线性代数3学分-32第二章矩阵及其运算

§1矩阵m行n列的矩阵:由mn个数aij排成的m行n列的数

m=1时Aa11a12a1n)称为n维行向a a

m1 1n

a1naa aa

A

m=n时,A a2n称为n阶方阵

am

n

nn简记为:A=(aij)=Am×=(aij)m×n.其

从左上角到右下角的连线称为主对角线注意：矩阵的记号与行列式的记号很相象,矩阵的记号是元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

表外加括号,而行列式的记号是数表外加两根竖线.但是矩阵和行列式是两个不同的概念矩阵是一个数表,而行列式是一个数,对任何一个n阶矩阵,它都唯一的确定一个行列式. 0 0n阶单位阵En(或E)：EEn 0 1

数集有四则运算，也就是加减乘除这四种运算 对角

2 20diag(1,2 ,n) 0

* *

矩阵相等：如果A(aij)与B(bij)的行数和列数相等,且a上三角阵

00

n

bij对任何i,j,则称矩阵A与矩阵B相等记作 n0 0 2 2下三角矩阵 * n一.矩阵的加法：设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)则(aijbij称为A与B的和.记为A+B1 2 6 8 例 4 8 注意:只有当两个矩阵是同型矩阵(即两个矩阵的行数和列

二.数与矩阵A=(aij)的数量乘积：(aij)称为与矩阵A数量乘积记为注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别 2 4.2 2 2分别相等)时才能进行加法运算

4

8

零矩阵：元素全为0的矩阵，记为A的负矩阵：(aij)称为A的负矩阵,记为矩阵的减法(aijbij)=A+(B)称为A与B的差，记为A结合律加法单位元

性质:设A、B都是mn矩阵、是数a11x1a12x2 a1nxnaxax ax

其中x1,x2,,三.矩阵设A(a)是一个mp矩阵B(B)是一个pn矩阵定

例1.线性方程组:

21 22 2n

AB=C(c 其

amnxnijmcc aab

a1n

x1

b1 i11 i22 ip

aikbkj

x 2bkb

A

2n

X2

x

b注意：1.在定义乘积AB时,我们要求A的列数与B的行数相等

amn

n

m 3

（*）的系数矩阵 未知数列向量

常数项列向量

1

不存在

我们可以把（*）用矩阵乘法来表示

b 9

1

axax ax 11 12 1nn ax

x AB的行A的行数AB的列B的列数

AX

2n

2a21x1a22x2 a2nxn2

ax

ax x x

b

mnn

m1 m2 mnn ma2

1

,则AB 2 22

解 2122

4

s

ss例3.求AB,

,则AB11 2

A 0

s s ss22222 32B 4 6 4例设A设A * ,B B001

4

4

0

2

7

,B 0

设A

,则AB CAB

26

4

1710

s s

ss

例5.设A 1,B 0

注意：矩阵 律与数的 律是不同的乘法交换率一般不成立AB≠BA.所以我们熟悉的一 1

2

关于数的乘法成立的乘法公式不能随便使用.例 求AB,AC及

(A+B)(A－B)=A2+BA－AB－B2≠所以(A+B)(A－B)=A2－B2当且仅当

2

1 1 0

2 2

问题什么时候消去率成立若矩阵A可逆,则消去率成立AC 1 2

性质:1.结合律

22

1

00

BA 1 0

(AB)(A)BA(B)(其中为数

4.AmnEn=EmAmn根据性质4,我们知道单位矩阵相当于数集中1的作用0 0 纯量矩阵：E

四、矩阵的其它a矩阵的转 a

1n0 定义0

A

(E)A

a

2n

amn因为(EA(EA)AE)

m2

称为A的转置矩阵记为ATa矩阵A的k次幂 Aka

其中k≥1.规定

k个

4AkAlAkl，(Ak)lAkl

3

,则A 5).(注意：(AB)kAkB 因为乘法不 换).(

6

6注意：1.若A是m行n列的矩阵，则AT是n行m列的矩阵A的(i,j)元=AT的(j,i)元性质1.

方阵的行aa定义.n阶方 A

1nn 对称矩阵：设A为n阶方阵若ATA即aijaji(ij12n),则称A为对称矩阵注意:对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等

nn 4

: 5 7

注意:只有对一个n阶方阵，才能取行列式，如果矩阵不 称矩阵：设A为n阶方阵若AT－A即j12n),则称A 称矩阵

方阵的不能取行列式性质：1.

|A|n|A|其中n为矩阵A的阶

例.

a12

a122 a12

a

a

a

D n

A 22

22

22

|AB||A||B|,其中A,B都是方阵注意虽然一般来说AB≠BA,但是如果A,B都是方阵,

r1

a2n

0c2n Dra

a

12n2 n

c

ni(1)n n

1i

ra

1n

b

b

n

(1)n|C||E||C| 00000 cn100000 0000bn伴随矩 An1定理.设A为n阶方阵

A

AA n

克拉默法则

a11x1a12x2 a1nxn21 22 2n axa21 22 2n

Ann 则AA*A*A|A|E(注意A*的(i,j)元A.)

a

nnanxb

1n1 2

2

记A

,D

D0,则方程组有唯一解 ,

所以A*

a A A

2,A22

1

nn*则b

|A

i

证:记BAA

aikAjk

x11,x2 2 ,xn

nD

|A 0

i

n,j

an,j a所以B

|A

|A| x1 x b证 记X2,2,则AX n n

共轭矩定义设A(aij)为复矩阵,aij表示aij的共轭复数所以|A|X|A|EXA*AX

An1b1

A:(aij 称为A的共轭矩阵性质1.ABA因为|A|0,所以X

|A

|A|

b

A nnn

ABA其中A、B为复矩阵为复数

|A|

DiD

0

0例1.设A 1

例2.设A 1.求An001 001

0 0

0

1证明当n3时恒有AnAn2A2E并利用它计算

解:AEB其中B

1.B2 0假设结论对n成立对n1时,An1AAnAAn2A2

B3

0 0 所以Bk0, 若ABBAABnCrAnrBrAn1A3AAn1A2

nn r nn所以结论成立记BA2k.则B A2kA2(k1)A2

An(EB)nCk(E)nknkn

CknkBkk0

CknkBkk02 k2

0

n

n(n1)n2所以A100

A2(501)(A2E)

0

注意B0 1

1

例3.设A 0,(n2)为正整数.求An2 例 Aa a ab.求ab 2 2ab 1

33解:通过计算知A22A.所以A32A222A.所以An2n1

解 Aab b b所以

2A

A2

A

2 a例

1,1,A

T.求

3a1 a1

A2ab b bab b b解 3(1)T3T

2 32

n11

n1 11 2 31 2 3

A

1,122

所以An(ababab)n1例6.A0ATA

例7:证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵 称阵之和证

证明 记B=A+所以,B为对称矩阵

BT=(AAT)TATA假定ATA

记C=A– 则CT=(A–AT)T=AT–A=–C0(AT

(AT)

a a

所以,C

ik

ki

k

k

k

A (AAT) (AAT)2B2因为aki都是实数,所以aki0,i所以A

从而,命题得证例8.已知n阶方阵A满足A2AAB)2A2证明AB证:AB)2A2B2ABBAA2B2AB)2A2所以ABBA所以ABABAAABBA0ABABAABBA)A0所以ABBA.但是ABBA所以2AB0.所以AB

小矩阵的运算（二）矩阵乘法设A(aij)是一个mp矩阵B(Bij)是一个pn矩阵定pAB=C(cij)mnp