“有限元法基础及应用”补充讲义-2008

PAGEPAGE17“有限元法基础及应用”补充讲义一、弹簧单元与弹簧系统弹簧单元分析1）单元描述弹性系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。单元节点编号：节点位移（基本未知量）：单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：已知弹簧的物理特性：其中：2）建立弹簧单元的有限元特性方程考虑弹簧元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：（1-1）（1-1）写成矩阵形式：（1-2）（1-2）（1-3）上式的矩阵符号形式为：（1-3）方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元特性，即节点力~节点位移之间的关系。式（1-3）中：3）弹簧单元刚度方程的讨论a.对称、奇异、主对角元素恒正。b.刚度矩阵元素的大小等于弹簧刚度。从对方程（1-2）分析的分析可以看出，矩阵中某列的各元素代表列序号对应节点有单位位移，其它节点位移为零时，单元各节点上的节点力；某行的各元素分别是单元各节点的位移对行序号对应节点的节点力贡献系数。因此，矩阵中任意一个元素的物理意义是：节点的位移对节点的节点力贡献系数，或者节点有单位位移，其他节点位移为零时，节点上的节点力。c.单元刚度方程可以求解吗？为什么？不可以。单元刚度方程仅仅表征一个单元的力学特性，单元水平上无法确定单元节点位移。只有把系统中所有单元特性集成后，在系统水平上才可能求出所有未知位移和反力。单元水平上，若已知单元的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分量。若节点力已知，单元节点位移不能确定，单元可作刚体运动。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。2、弹簧系统整体分析求解1）建立系统节点平衡方程以右图的一个弹簧系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。（1-4）由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（1-2），分别写出2个弹簧单元的特性方程如下：（1-4）单元1（1-5）单元2（1-5）（注：右端节点力分量的下标为单元节点的局部编号，上标是单元编号）下面用两种方法装配单元特性、建立系统控制方程，并在特定条件下求解。（1）由系统中节点平衡条件导出：系统处于平衡时，考虑各节点（1，2，3节点）的平衡条件：由于节点受到的外载荷与节点受到与其连接的所有单元对其作用力（单元节点力的反作用力）之和等于零。因此有下列（节点）平衡方程（组）：（1-6）（1-6）把单元特性（1-4），（1-5）代入（1-6）得到：（1-7）（1-7）写成矩阵形式：（1-8）（1-8）或矩阵符号形式：（1-9）（1-9）方程（1-8），（1-9）是系统节点平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节点位移之间的关系，是求解节点位移的控制方程。方程（1-9）中：——弹簧系统的结构总刚度矩阵——系统节点位移列阵——系统节点载荷列阵讨论：a．K有那些特点和性质？b．上述方程能求解吗？（2）由单元刚度方程叠加导出将单元1，2的刚度方程（1-4），（1-5）进行增广（扩大到系统规模）：（1-11）（1-10）（1-11）（1-10）注意对单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的关系。将上述两个方程叠加，得到：（1-12）（1-12）将系统中节点的力平衡条件（1-6）代入上式，就得到与（1-8）相同的系统节点平衡方程。上述两种建立系统平衡方程的方法都考虑了1）单元特性集成；2）系统中节点外载荷与系统的节点力（系统内力）的平衡。因此方程（1-8）的本质是系统中所有节点的力平衡关系，其左边是由节点位移表示的系统节点力，右边是节点所受外载荷。