高等数学第二章

第二章

极限与连续2.1极限的概念

2.2．求极限的方法

2.3极限的存在性

2.4函数的连续性

问题1：现在假设你的彩票中奖并且给你在以下两种支付方式中进行选择：一种方式是一次性支付100万元，另一种方式是从现在开始每年支付10万元直到永远（可以支付给你的后代）.假设每年的利率是5%，你应该选择那种方式？问题2：我们国家的各个城市现在普遍实行低保制度.其目的是保证低收入家庭的基本生活开支.基本原则是既能够维持这些家庭的基本生活同时又不影响这些家庭成员以及其他社会成员努力工作的积极性.假设你是一名社保局的工作人员，应如何制定低保支付方案？2.1极限的概念

近”的意思就是想接近到什么程度就接近到什么程们上面选取的满足要求.左极限和右极限统称为单侧极限（One-sidedlimit）.练习

6.画出函数图形然后再求解以下问题或说明它不存在.9.设有函数定义2.1.4定义2.1.4中的三种极限统称为自变量趋于无穷大时的极限.练习

数列及其极限

假如我们今天将P元钱存入一个生息的银行账户，随着时间的推移，这P元钱会增加到的金额B被称为P元钱的将来值（Futurevalue）.为了在将来的某个时点，银行账户中正好产生金额B，现在必须存入到银行账户中的金额P被称为B的现值（Presentvalue）.问题1：假设你的彩票中奖并且给你在以下两种支付方式中进行选择：一种方式是一次性支付100万元，另一种方式是从现在开始每年支付10万元直到永远（可以支付给你的后代）.假设每年的利率是5%，你应该选择那种方式？问题分析:首先我们得将未来得到的钱换算成现值.现在得到的10万元，现值也是10万元，记为照自变量由小到大的顺序排列起来就得到一个数列都是数列的例子，它们的第n项依次为因此上面的数列可以分别写为：现在我们回答问题1：因此中奖人应选择第二种支付方式.练习

1.判断对错，正确的请说明理由，错误的请说明理由或举出反例都收敛且极限值相等.的图形的垂直渐近线（Verticalasymptote）的图形的水平渐近线和垂直渐近线都是垂直渐近线.为了以后的使用，关于无穷小我们还有以下概念：无穷小（Infinitesimalofhigherorder），记为练习

对于其它的自变量变化过程和数列，给出极限是无穷大的定义.3.判断对错，正确的请说明理由，错误的请说明理由或举出反例无穷小量.（5）无穷小量是零。（6）零是无穷小量。（7）无界变量一定是无穷大量。2.2．求极限的方法

证明必要性直接由定理2.2.1得到.现在我们证明充分性.所以不能用商法则，这时我们首先对函数进行恒等变换.练习3.对于其它类型的函数极限和数列极限，写出定理定理2.2.1，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.2.7。4.求下列极限：

练习

1.对于其它类型的极限，写出定理2.2.8，并证明之.

3.计算下列极限2.3极限的存在性

问题提出：设储蓄帐户的年利率为12%，一个客户在其帐户中存入1000元，在一年内，客户不提取.如果以一年作为一期来计算利息，那么在一年末，客户帐户中的金额1000+1000X0.12=1000(1+0.12)=1120(元)若银行以半年作为一期来进行利息计算，年利率为12%，那么半年利率为6%.在第一个半年末的账户余额为这样，第三个季度的开始时点的本金为1000(1+0.06)=1060.这样，第二个半年的开始时点的本金为1060元，那么在一年末账户中的余额为1000(1+0.06)(1+0.06)=1000(1+0.06)2=1030，这样第二个季度的开始时点的本金1000X(1+0.03)=1030(元)，在第二个季度末的账户余额为这样，第四个季度的开始时点的本金为在第四个季度末（也就是一年末）的账户余额为（元）.若银行以一个月作为一期来进行利息计算，那么在一年末账上面这样，将存（贷）款的时间（上面的一年）分成若干期（每期的时间相等，如上面的2期、4户中的余额为期、12期，每期的时间分别为：半年、一个季度、一个月），将上一期所获得的利息连同上一期的本金一起作为这一期的本金来计算这一期利息，按照这种方式一直计算到最后一期末，这样的计算利息的方法被称为复利计算.毫无疑问利息计算的次数越多，在年末所获得的利息越多.现在的问题是当计算次数无限多时（称为连续复利计算，之所以称为连续复利是因为每时每刻都在算，没有间断）利息会多到什么程度呢？就是一年内利息计算的次数），则相应的每一期的利率为设一个客户在其帐户中存入P元.那么在第一期末的账户余额为直接的观察很难回答上面的问题.因此我们可以将上面的问题分成两步，第一步：先看它是否有极限？第二步：再看它极限是多少？这样做的好处是显而易见的，如果没有，当然就没有上面“多少”的问题了.设银行的年利率为100%，将一年分成限是否存在？这样无休止地抽取下去，得到一个数列有了定理2.3.2,我们可以说:如果银行的利率是100%，一个客户在其帐户中存入P元,那么按连续复利计算，一年末的账户余额为的精确定义参看本章第7节的相关内容）.现在我们回答本节开始提出的问题：按照连续复利计算，一年末：账户的余额为多少？这样上面的问题就变成了由复合函数求极限法则和定理2.3.5的第二个结论，定理2.3.6练习

