张厚粲 第七章 参数估计

第七章参数估计第一节点估计区间估计标准误一．总体参数估计的基本原理根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫作总体参数估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。由样本的标准差估计总体的标准差即为点估计；而由样本的平均数估计总体平均数的取值范围则为区间估计。1.良好的点估计量应具备的条件无偏性

如果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差的平均值为0，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。有效性

当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者为有效性低。一致性当样本容量无限增大时，估计量的值能越来越接近它所估计的总体参数值，这种估计是总体参数一致性估计量。充分性一个容量为n的样本统计量,应能充分地反映全部n个数据所反映的总体的信息。2.区间估计与标准误以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率的要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。对总体参数值进行区间估计，就是要在一定可靠度上求出总体参数的置信区间的上下限。置信区间置信度，即置信概率，是作出某种推断时正确的可能性（概率）。置信区间，也称置信间距（confidenceinterval,CI）是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。置信区间是带有置信概率的取值区间。显著性水平对总体平均数进行区间估计时，置信概率表示做出正确推断的可能性，但这种估计还是会有犯错误的可能。显著性水平(significancelevel)就是指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号α表示。

P＝１-α区间估计的原理与标准误取值范围与概率的矛盾。（0.05和0.01）原理：样本分布理论区分三种不同性质的分布：总体分布：总体内个体数值的频数分布样本分布：样本内个体数值的频数分布抽样分布：某一种统计量的概率分布

μ±σ范围内的面积为68.27%

μ±1.96σ范围内的面积为95%

μ±2.58σ范围内的面积占99%图显示样本平均数与总体平均数的平均误差不超过1μ的概率为0.6827,不超过1.96μ的概率为0.9545,不超过2.58μ的概率为0.9973。即：当t=1时，F(t)=0.6827

当t=1.96时，F(t)=0.9545

当t=2.58时，F(t)=0.9973概率度t与概率F(t)的对应关系是：概率F(t)越大，则概率度t值越大，估计的可靠性越高，样本统计量与总体参数之间正负离差的变动范围也越大。对于t每取一个值，概率保证程度F(t)有一个唯一确定的值与之对应。因此人们制定«正态分布概率表»第二节总体平均数的估计平均数抽样分布的几个定理⑴．从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。⑵．容量为n的平均数在抽样分布上的标准差（即平均数的标准误），等于总体标准差除以n的平方根。区间估计的注意事项⑴要知道与所要估计的参数相对应的样本统计量的值，以及样本统计量的理论分布；⑵要求出该种统计量的标准误；⑶要确定在多大的可靠度上对总体参数作估计，再通过某种理论概率分布表，找出与某种可靠度相对应的该分布横轴上记分的临界值，才能计算出总体参数的置信区间的上下限。

标准误某种统计量在抽样分布上的标准差，称为标准误。标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。平均数区间估计的基本原理

通过样本的平均数估计总体的平均数,首先假定该样本是随机取自一个正态分布的母总体(或非正态总体中的n＞30的样本)，而计算出来的实际平均数是无数容量为n的样本平均数中的一个。根据样本平均数的分布理论，可以对总体平均数进行估计，并以概率说明其正确的可能性。一．总体平均数区间估计的基本步骤①．根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差；②．计算平均数抽样分布的标准误；③．确定置信概率或显著性水平；④．根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表；⑤．计算置信区间；⑥．解释总体平均数的置信区间。一、总体平均数估计的步骤1.根据实得样本的数据，计算样本平均数与标准差2.计算标准误（1）已知（2）未知3.确定置信水平或显著性水平4.根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表总体方差已知，Z分布；未知，t分布5.计算置信区间（1）正态分布表，置信区间（2）t分布，置信区间6。解释总体平均数的置信区间例题：某小学10岁全体女童身高历年来标准差为6.25厘米，现从该校随机抽27名10岁女童，测得平均身高为134.2厘米，试估计该校10岁全体女童平均身高的95％和99％置信区间。二、总体正态，σ已知（不管样本容量大小）1.总体正态，σ已知（不管样本容量大小）或总体非正态，σ已知，大样本解：10岁女童的身高假定是从正态总体中抽出的随机样本，并已知总体标准差为σ=6.25。无论样本容量大小，一切样本平均数的标准分数呈正态分布。于是可用正态分布来估计该校10岁女童身高总体平均数95％和99％的置信区间。其标准误为当Ｐ＝0.95时，Ｚ＝±1.96因此，该校10岁女童平均身高95％的置信区间为：当Ｐ＝0.99时，Ｚ＝±2.58因此，该校10岁女童平均身高99％的置信区间为：三、总体正态，σ未知（不管样本容量大小），

