直线MN的斜率为0时，由|MN|=，则M（，y），则y=，则直线MN在y轴上的截距为，当直线MN的斜率不存时，与y轴无焦点，设MN为：y=kx+m，（k≠0）联立，得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6=0，，，△=（12km）2﹣4（1+6k2）（6m2﹣6）＞0，△=144k2﹣24m2+24＞0，∴m2＜6k2+1，|MN|==，∴=，整理，得，∴＜6k2+1，整理得：36k4+12k2+1＞0，即6k2+1＞0，k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则=，令k2+1=t，t＞1，则f（t）=﹣2t﹣+，t＞1，求导f′（t）=﹣2+，令f′（t）＞0，解得：1＜t＜，令f′（t）＜0，解得：t＞，则f（t）在（1，）单调递增，在（，+∞）单调递减，∴当t=时，f（t）取最大值，最大值为，∴m的最大值为，综上可知：m的最大值为．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．20.如图,直角梯形ABCD中,,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,．（1）求证:平面PCD⊥平面;（2）侧棱上是否存在点E,使得平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由．（3）（理）求二面角的余弦值．参考答案：（理）（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA．又△ABC的面积等于△ADC面积的,∴．在底面中，因为，，所以，所以．又因为，所以平面．而CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面（理4分，文7分）（2）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结BE，EF，FC，则，且．由已知，所以．又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（理8分，文14分）（理）（3）设为中点，连结，则．又因为平面平面，所以平面．过作于，连结，由三垂线定理可知．所以是二面角的平面角．设，则,．在中，，所以．所以，．即二面角的余弦值为．（14分）21.（本小题满分12分）已知函数.（I）求函数在处的切线方程；（II）讨论的单调性；（III）对于任意的的取值范围.参考答案：22.已知向量，向量，函数．（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．参考答案：【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的运算由已知可