1.写出其它类型极限的归结原则.2.求下列极限

定理2.3.6（致密性定理）定理2.3.7（柯西收敛原理）2.4函数的连续性首先，如果一个函数的图形以不抬起笔的方式画出来，那么这个函数的定义域一定得是一个区间.如图但是，只有定义域是个区间还不够，比如，如图的函数意这三个点的极限和它的函数值之间的关系.而在其它的点没有上述三种情形出现，也就是说如果一个函数在其定义域上的各点不出现上述三种情形的任意一种，那么这个函数的图形就能用一笔画出来.连续性的定义例1找出下列函数的不连续点：定理2.4.1对于余弦函数的证明是类似的，留做练习.练习

1.证明定理2.4.1；对于右连续和左连续写出定理2.4.1.2.一个停车场第一个小时（或不到一小时）收费2元，以后每小时（或不到整时）收费1元，每天最多收费10元.写出收费作为停车时间的函数表达式，讨论此函数的间断点以及它们对于停车人的意义.3.证明余弦函数是连续函数。4.找出下列函数的间断点并指出类型；在这些间断连续函数的运算

定理2.4.2（连续函数的四则运算法则）续点）,则点C是下列函数的连续点（左连续点、右连续点）：推论1连续函数的和、差、积、商在其定义域上的各点都是连续的.推论2多项式函数是连续函数，即它在上连续；有理函数是连续函数，即它在自己的定义域上连续.推论3正切函数和余切函数都是连续函数.定理2.4.3（复合函数的连续性）定理2.4.3可以简单地叙述为：连续函数的复合函数在其定义域上仍是连续函数练习1.证明连续函数的四则运算法则。2.证明定理2.4.3.3.证明定理2.4.4的其余结论。2.5闭区间上连续函数的性质是唯一的，但最大值点或最小值点不是唯一的.推论反三角函数都是连续函数.2.6连续性和不连续性的经济应用

低保支付方案的制定

假定该城市的最低生活费用为750元人民币/月表示工作发放的低保金，那么既不影响工作积极性又能保证（2010年），该城市的最低工资标准为15元/小时.设t是一个人的工作时间，基本生活的一个比较合理的低保方案是：显然这个函数是连续递增的，因此一个人选择工作的时间越长总是意味着收入更多，这样的话每个人都会选择积极工作以使自己的经济状况好一些，同时又能使所有的人都能够维持基本的生活.可分性和生产函数生产函数不具有这个性质.比如，汽车厂生产要用螺栓，设表示螺栓的数量，表示生产汽车的显然螺栓的数量只能是自然数才有意义然而，如果一个汽车厂每年生产2万辆汽车，每辆车使用1050个螺栓，那么下面的处理方法看起其中点（1050,1）（2100，2),（3150，3）等是真实的变量关系.值不是1050的整数倍，那么最接近1050的整数倍的数可能是较合理的近来是合情合理的：显然如果有人在公司的决策过程中利用连续函数近似值.这样，即便商品不是无限可分的，也常假设其是，而不会过多歪曲事实.带奖金的工资明细表假设销售员得到一份工资合同，规定月工资由三部分构成：（1）基本工资2000元(2）1%的提成；（3）如果月销售额达到或超过15万元，可得额外奖励3000元.这个工资合同可以简单地用下面的函数来表示：在点150000处不连续，这个不连续性会导致上面的工资合同不利于调动全体销售员的工作积极性.考虑下列情景：有三个销售员小王、小张和小李，其当月销售额（不包含最后一天）分别是：小王16万元，小张13.5万元，小李5均衡价格的存在性

万元.1%的提成给予三个销售员相同的内在激励.但是3000元奖金对三个销售员最后一天的工作会产生不同的激励.假设在一天内销售几万元的商品是可能的，但是销售10万元的商品实际上是不可能的，那么可以期待销售员小张在最后一天会比另外两个销售员更加努力地工作.

