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文档简介
山西省朔州市山阴北周庄中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.的展开式中,常数项为15,则的值可以为
A.3
B.4
C.5
D.6参考答案:D2.已知集合,集合,则的子集个数为(
)A.1
B.
2
C.3
D.4参考答案:D,所以,其子集个数为,选D.3.若函数f(x)=sinωx+cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在[0,]上的最大值为()A.2 B. C. D.参考答案:C【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数的化简求值.【分析】利用三角恒等变换化简函数f(x),根据f(x)的最小正周期求出ω的值,由x的取值范围求出f(x)的最大值【解答】解:f(x)=sinωx+cos(ωx+)=sinωx+cosωx﹣sinωx=cosωx﹣sinωx=cos(ωx+),∵函数f(x)的最小正周期为π,∴ω==2,∴f(x)=cos(2x+),∵x∈[0,],∴2x+∈[,],∴f(x)在[0,]上的最大值为f(0)=cos=故选:C4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x,若f(x0)=-9,则x0的值为()A.-2
B.2
C.-1
D.1参考答案:B5.已知命题:、为直线,为平面,若∥,,则∥;命题:若>,则>,则下列命题为真命题的是(
)
A.或
B.或
C.且
D.且参考答案:B若∥,,则∥,也可能,所以命题是假命题;若>,当时,;当时,,所以命题也是假命题,综上所述,或为假命题;或为真命题;且为假命题;且为假命题,故选择B。6.设以,若x>l,则a,b,c的大小关系是
A.a<b<c.
B.c<a<b
C.b<a<c
D.b<c<a参考答案:B7.执行如图所示的程序框图,若输入,那么输出的等于
(
)720
360
240
120
参考答案:B略8.在△中,角所对的边分别为,且满足,则的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.2参考答案:A9.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是(
)
A.
y=-
B.
y=lnx
C.
y=
D.
y=x3+参考答案:D略10.侧棱长与底面边长都相等的四棱锥P-ABCD中,若E为侧棱PB的中点,则异面直线PD与AE所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.参考答案:A【分析】作出图形,连接、交于点,连接,可得出异面直线与所成的角为,通过解三角形可求得,即可得解.【详解】设四棱锥的棱长为2,连接、交于点,连接,如下图所示:则点为的中点,又为的中点,,所以,异面直线与所成的角为,且,,,,,则.故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般通过平移直线法找出异面直线所成角,考查计算能力,属于中等题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若以轴正方向为始边,曲线上的点与圆心的连线为终边的角为参数,则圆的参数方程为
.参考答案:【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质;图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【试题分析】圆化为标准方程为,所以圆心(1,0),半径为1,所以圆上的点的坐标为,,所以圆的参数方程为(为参数),故答案为.12.在三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心,PB=BC=2,则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______参考答案:由题意,取的中点为,由平面可得,又是的外心,可得,所以平面,所以,所以,又可得是等边三角形,所以,又面与底面所成的二面角的大小为,所以角,过的中心(为三等分点)做一条垂线与交于点,则为外接球球心,所以,所以外接球表面积为.
