2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A． B． C．2 D．-【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案.【详解】等差数列中，，则，所以，则故选：A2．已知函数可导，且，（

）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是（

）A．第5项 B．第6项C．第4项或第5项 D．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：，因为，且，所以数值最大的项为第5项．故选：A．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即，故，即，所以，所以，，，所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：.故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（

）A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是单调函数【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即可.【详解】由函数的导函数的图像知，A：时，，函数单调递减，故A正确；B：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，故B错误；C：时，，函数单调递增，故C错误；D：时，或，所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误.故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（

）A．2 B． C．1 D．0.5【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可【详解】解：因为在等差数列中，，所以，故选：C7．下列结论正确的是（

）A．若为等比数列，是的前n项和，则，，是等比数列B．若为等差数列，是的前n项和，则，，是等差数列C．若为等差数列，且均是正整数，则“”是““的充要条件D．满足的数列为等比数列【答案】B【分析】根据等差数列前n项和性质可以判定B选项正确，利用特例判定其余选项错误.【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n项和，设，当时，，，，则，，不是等比数列，所以A选项错误；若为等差数列，是的前n项和，设公差为，则，，，所以，，是等差数列，所以B选项正确；为等差数列，考虑，，，所以C选项错误；考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D选项错误.故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在上为增函数，∵，若，，所以；若，，在上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n为（

）A．17 B．16 C．8 D．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】由，，得，，，所以数列是周期为3的数列，所以，．故选：BD．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是A． B．C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为为数列的前项和，且，所以，因此，当时，，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；因此，故A正确；又，所以，故B错误；因为，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.11．已知函数，则（

）A．在上单调递增B．是的极大值点C．有三个零点D．在上最大值是【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项判断即可．【详解】解：因为所以，令，解得或，与随的变化情况如下表：200极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；是的极大值点，故正确；因为，，，，由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确；当的定义域为时，在，上单调递减，在，上单调递增，又，，所以在，上的最大值是4，故正确．故选：．12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（

）A．“提丢斯数列”是等比数列B．“提丢斯数列”的第99项为C．“提丢斯数列”的前31项和为D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，，符合该式，当时，不符合上式，故，故A错误；，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为，故C正确；令，即，得，又，故不超过20的有8项，故D错误.故选：BC.三、填空题13．在等比数列中，，则_____.【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论.【详解】在等比数列中，，则，故答案为：2514．曲线上的点到直线的最短距离是_______.【答案】【详解】时到直线的距离最短，最短距离为.15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.【答案】－.【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．16．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果.【详解】，令，得或，∴在和上为增函数，在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值，极小值为而，∴在上的最小值为，对于任意都有成立，得的范围.故答案为：.【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求；（2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解.【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，得，解得q＝3，∴的通项为；（2）由已知可得，∴，.18．已知函数（1）求的极值；（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；（2）【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得，令，可得或则当时，，当时，在，上为增函数，在上为减函数则,(2)，由题意可知恒成立，即时，，当且仅当时等号成立故则【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n项的和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解.（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，∴当时，，当时，，对时，等号也成立，故，.（2）＝＝，故前n项和＝20．已知函数.（1）判断函数的零点个数；（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．【详解】（1）由题知函数的定义域为，对任意恒成立，当且仅当时，，所以在上单调递增.又，所以函数有且仅有1个零点.（2）因为，所以.由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.令，又，且函数图象的对称轴为，所以只需解得，即实数的取值范围为.21．已知数列的前n项和，，且满足.(1)求；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得；（2）由，利用错位相减即可求和.【详解】（1）由题意可得.....①，当时，......②，①﹣②得，，可得，又，，综上，时，，当时，＝，∴，∴，又满足，综上，.（2）数列的前n项和..............①..................②①﹣②可得∴.22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，①求；②若，且在抛物线上，求实数的值.【答案】（1）；（2）①5；②.【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可.（2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达