不难发现，系统总刚度矩阵可以直接由单元刚度矩阵扩大后叠加而得到。总刚度矩阵元素的含义可以由方程（1-12）分析出。2）系统平衡方程求解假如边界条件为：（1-13）（1-13）则节点平衡方程（1-8）化为：（1-14）（1-14）将该方程展开为两部分。第2，3个方程变化为：（1-15）（1-15）第1个方程变化为：（1-16）（1-16）先后解方程（1-15）、（1-16）得：（1-17）（1-17）（1-18）（1-18）从而解出了系统的未知位移和未知反力，并可以进一步求弹簧力。3、例题图示一个3弹簧的系统。求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移（c）节点1、4的反力（d）弹簧2中的力解：（a）分别写出各单元刚度矩阵：参照方程（1-10）、（1-11）中单元刚度矩阵的扩大，用叠加法直接得到系统总刚度矩阵：该总刚度矩阵的特点：对称性、奇异性、稀疏、非零元素沿主对角线呈带状分布。（b）参考方程（1-8），利用求出的总刚度矩阵，写出系统节点平衡方程：（1-19）（1-19）考虑到位移边界条件：则平衡方程组（1-19）第2，3方程化为：求解上式得：（c）由（1-19）的方程1，4得1，4节点的反力：（d）弹簧2内力为：（拉力）（拉力）对图示弹簧系统，用扩大-叠加法求其总刚度矩阵。并对图示弹簧系统，用扩大-叠加法求其总刚度矩阵。并根据节点平衡方程的含义，直接按行或列写出总刚度矩阵。二、杆单元目标：通过杆单元特性方程的建立，初步掌握有限元法单元分析的过程和原理。了解杆系结构分析的原理。1、等截面杆单元及其刚度矩阵1）单元描述L—杆长A—截面积E—弹性模量——杆单元位移————杆单元位移——杆单元应变——杆单元应力应变—位移关系：（2-1）应力—应变关系：单元节点位移：单元节点力：（2-2）2)单元特性方程（1）直接法导出杆单元特性采用材料力学基本知识对单元进行力学分析。杆单元伸长量：（2-3）杆应变：（2-4）杆应力：（2-5）杆内力：（2-6）杆的轴向刚度：（2-7）由于轴向变形模式下，杆单元的行为与弹簧单元相同，因此可比照弹簧单元的刚度方程（1-2），考虑到（2-7），直接写出杆单元的刚度方程：（2-8）（2-9）写成符号形式：（2-9）因此杆单元刚度矩阵为：（2-10）（2-10）（2）公式法导出杆单元特性a.在单元上定义近似位移场把一个单元上的位移分布假设为简单多项式函数。有限元法中用插值法通过节点位移分量作为待定参数来构造单元位移函数。对图2-1的杆单元，方便起见引入局部坐标:由于该杆单元只有2个未知节点位移分量，因此单元上假设的简单位移函数采用一次多项式，故对单元的节点位移进行线性插值。（2-11）节点的插值函数如下：（2-11）因此单元上近似位移函数的插值形式为：（2-12）（2-12）该位移函数也称为单元的位移模式，这里是线性位移模式。式（2-11）中的插值函数又称为形状函数，简称形函数。（2-13）式（2-12）写成矩阵形式为：（2-13）上式中称为单元的形函数矩阵。式（2-13）是有限元法中最重要的关系式之一，通过该式把单元上的近似位移分布函数用节点位移来表示，为进行单元层次上的分析打下了基础。b.单元应变和单元应力由杆一维变形的应变——位移方程（2-1）和单元的位移函数（2-13）求出单元的应变分布和节点位移的关系：（2-14）式中：（2-15）称为单元的位移——应变转换矩阵，简称应变矩阵。由一维杆的应力——应变关系（2-2），得单元应力和单元节点位移的关系：（2-16）c.用弹性体的虚位移原理导出杆单元刚度方程变形体的虚位移：假想在弹性体上发生的，满足位移许可条件（内部连续，边界协调）的微小、任意位移场。可以理解为某个位移场的微小扰动（变分）。虚位移的特征：1）假想的，与真实位移无关；2）几何上是许可的：连续、协调；3）微小、任意大小。虚位移原理：弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于弹性体内的虚应变能（应力在虚应变上做的虚功）。下面把虚位移原理应用在所研究的杆单元上。