差分方程1-贷款买房及蛛网模型

0差分方程及其解1减肥计划——节食与运动2贷款买房3市场经济中的蛛网模型差分方程模型0差分方程及其解把含有未知函数的差分或表示成未知函数若干不同时期值的符号的方程称为差分方程。方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶。差分方程及其解差分方程的解：若一个整标函数代入差分方程后，方程两端恒等差分方程的通解：如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方程的阶数特解：满足初始条件、不含任意常数的解。常系数线性差分方程求解n阶常系数方程若=0，则称为齐次方程线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似，即有：（1）若是齐次差分方程的解，则也是的解，其中C为任意常数。（2）若、是齐次差分方程的解，则它们的线性组合也是非齐次差分方程的解。常系数线性差分方程求解（3）若，…，是齐次差分方程n个线性无关的解，则它们的线性组合就是齐次差分方程的通解。，…，称为齐次差分方程的一组基本解。（4）若是齐次差分方程的通解，是非齐次方程的一个特解，则

是非齐次方程的通解。常系数线性差分方程求解齐次常系数线性差分方程求解特征方程若是特征方程的个不同的根，通解可表为时，只要将换为齐次常系数线性差分方程求解当特征方程有一对共扼单复根时当特征方程有一对共扼n重复根时非齐次常系数线性差分方程求解

例

求下列差分方程的通解：（1）（2）（3）（4）1减肥计划——节食与运动背景

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持

通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析

体重变化由体内能量守恒破坏引起

饮食（吸收热量）引起体重增加

代谢和运动（消耗热量）引起体重减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡-320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡-3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)-第k周(末)体重c(k)-第k周吸收热量-代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100千克不变第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变不运动

运动(内容同前)问题：试建立微分方程模型讨论减肥问题假设：（1）人每天吸收的能量为固定数A千卡；（2）单位时间里，人体内用于基础代谢和体内特殊动力消耗的能量正比于人的体重，比例系数为b;(3)从事某项运动（活动）在单位时间里消耗的能量正比于体重。单位时间每千克体重消耗的能量为r;(4)体重w(t)是时间t的连续可导函数；我们以“天”为时间单位。体重模型1问题与背景一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月；到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i）每半个月还316元，(ii)预付三个月的款你能帮他们做出明智的选择吗？2贷款买房2建模与求解设最初需要借的款数为，月利率（贷款通常按复利计）为，每月还的款数为，借期为N，第n个月时尚欠的款数为已知3.结果和分析=60000，R=0.01，=300

问题1所以，他们是有能力购房的！3.结果和分析问题2每月还款也是632元，只是多跑一次银行预付632x3=1896元提前三年还清，少付316x72=22752元半月利率取为R=0.005，年好仁慈的借贷公司啊！？3.结果和分析事实上，按第2个条件，，你只借了58104元而不是60000元，即使按R=0.01，来算，使的N为

253.05（个月）（年）。即实际上提前将近4年就可还清。该借贷公司只要去同样的银行借款，即使半个月收来的316元不动，再过半个月合在一起去交给银行，它还可坐收第22年的款近7000元！3市场经济中的蛛网模型

问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛网模型gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件方程通解(c1,