13.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只黑球,2只白球,
从中一次随机摸出2只球,至少有1只黑球的概率是
.参考答案:14.若定义域为R的函数f(x)满足,则不等式的解集为
.(结果用区间表示)参考答案:
(0,e)15.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.参考答案:24π16.右图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是
.参考答案:?当时,;,;,;,;时,满足条件,输出.故判断框内的条件是.17.“开心辞典”中有这样的问题,给出一组数,要你根据规律填出后面的几个数,现给出一组数:它的第8个数可以是.参考答案:【考点】F1:归纳推理.【分析】根据题意,由所给的前几个数归纳分析可得an=(﹣1)n,问题得以解决【解答】解:化为﹣,,﹣,,﹣,分母上是2的乘方,分子组成等差数列,奇数项符号为负,偶数项符号为正,通项公式可为an=(﹣1)n,它的第8个数可以是a8=,故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点.(Ⅰ)求证:直线AF∥平面PEC;(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.参考答案:考点:直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)首先利用中点引出中位线,进一步得到线线平行,再利用线面平行的判定定理得到结论.(Ⅱ)根据直线间的两两垂直,尽力空间直角坐标系,再求出平面PAB的法向量,最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值.解答: 解:(Ⅰ)证明:作FM∥CD交PC于M.∵点F为PD中点,∴.∵点E为AB的中点.∴,又AE∥FM,∴四边形AEMF为平行四边形,∴AF∥EM,∵AF?平面PEC,EM?平面PEC,∴直线AF∥平面PEC.(Ⅱ)已知∠DAB=60°,进一步求得:DE⊥DC,则:建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0),A(,﹣,0),B(,,0).所以:,.设平面PAB的一个法向量为:,.∵,则:,解得:,所以平面PAB的法向量为:∵,∴设向量和的夹角为θ,∴cosθ=,∴PC平面PAB所成角的正弦值为.点评:本题考查的知识要点:线面平行的判定的应用,空间直角坐标系的建立,法向量的应用,线面的夹角的应用,主要考查学生的空间想象能力和应用能力.19.已知双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设动点M在椭圆C上,且|MN|=,记直线MN在y轴上的截距为m,求m的最大值.参考答案:【分析】(I)由题意求得椭圆的离心率,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(Ⅱ)分类讨论,当斜率为0时,即可求得m的值,设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式即可求得m的表达式,利用导数求得函数的单调性及最值,即可求得m的最大值.【解答】解:(Ⅰ)∵双曲线﹣y2=1的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,∴a=,,=,∴c=,b=,∴椭圆C的方程为=1.(Ⅱ)当直线MN的斜率为0时,由|MN|=,则M(,y),则y=,则直线MN在y轴上的截距为,当直线MN的斜率不存时,与y轴无焦点,设MN为:y=kx+m,(k≠0)联立,得(1+6k2)x2+12kmx+6m2﹣6=0,,,△=(12km)2﹣4(1+6k2)(6m2﹣6)>0,△=144k2﹣24m2+24>0,∴m2<6k2+1,|MN|==,∴=,整理,得,∴<6k2+1,整理得:36k4+12k2+1>0,即6k2+1>0,k∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),则=,令k2+1=t,t>1,则f(t)=﹣2t﹣+,t>1,求导f′(t)=﹣2+,令f′(t)>0,解得:1<t<,令f′(t)<0,解得:t>,则f(t)在(1,)单调递增,在(,+∞)单调递减,∴当t=时,f(t)取最大值,最大值为,∴m的最大值为,综上可知:m的最大值为.【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,弦长公式,利用导数求函数的单调性及最值,考查计算能力,属于中档题.20.如图,直角梯形ABCD中,,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的.梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,.(1)求证:平面PCD⊥平面;(2)侧棱上是否存在点E,使得平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.(3)(理)求二面角的余弦值.参考答案:(理)(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA.又△ABC的面积等于△ADC面积的,∴.在底面中,因为,,所以,所以.又因为,所以平面.而CD平面PCD,∴平面PCD⊥平面(理4分,文7分)(2)在上存在中点,使得平面,证明如下:设的中点是,连结BE,EF,FC,则,且.由已知,所以.又,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.(理8分,文14分)(理)(3)设为中点,连结,则.又因为平面平面,所以平面.过作于,连结,由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设,则,.在中,,所以.所以,.即二面角的余弦值为.(14分)21.(本小题满分12分)已知函数.(I)求函数在处的切线方程;(II)讨论的单调性;(III)对于任意的的取值范围.参考答案:22.已知向量,向量,函数.(Ⅰ)求f(x)单调递减区间;(Ⅱ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,,c=4,且f(A)恰是f(x)在上的最大值,求A,b,和△ABC的面积S.参考答案:【考点】HR:余弦定理;9R:平面向量数量积的运算.【分析】(Ⅰ)利用平面向量的运算由已知可
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