概率与数理统计第二章2

离散型随机变量分布

随机变量的分布函数随机变量定义及类型定义设随机试验E的样本空间为S，如果对于每一个e∈S，都有唯一的一个实数X(e)与之对应，则称X(e)为随机变量，并简记为X。eX(e)SX随机变量分类离散型随机变量（全部可能取到的值是有限个或可列无限个）

连续型随机变量（它的全部可能取值不仅是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间）

既非离散型也非连续型的随机变量N重贝努利试验特点每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果每次试验“成功”的概率都为p（0<p<1），“失败”的概率为(1-p)=qn次实验是相互独立的思考:n次贝努利实验“成功”次数的概率分布特别当n=1时，二项分布为二项分布即为0-1分布。定义如果随机变量X的概率分布为（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)则称X服从参数为n，p的二项分布。记作X~B(n,p).例某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。解每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则X~B(400,0.02)，X的分布律为所求概率为其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)查课本附表泊松分布表，对于给定的λ，可查泊松分布（k=0，1，2，…）

定义如果随机变量X的概率分布为

泊松(Poisson)定理设>0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有

即当随机变量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小时，记=np，则前例可用泊松定理计算。取=np=400×0.02＝8,近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

常用的离散型随机变量分布（0—1）分布-----可视为二项分布的特例二项分布泊松分布其中λ＞0是常数，记为X~P(λ)（k=0，1，2，…）（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)记作X~B(n,p).一部篇幅很大的书籍,每页书的错字个数服从λ=0.1的泊松分布.随机翻开一页检查,求(1)没有错字的概率;(2)至少有一个错字的概率一电话机总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布.求(1)某分钟恰有8次呼唤的概率;(2)某一分钟呼唤次数大于3的概率一、分布函数的定义

1）定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为

X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX退出前一页后一页目录二、分布函数的性质F(x)是一个单调不减的函数．

设随机变量X的分布律为如右：求X的分布函数.Xpk-212解：当x<-2

时，01xX2-2x例1：§3随机变量的分布函数第二章随机变量及其分布退出前一页后一页目录满足Xx的X取值为X=-2,

x1X2-2x满足Xx的X取值为X=-2,或1，

Xpk

-212同理当-2012x1Xpk

-212分布函数F(x)在x=xk

(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

pk=P{X=xk}.说明：Xpk

-212-2012x1

例2一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：（1）若x<0,则是不可能事件，于是（2）X第二章随机变量及其分布退出前一页后一页目录（3）若,则是必然事件，于是§3随机变量的分布函数第二章随机变量及其分布退出前一页后一页目录01231F(x)x第二章随机变量及其分布练习:向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。解

F(x)=P(X≤x)

当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率解设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：X0123P1/21