2022-2023学年北京市延庆区高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市延庆区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，集合，，则（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】先化简集合，，再由子集的概念可判断A；由集合的运算判断BCD【详解】因为，或，所以不是的子集，故A错误；，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D2．若复数z满足，则z的虚部为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】化简方程求出复数的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.【详解】因为，所以，所以复数的虚部为，故选：C.3．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据焦点坐标，确定开口方向和，即可求抛物线方程.【详解】因为抛物线的焦点是，所以开口向左，设抛物线方程为，又，则，所以抛物线方程为.故选：D4．已知，，动点P满足，则动点P的轨迹方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义，分析可得的轨迹是以、为焦点的双曲线，结合题意可得，，计算出的值，将其代入双曲线的方程即可得答案．【详解】根据题意，，，则，动点满足，其中，则的轨迹是以、为焦点的双曲线的上半支，其中，，即，则，所以双曲线的方程为：，故选：D．5．与圆和都外切的圆的圆心在（

）．A．一个椭圆上 B．一条双曲线上C．一条抛物线上 D．双曲线的一支上【答案】D【分析】根据两圆方程得出两圆的圆心坐标和半径，判断出两圆的位置关系，再利用与两圆都外切的位置关系得出圆心距离所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义即可得出答案.【详解】由圆可知，圆心，半径，圆化为标准方程，圆心，半径因此圆心距，所以两圆相离；设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为则满足，所以，即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，即圆心在双曲线的一支上.故选：D.6．“直线和曲线只有一个交点”是“与相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】可以通过举例说明充分性与必要性是否成立.【详解】解：若直线与曲线只有一个交点，直线与曲线不一定相切，比如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之，若直线与曲线相切，直线与曲线也不一定只有一个交点．故“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．若双曲线的方程为，则它的离心率与渐近线方程分别为（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据双曲线方程得到，，，然后求离心率和渐近线方程即可.【详解】根据双曲线方程可得，，，所以离心率，渐近线方程为.故选：C.8．已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可.【详解】如图，为点在准线上的投影，根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为.故选：B.9．过抛物线的焦点F的一条直线与此抛物线相交于A，B两点，已知，则线段的中点到抛物线准线的距离是（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【分析】求得所在直线的方程并与抛物线联立，利用根与系数的关系求得线段的中点的横坐标，即可求解【详解】由题意得，抛物线的焦点为，则，所以直线的方程为，即，所以所在直线的方程为，由得，由根与系数的关系可知，所以线段的中点的横坐标为，所以线段的中点到抛物线准线的距离是，故选：A10．已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（

）．A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】设，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质求解即可【详解】设，则有，又，所以因为，所以，所以，当且仅当时取等，所以的最小值为2，故选：A二、填空题11．函数的定义域为__________．【答案】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出不等式，解得可得出函数的定义域，注意函数的定义域需用集合或区间表示.【详解】要使对数函数有意义，则需真数大于0，即需使，解得或，所以函数定义域为，故答案为：.12．函数的值域为__________．【答案】##【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可【详解】当时，在上单调递减，所以；当时，在上单调递减，所以；所以函数的值域为，故答案为：13．已知双曲线的左右焦点分别为，，P是双曲线上的一点，给出下列四个结论：①的最小值为；②若直线l的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线l与双曲线只有一个公共点；③点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为；④若过的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，如果，那么．其中，所有正确结论的序号为__________．【答案】①③【分析】由双曲线的定义图象以及性质逐一分析即可求解【详解】对于①：因为，P是双曲线上的一点，要想最小，则P必在双曲线的左支上且为作顶点时最小，所以的最小值为，故①正确；对于②：当直线l为双曲线的渐近线时，直线l与双曲线没有公共点；当直线l为双曲线的渐近线平行时，直线l与双曲线有一个公共点；综上可知：直线l的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线l与双曲线最多有一个公共点；故②错误；对于③：设，双曲线的两条渐近线为，可得P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为，故③正确；对于④：由双曲线的定义可知：，两式相加得，即，又，所以，即，故④错误；故答案为：①③三、双空题14．双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为__________，标准方程为__________．【答案】