生产者会发现生产该产品利润丰厚，而顾客会感到价格过高，这样必然导致供过于求，即使得在这个价格下该种商品的供给恰好等于需求，这个价格被称为均衡价格或市场出清价格.考虑下列线性需求函数和供给函数：上述关于价格存在性的讨论有助于决定这些函数的参数条件，这些条件是保证存在正均衡价格所必需的.在上面的几个经济问题中，要求所考虑的函数都是连续（不是连续的，需将其连续化），否则我们不能得到需要的答案.但有些经济问题的解恰好是在不连续点得到的，这时你要勉强将所考虑函函数连续化会使得其反.为此，我们看下面的经济模型.价格竞争的伯特兰模型如果市场中有不止一个制造者/消费者，但是数量不足以达到完全竞争的要求，则称市场是寡头垄断.伯特兰（Bertrand）模型描述了公司在此情形下的可能行为.为简化讨论，假设市场上只有两家公司.假设两个公司在价格上进行竞争，即每个公司制定价格以满足在此价格下对其产品的实际需求.假设公司制造的产品同质，如果一个公司索取的价格更低，那么所有的消费者都会购买该公司的产品.如果两个公司制定的价格相同，那么可以假设消费者的购买量将在两个公司之间平均分配.因此我们需考虑价格改变时每个公司的收益会如何变化.为了搞清在此情况下公司将如何选择，考虑如下简单的情形：设市场对该产品的需求函数为假设公司2制定了不同的价格，比如说在此情形下，如果公司1的定价超过7，则公司1的销售量将变成0；如果公司1的定价也是7，则公司1和公司2评分市场.这时两个公司的销售量都是3，公司1的收益如果公司1的定价只要比处是不连续的.从经济这种不连续性是特别重要的，因为类似于上面经济模型的解往往都是在不连续点得到的.为表明这一点，考虑公司2给定的任意价格只要公司1都会低于此价格出售其产品，这样公司1就会获得全部市场份额，这样的话，公司2的销售量是0，因此公司2的定价只能是4（低于4的话，回亏本），这样公司1的价格也只能是4，否则的话公司2也会采取上面公司2的策略.所以该种商品的市场价格一定等于单位商品的成本.霍特林（Hotelling）位置模型

霍特林（Hotelling）位置模型用于说明这样一个问题：为什么经营同种商品的公司经常会在同一地点开设？比如建材市场、农贸市场等等.为了说明简单，假设有A,B两个公司位于位于一条条直线距离为1公里的街上.为了方便，我们认为这条街就是闭区间[0,1].这样街道上的点就可以用属于[0,1]上的数字L来表示.假设两个公司都出售同质、同价的商品，并且两个公司为顾客提供的服务也都相同.这样从概率的角度来看，如果这两个公司位于同一位置，那么这两个公司所获得的顾客数量应该相同，各获得一半的顾客.再假设顾客沿街均匀分布，每个顾客都购买一单位产品，设单位产品的价格和成本分别为如果共有N个顾客，那么市场的潜在总利润为于是每个公司都尽可能选择一个能获得最大市场份额的位置.左边的顾客去

A公司，点

右边的顾客去B公司，因此A公司占有60%的市场份额，而B公司占有40%的市场份额.因为A公司可选择的位置是从0到1的所有点，的市场份额，而B公司占有90%的市场份额.现在随着A公司将位置向右移动，但仍选择则

公司的市场份额会逐渐增加到20%.然而，一旦

公司的位置确切地抵达点公司将平分市场，因为此时对顾客而言两个公司是没有差别的.因此在点0.2处，A公司的市场份额不连续地跳到50%.如果A公司选在处，则其市场份额跃至80%，并且随着A公司位置的右移市场份额会逐渐变少.我们用表示A公司的市场份额，则份额函数为从上面的分析来看，B公司的位置如果恰好选在中点0.5处，那么无论A公司的位置选在何处，B公司的市场份额都至少占50%，当然A公司也和B公司的想法一样，因此两家公司都会选在中点0.5处的位置.练习

假设政府以5%的税率对每个人的收入中超过2000元的部分征税.现在政府希望获得额外的税收收入，但是又要避免加重低收入或中等收入者的负担.因此政府决定对每个年收入60000元及以上的人一次性征收1000元附加税.画出税后收入曲线，

y是税前收入

的函数.讨论征税方案中可能由不连续性引起的对人们工作积极性的影响.2.假设某销售员每月的收入是5000元基本工资加上与销售业绩挂钩的提成和奖金.假设提成比例是15%.当每月销售额超过150000元时一次性支付奖金6000元.如果月销售额超过250000元时一次性支付奖金10000元.写出销售员的业绩与收入之间的函数关系式，并指出函数的间断点和间断点的类型.3.假设某销售员每月的收入是3000元基本工资加上与销售业绩挂钩的提成.当每月销售额不超过150000元时提成比例是10%.但如果月销售额超过250000元时提成比例是20%（已全部销售额为基数）.写出销售员的业绩与收入之间的函数关系式，并指出函数的间断点和间断点的类型.

2.7初等函数第一章经济数学模型中，我们首先介绍了三种基本函数：线性函数、正弦函数和余弦函数，然后通过四则运算给出了多项式函数、有理函数和三角函数.上一节，通过使用介值定理给出了反三角函数.现在继续通过使用介值定理介绍指数函数、对数函数和幂函数.虽然这些函数在中学时我们都学过，但那时学的比较粗糙，很多地方都是模模糊糊.比如，到底是什么？再比如，为什么说指数函数的值域是？等等，诸如此类问题在本节我们彻底解决.算术根

定理2.7.1

定理2.7.2（算术平均数与几何平均数不等式）有理数次方幂步定义有理数次方幂.关于有理数方幂，我们有无理数次方幂

对于许多问题，用来建立模型