或总体非正态，σ未知，大样本平均数的抽样分布为t分布，平均数的置信区间为：例题：从某小学三年级随机抽取12名学生，其阅读能力得分为28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。试估计该校三年级学生阅读能力总体平均数95％和99％的置信区间。解：12名学生阅读能力的得分假定是从正态总体中抽出的随机样本，而总体标准差σ未知，样本的容量较小（ｎ=12<30），在此条件下，样本平均数与总体平均数离差统计量服从呈t分布。于是需用t分布来估计该校三年级学生阅读能力总体平均数95％和99％的置信区间。由原始数据计算出样本统计量为当Ｐ＝0.95时，因此，该校三年级学生阅读能力得分95％的置信区间为：当Ｐ＝0.99时，因此，该校三年级学生阅读能力得分99％的置信区间为：第三节标准差与方差的区间估计在一次测试中，得知某校150名学生的成绩是,如果证实测验与预试的题目相同，被估计证实测验的平均成绩是多少?1.平均数和标准差2.标准误（）3.确定置信区间置信区间95%和99%，显著性水平0.05,和0.014.根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表总体方差未知，n=150＞30，接近正态分布，为t分布5.计算置信区间（1）95%或0.0578-1.96×0.7349＜μ＜78+1.96×0.734976.56＜μ＜79.44（2）99%或0.0178-2.576×0.7349＜μ＜78+2.576×0.734978-1.89＜μ＜78+1.8976.11＜μ＜79.896.解释总体平均数的置信区间（1）被估计证实测验的平均成绩在76.56-79.44之间，估计正确的概率为0.95（95%），错误的概率0.05（5%）。（2）被估计证实测验的平均成绩在76.11-79.89之间，估计正确的概率为0.99（99%），错误的概率0.01（1%）。一、标准差的区间估计二、方差的区间估计1.

已知时，2的置信区间2.

未知时，2的置信区间例：已知某样本的分散程度，样本容量40，问该样本之总体的分散程度如何。（用标准差与方差分别计算）。解1（标准差）：，样本标准差的分布接近正态分布，用Z分布。（1）0.95或0.0510-1.96×1.12＜σ＜10+1.96×1.127.8＜σ＜12.2（2）0.99或0.0110-2.58×1.12＜σ＜10+2.58×1.127.11＜σ＜12.89（1）样本总体的分散程度，标准差在7.8-12.2之间，估计正确的概率为0.95（95%），错误的概率0.05（5%）。（2）样本总体的分散程度，标准差在7.11-12.89之间，估计正确的概率为0.99（99%），错误的概率0.01（1%）。解1（方差）：卡方分布0.95或0.05三、二总体方差之比的区间估计第四节相关系数的区间估计一、积差相关系数的抽样分布（一）总体相关系数ρ﹥0，正偏态ρ﹤0，负偏态ρ

≠0，且n﹥500，接近正态（二）ρ=0，样本r分布，服从df=n-2的t分布二、积差相关系数的区间估计（一）ρ=0时，df=n-2（二）ρ≠01.n﹥500，2.利用费舍尔Z函数分布计算第五节比率及比率差异的区间估计☼影响置信区间的因素，以总体平均数为例。Z，σ

和n1.置信区间的宽度受标准分Z的影响。（1）Z值由置信水平决定95%(±1.96),99%(±2.58)。置信水平越高，Z值越大，置信