【分析】设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入，再根据即可求解.【详解】因为双曲线的一个焦点坐标是，所以设双曲线的标准方程为，又因为双曲线经过点，则有，又因为，所以或，因为，所以，双曲线方程为，所以双曲线的实轴长为；标准方程为，故答案为：；.15．已知中，，，，则__________，__________．【答案】

【分析】分别利用正弦定理和余弦定理列方程，解方程即可.【详解】根据正弦定理得，解得，根据余弦定理得，代入可得，解得或（舍去）.故答案为：①；②.四、解答题16．根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点，且过点；(2)过点和点，半径为2；(3)，为直径的两个端点；(4)圆心在直线上，且过点和点．【答案】(1)(2)或；(3)(4)【分析】（1），利用两点间额距离公式即可求解；（2）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可；（3）的中点坐标为，即圆心为，由此再求半径即可求解；（4）设圆的标准方程为，利用待定系数法求解即可；【详解】（1）由题意可得，所以圆的标准方程为；（2）设圆的标准方程为，因为圆过点和点，所以，解得或，所以圆的标准方程为或；（3）因为的中点坐标为，即圆心为，半径，所以圆的标准方程为；（4）设圆的标准方程为，由题意可得，解得，所以圆的标准方程为17．如图，已知点，，圆．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)设过点A，B的直线交圆C于D，E两点，求线段的长；(3)求经过圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方程．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）考虑斜率存在与不存在求解，利用求解即可；（2）由点到直线的距离结合勾股定理求解即可；（3）利用垂直与点斜式求解即可【详解】（1）当斜率不存在时，过点的直线为，此时与圆相切，符合题意；当斜率存在时，可设过点的切线方程为，即，由，解得，此时切线方程为，即；综上可知：过点A的圆的切线方程为或；（2）因为，所以直线的方程为即，又圆心到直线的距离为，所以；（3）圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线必与垂直，因为，所以圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方，即.18．如图，在棱长为4的正方体中，点M是的中点．(1)求征：平面；(2)求证：；(3)求二面角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用面面平行证明线面平行，即转化为证明平面平面；（2）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即先证明平面，即可证明线线垂直；（3）首先建立空间直角坐标系，再求两个平面和的法向量，转化成法向量的余弦值求二面角.【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，同理平面，且,平面所以平面平面，平面,所以平面；（2）因为，，且，平面,所以平面,平面，所以，又因为，,平面，所以平面，平面，所以（3）如图，以点为原点，以向量为轴的方向，建立空间直角坐标系，，，，，，，,设平面的法向量为，，令，则，所以平面的法向量为，由（2）可知，平面，所以平面的法向量为,设二面角的大小为，为钝角，则，所以，即二面角的大小为19．已知椭圆C的两个焦点分别是，，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于，O为坐标原点，直线与椭圆C相交于A，B（不重合）两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求m的取值范围；(3)求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意建立的关系，求解即可；（2）将直线与椭圆联立，利用判别式求解即可；（3）结合（2）利用弦长公式与二次函数的性质求解即可【详解】（1）由题意可知，所以，又，所以椭圆C的标准方程为；（2）由得，设，由题意可知：，解得，所以m的取值范围是；（3）由（2）可知：，，由（2）可知，所以，所以，当且仅当时取等，所以的最大值；20．已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于A，B（不重合）两点，坐标原点为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若线段的中点的横坐标为1，求直线l的方程；(3)若点O在以线段为直径的圆上，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或；(3)或；【分析】（1）由题意建立的关系，求解即可；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆，利用根与系数的关系结合已知求解即可；（3）由已知有，结合（2）即可求解【详解】（1）由题意可得：，解得，所以椭圆C的标准方程；（2）设直线的方程为，，由得，则，即，，又线段的中点的横坐标为1，所以，又，所以，即，解得，所以直线l的方程为或，即或；（3）因为点O在以线段为直径的圆上，所以，由（2）可知：，所以，即，也即，解得，所以直线l的方程为或；21．对非空数集定义与的和集．对任意有限集A，记为集合A中元素的个数．(1)若集合，，写出集合与；(2)若集合满足，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用定义求解即可；（2）由题意先说明，再结合，即可求解