2022-2023学年北京市密云区高一年级上册学期（12月）数学期末试题【含答案】

2022-2023学年北京市密云区高一上学期（12月）数学期末试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集的定义求解即可【详解】因为，，所以，故选：C2．设命题：，则的否定为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】本题根据题意直接写出命题的否定即可.【详解】解：因为命题：，所以的否定：，故选：B【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.3．若，，则角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】利用三角函数的定义，可确定，进而可知在第四象限．【详解】根据三角函数的定义有，所以，所以在第四象限，故选D．【点睛】当的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正．4．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇偶性定义、幂函数、正弦函数单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A，令，则其定义域为，又，为奇函数；由幂函数性质知：在上单调递减，A正确；对于B，当时，为增函数，B错误；对于C，令，则其定义域为，又，为偶函数，C错误；对于D，令，则其定义域为，又，为偶函数，D错误.故选：A.5．下列不等式成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】通过反例可知AD错误；利用作差法可知C错误；根据幂函数单调性可知B正确.【详解】对于A，若，则，A错误；对于B，在上单调递增，当时，，B正确；对于C，，，，C错误；对于D，当，时，，D错误.故选：B.6．在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数定义和同角三角函数关系可得，利用诱导公式可求得结果.【详解】由题意知：，又为第四象限角，，.故选：A.7．已知函数，则此函数的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将函数配凑为，利用基本不等式可求得结果.【详解】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：D.8．“是第一象限角”是“是单调减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过反例可说明充分性不成立；由余弦函数的单调递减区间可知必要性不成立，由此可得结论.【详解】若，，此时且均为第一象限角，此时，不满足单调减函数定义，充分性不成立；若为单调减函数，则，此时未必为第一象限角，必要性不成立；综上所述：“是第一象限角”是“是单调减函数”的既不充分也不必要条件.故选：D.9．香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量（单位：），为信道带宽（单位：），为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入公式中，根据对数运算法则和近似值可求得结果.【详解】由题意知：.故选：A.10．定义在上的奇函数，满足且对任意的正数，有，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性定义可知在上单调递减，结合奇偶性可知在上单调递减且；分别在和的情况下，利用单调性解不等式即可.【详解】对任意的正数，有，在上单调递减；为定义在上的奇函数，在上单调递减且；，；当时，可化为，，解得：；当时，可化为，，解得：；综上所述：不等式的解集为.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.二、填空题11．函数的定义域为______.【答案】【解析】根据解析式列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】由解得且，即函数的定义域为.故答案为：.12．计算：______．（用数字作答）【答案】【分析】根据对数运算和指数运算法则直接计算即可.【详解】.故答案为：.13．混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若使得，且当，时，，则称是的一个周期为的周期点．给出下列四个结论：①若，则是周期为的周期点；②若，则是周期为的周期点；③若，则存在周期为的周期点；④若，则，都不是的周期为的周期点．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【分析】当时，由可知，不符合定义，知①错误；假设是周期为的周期点，验证可知，成立，知②正确；令，可得，，，知③正确；由二次函数值域知恒成立，从而得到④正确.【详解】对于①，当时，，，解得：，又，，不满足当，时，，不是周期为的周期点；对于②，假设是周期为的周期点，则需，；，，假设成立，②正确；对于③，当时，，，，是周期为的周期点，③正确；对于④，，恒成立，不存在的情况，即，都不是的周期为的周期点，④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是明确是的一个周期为的周期点的定义，即需同时满足和的条件，根据递推关系式验证是否满足定义即可得到结论.三、双空题14．已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则扇形的弧长为______，面积为______．【答案】

【分析】根据扇形弧长和面积公式直接求解即可.【详解】扇形弧长；扇形面积.故答案为：；.15．函数的定义域是______，最小正周期是______．【答案】

【分析】由可解得函数的定义域；由正切型函数最小正周期求法可求得结果.【详解】由得：，的定义域为；的最小正周期.故答案为：；.四、解答题16．已知集合，．(1)当时，求，；(2)当时，求；(3)当时，求的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）化简集合，即可得到，（2）化简集合，求出，即可得到（3）化简集合，根据，即可求出的取值范围【详解】（1）由题意在和中，∴∴，（2）由题意及（1）得在和中，∴∴∴（3）由题意及（1）（2）得在和中，∵∴解得：∴的取值范围为17．已知函数，．(1)求和的值，并画出函数的图象；(2)写出函数的单调增区间和值域；(3)若方程有四个不相等的实数根，写出实数的取值范围．【答案】(1)，；图象见解析(2)单调增区间为，；值域为(3)【分析】（1）根据解析式可直接求得函数值；将在轴下方的图象翻折到轴上方即可得到的图象；（2）根据图象可直接得到单调增区间和值域；（3）将问题转化为图象与有四个不同的交点，结合图象可得结果.【详解】（1），，，.图象如下图所示，（2）由图象可知：的单调增区间为，；的值域为.（3）若有四个不相等的实数根，则图象与有四个不同的交点，结合图象可知：，即实数的取值范围为.18．设函数，关于的不等式的解集为．(1)当时，求函数的零点；(2)当时，求解集；(3)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)和(2)(3)存在实数【分析】（1）令，解方程即可求得零点；（2）解一元二次不等式即可求得解集；（3）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值.【详解】（1）当时，；令，解得：或，的零点为和.（2）当时，，解得：，即.（3）假设存在实数，使得，则且是方程的两根，，解得：；存在实数，使得.19．已知函数在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式和最小正周期；(2)求函数在区间上的最值及对应的x的取值；(3)当时，写出函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析(3)减区间；增区间【分析】（1）由函数的图象的最值点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．（2），根据正弦函数性质求得函数在区间上的最值及对应的x的取值；（3）当时，分两种情况讨论，可写出函数的单调区间．【详解】（1）由函数在一个周期内的图象可得：，再根据五点法作图可得,（2），时，函数在区间上的最大值为时，函数在区间上的最小值为（3），故函数的单调减区间是；，故函数的单调增区间是；20．已知函数．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(3)若对于恒成立，求实数的最小值．【答案】(1)(2)偶函数，证明见解析(3)【分析】（1）根据对数真数大于零可直接解不等式求得定义域；（2）根据奇偶性的定义直接判断即可得到结论；（3）由对数真数大于零首先确定恒成立时的范围；由对数不等式可得，采用分离变量法，结合对勾函数性质可求得的范围；综合即可得到的最小值.【详解】（1）由得：，，即的定义域为.（2）由（1）知：定义域关于原点对称，，为偶函数.（3）当时，恒成立，则当时，，满足题意；当时，，解得：；；由得：，；在上单调递减，在上单调递增，，；综上所述：实数的最小值为.21．已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．(1)当，时，分别写出集合，的衍生和集；(2)当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．【答案】(1)的衍生和集；的衍生和集(2)最大值为，最小值为【分析】（1）由衍生和集定义可直接写出结果；（2）设，，列举得到所有必然不相等的两个元素之和的情况，由此得到最小值；假设任意两