差分方程方法

数学建模方法及其应用韩中庚编著主要内容

第四章差分方程方法22023年2月6日常系数线性差分方程；差分方程的平衡点及其稳定性；连续模型的差分方法；案例分析3Monday,February6,2023

一.常系数线性差分方程1.常系数线性齐次差分方程42023年2月6日(1)特征根为单根

1.常系数线性齐次差分方程52023年2月6日(2)特征根为重根

1.常系数线性齐次差分方程62023年2月6日(3)特征根为复根

1.常系数线性齐次差分方程72023年2月6日2.常系数线性非齐次差分方程

一.常系数线性差分方程82023年2月6日2.常系数线性非齐次差分方程

一.常系数线性差分方程92023年2月6日

二差分方程的平衡点及其稳定性1.一阶线性常系数差分方程的平衡点102023年2月6日

二差分方程的平衡点及其稳定性2.一阶线性常系数差分方程组的平衡点112023年2月6日

二差分方程的平衡点及其稳定性3.二阶线性常系数差分方程的平衡点

二差分方程的平衡点及其稳定性4.一阶非线性差分方程的平衡点2023年2月6日132023年2月6日

三连续模型的差分方法1.微分的差分方法142023年2月6日

三连续模型的差分方法

2.定积分的差分方法

152023年2月6日

三连续模型的差分方法

2.定积分的差分方法

(1)复化的梯形公式：162023年2月6日

三连续模型的差分方法

2.定积分的差分方法

类似地：复化辛甫生（Simpson）公式;复化柯特斯（Cotes）公式等。（详见教材）

（2）复化梯形公式：四、案例:市场经济中的蛛网模型问题供大于求现象

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?

当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求

描述商品数量与价格的变化规律.数量与价格在振荡gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

供应函数四、案例:市场经济中的蛛网模型xy0fgy0x0P0设x1偏离x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0fg曲线斜率蛛网模型四、案例:市场经济中的蛛网模型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致四、案例:市场经济中的蛛网模型~商品数量减少1单位,

价格上涨幅度~价格上涨1单位，

(下时段)供应的增量考察,的含义~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定结果解释xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.经济稳定结果解释四、案例:市场经济中的蛛网模型经济不稳定时政府的干预办法1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直四、案例:市场经济中的蛛网模型模型的推广

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件四、案例:市场经济中的蛛网模型方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定，即k,xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了模型的推广四、案例:市场经济中的蛛网模型背景

多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.

通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分析

体重变化由体内能量守恒破坏引起.

饮食（吸收热量）引起体重增加.

代谢和运动（消耗热量）引起体重减少.

体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.四、案例:减肥计划——节食与运动模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1公斤；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),

相当于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5公斤，每周吸收热量不要小于10000千卡.四、案例:减肥计划——节食与运动某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75公斤.第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划.减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案.四、案例:减肥计划——节食与运动

确定某甲的代谢消耗系数即每周每公斤体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=100公斤不变四、案例:减肥计划——节食与运动

第一阶段:w(k)每周减1公斤,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1公斤，第10周末体重90公斤吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划四、案例:减肥计划——节食与运动

第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型四、案例:减肥计划——节食与运动

第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75公斤第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75公斤.四、案例:减肥计划——节食与运动2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每公斤体重消耗的热量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型四、案例:减肥计划——节食与运动运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可.2）第二阶段增加运动的减肥计划四、案例:减肥计划——节食与运动增加运动相当于提高代谢消耗系数2）第二阶段增加运动的减肥计划提高12%减肥所需时间从19周降至14周减少25%

这个模型的结果对代谢消耗系数很敏感.

应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数(对不同的人;对同一人在不同的环境).四、案例:减肥计划——节食与运动3）达到目标体重75公斤后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变

不运动

运动(内容同前)四、案例:减肥计划——节食与运动362023年2月6日1.问题的提出四、案例:最优捕鱼策略问题

假设鱼可分为4个年龄组：称1、2、3、4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99(克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后4个月，平均每条4龄鱼的产卵量为

(个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和１龄鱼不产卵。卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为

372023年2月6日

渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的８个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即固定努力量捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3,4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42:1。1.问题的提出四、案例:最优捕鱼策略问题382023年2月6日（1）建立数学模型分析如何实现可持续性捕捞(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总重量）。1.问题的提出四、案例:最优捕鱼策略问题392023年2月6日2.模型的假设四、案例:最优捕鱼策略问题（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼；（4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生于产卵之后；（1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出；（2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；2.模型的假设四、案例:最优捕鱼策略问题（6）四龄以上的鱼全部死亡；（7）采用固定努力量捕捞即捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系数。（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的;2023年2月6日412023年2月6日3.模型的建立与求解四、案例:最优捕鱼策略问题（1）无捕捞时鱼群的自然增长模型！！无捕捞时鱼群会无限的增长吗？？No!Idon’tknow!各龄鱼都不会无限地增长！422023年2月6日

（1）无捕捞时鱼群的自然增长模型3、模型的建立与求解432023年2月6日

(2)固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解442023年2月6日

(2)固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞模型3、模型的建立与求解452023年2月6日1)鱼群的增长规律求解(1)，(2)，并利用连续条件(3)

462023年2月6日2)捕捞量472023年2月6日