定义杆单元的虚位移：节点虚位移单元虚位移单元虚应变那么，节点力（外力）虚功为：单元虚应变能：对杆单元应用虚功原理，那么上述节点力（外力）虚功等于虚应变能，因此有下列关系：（2-17）考虑到的任意性，从上式可以得到：（2-18）上式就是杆单元的刚度方程，杆单元的刚度矩阵为：（2-19）其导出原理和计算方法可推广到其他类型的实体单元。具体计算式如下：（2-20）（2-20）显然，与前面直接法得到的单元刚度矩阵（2-8）式相同。3）杆单元讨论单元自由度只有拉伸、压缩变形的杆单元在局部坐标系下是一维问题，其2节点单元只有2个节点位移分量——单元有2个自由度，单元刚度方程、刚度矩阵为2阶。单元刚度矩阵元素的物理意义：设单元刚度方程为：（2-22）（2-21）令：（2-22）（2-21）（2-23）上式代入（2-21）得到：（2-23）上式表明，单元刚度矩阵第一列元素就是当单元节点位移满足式（2-22）时的单元节点力分量。如果能设法求出此时的节点力，就得到第一列的刚度元素。一般地，单元刚度矩阵的第i列元素表示当维持单元的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为0时，单元上的节点力分量。可以用此方法直接求杆单元的刚度矩阵元素。单元刚度矩阵性质单元刚度矩阵对称、奇异、主元恒正。4）例题例1求图示杆中的应力。解：结构划分为２个杆单元。根据杆单元刚度矩阵公式（2-10）分别写出两个单元的刚度矩阵为：（2-24）参照前面弹簧系统的分析方法，装配系统的有限元方程（节点平衡方程）如下：（2-24）考虑结构的约束和载荷，方程（2-24）化为：（2-25）（2-25）上式的第2个方程为：（2-26）（2-26）求解该方程后得到系统的位移解：（2-27）（2-27）计算单元应力：单元1单元25）几点提示例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采用有限元单元应力公式的结果相同，请验证。锥形杆，单元截面积可以用平均值，从而转化为类似本题的问题求解。求应力之前需要先求出节点位移，因此本方法称为有限元位移法。如果杆上受连续分布的轴向载荷或节点之间受轴向集中载荷，分析时可以按照虚功相等的原则先把单元上的载荷等效移置到节点上。2、二维空间杆单元（平面桁架单元）2-D空间中建立杆单元的基本思路是根据前面在杆的一维局部坐标系下建立的单元特性方程通过坐标变换，转换为2-D总体坐标系下节点分量的方程，同时得到坐标变换后的单元刚度矩阵。而系统整体分析的原理和方法与一维情况相同。（1）单元向量坐标变换上图为一个杆单元及其局部坐标系与2-D总体坐标的关系。节点的位移分量和节点力分量在2-D局部坐标系x-y下描述，杆节点i具有2个自由度：位移分量为，；节点力分量为，其中只有x方向的位移分量和节点力分量用来描述单元特性。节点上的位移和节点力向量在2-D局部坐标系与2-D总体坐标系下的变换如下：上述变换的矩阵形式：（2-28）（2-28）（2-29）矩阵符号形式：（2-29）其中：（2-30）（2-30）上式中称为向量的坐标变换矩阵，是单元特性坐标变换的基本元素。显然是正交矩阵，即：（2-31）（2-31）因此，由（2-28）可得单元节点位移向量的坐标变换式如下：（2-32）（2-32）（2-33）符号形式：（2-33）其中（2-34）（2-34）同理也可得到单元节点力的坐标变换式：（2-35）（2）2-D空间刚度矩阵下面导出单元刚度方程和单元刚度矩阵的坐标变换式。已知杆单元在一维局部坐标系下的刚度方程为：（2-36）（2-36）把该方程扩充到2-D局部坐标系x-y下的4阶形式：（2-37）（2-37）符号形式：（2-38）（2-38）引入单元向量变换式（2-33），（2-35）得：（2-39）（2-39）（2-40）考虑到变换矩阵的正交性，得到：（2-40）（2-41）或写成：（2-41）（2-42）其中：（2-42）式（2-41）就是2-D总体坐标系下杆单元刚度方程，是二维空间杆单元刚度矩阵，由（2-42）可计算出：（2-43）（2-43）（3）单元应力由单元应力计算公式（2-16）和位移向量变换式（2-32）得：即：（2-44）（2-44）（4）思考与讨论如何从二维空间总体坐标系下杆单元刚度方程（2-41），根据刚度矩阵元素的物理意义，直接求出总体坐标系下杆单元刚度矩