2021年浙江省高中数学联赛试题(含参考答案)

2021年浙江省高中数学联赛试题（含参考答案）20212021浙江初赛试题第页2021年浙江省高中数学联赛试题2021.4.15一、填空题己知。为正实数，且-一是奇函数，则/W的值域为a収+12018设数列｛暫｝满足ax=l,an+i=5an+1（用-1,2,…），则£兔=口3+3+sin(八12r亦a14丿4cos(a十/?)=—,在八个数字2,4,6,7,8414243中任取两个组成分数。这些分数中有个既约分数。已知虚数z满足z3+l=0,则&设网=l（k若平面上点尸满足，对于任意虫R,有JP-tAB>3,则PAPH的最小值为t此时\pa^pb\=o7.在△如?C中,AB+AC=7且一角形的面积为4,则血厶4的最小值为8”设/(a)=|^+1|+|a|-|a-2H则/(/(x))+l=0有个不同的解*设满足-60-4少刁+12=0,则x的取值范围为四面体P-ABC,PA=BC=伍,PB=AC=^,PC+B=尿,则该四面体外接球的半径为o二、解答题（本题满分如分）已知动直线f与圆O：相切，与椭Hy+/=1相交于不同的两点求原点到」40的中垂线的最大距离°（本题满分20分）设acR,且对任意实数b均有maxx1+ax+b>1,求◎的re[0,l]取值范围。〔本题满分20分)设实数加,…,％满足W+15申(“12…,2016)和2018,[[兀二1,证明：^1009^1010'1◎rt=l14+〔本题满分30分)将加(«>2)个不同整数分成两组玛4,…心；®息…心。证明工g|-z(耳-叩+1勺-勺|)才\<i<n15.〔本题满分30分)如图所示将同心圆环均匀分成"C«>3)Mn在内环中固定数字1〜用°问能否将数字］〜找填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外坏的数字相同？

参考答案1.解由加为奇函数可知〉£=£秽寸解得“2,即心寺磊,由此得/（力的值域为O2._11S"1解由<?„+i=5</n+1=>an+i+--5(c?n+-)=>=~r~~;j所以444420L«In=l耳+空+…+20L«In=l耳+空+…+5叩）一20184_5佔期lx?620184807716^3jT5665^3jT56653.43Jr5'遊S+Q〒徵呛+加-严如-旷-了所以=cds(cj+/?)cos(df-—)+sin(6r+^)sin(6r-—)=444.解在7,11J3中任取一个整数与在W,8t12中任取一个整数构成既约分数，共有2C]C*=30种；在7J1.13中任取两个整数也构成既约分数，共有=6中。合计有36种不同的既约分数。5.解P+1=0n+1）（于一2+1）=0二＞芝‘一2+1=0,所以&解由阿T乔卜3可知点尸到直线血的距离为丸设虫*的中点为。口由极化恒等式得=+W-(^-WH-{(2W)2-102}>-{36-100}=-16o444此时PA+P/3=607.49解由AH+AC=7^ABxAC<—,又4327-/l^xJCsinZA=4^>sinZA>—==-时取等号。4928.-jc-3,x<-1因为/（x）^|x+因为/（x）^|x+1|+|x|-|jc-2|=^x-L-l<x<03x-tO<x<2由/（/⑴）+1=0得到j©、7或/(对=0。由/(x)=-2,得一个解x=-l;由f{x)=0得两个解x二一辽二*,共3个解＜,9.解由兀-60-心-厂12=0=（店-尸-2尸+（"-3尸=1.令Jx-尹-2-cos^j^/y-3—sin0nx—（2十cos^）:+（3+sin0）2=14+a/52=14+a/52sin（6?+（9）（sin^=2TFT）,所以14-2V13<^<14+271310.解将四面体还原到♦个长方体中「设该长方体的长、宽、高分别为sb,则a2+戻=10^2+?=8=/+胪+寸=12,所以四面体外搖球的半径为J5°a2-^c2-6■.11・

解依题意可设=+*0）-因为直线f与圆O相切，所以，O到直线f的距离为1,即mJl+Fy=kx+旳宀9才_9=0得（1+9尸）/+必如处十（9y=kx+旳宀9才_9=0得（1+9尸）/+必如处十（9肿一9）二0得到x}+x2=]^kni1+9?所以/!好的中点坐标为（9kmml+9jt2l+9/r-10分O到直线中垂线的距离=1代入"啤V1+A2O到直线中垂线的距离=1代入"啤V1+A2得姑由均值不等式,1+疗26环故M的中垂线方程为旷俵=*+將）'化简得”如鵲r=o・15分当且仅当|i|=y时取等号。所以，当|心刍⑷=字叭原点到初的中垂线的最大距离为'20分12.解1设f(x)=x2+b,对于,所以只要考虑\b\<[.当-中兰0时，即^>0.此时函数八巧的最值在抛物线的左右端点取得，对任意网《1有/⑴二1+口+心/(0)二办，所以于⑴二1+0+21，TOC\o"1-5"\h\z解得^>lo10分当0时，即-l<a<0,此时函数/(对的最值在抛物线的顶虑和右端点取得，而对"0有|/(1)|=|1十*1川一步]于<1.⑶当学-*1时，即此时函数/'(巧的最值在抛物线的顶点和M丄左端点取得，而对〃"有孑(0}|二问彳)二手15分⑷当-彳工1时，即a<-2,此时函数/(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意问<1有f(O)|=0|v],所以/(])=|+”肚—],解得^<-3.综上疚仝1或口E—3<j20分解2设m-maxa:2+£7；v+6L则有工日叮]|m>\b\,m>\}+a+b^>2m>”|+1+口+b>1+a|依题意，+>1=>a>\或2u冬一3□13.

证明：由条件兀屁+=同号口反证法，假设xlh(wxl01()>1c(1)若州卯，工剧。问为正数，由兀,％十2问百可知哥，习,***，也0卅问号。.**.**5由兀+1—兀由兀+1—兀f斗十2=><兀叶2_心OOT<卞仙0<玄1011尤1004尤1&09-^101010分15分10分15分矛盾勺=>爲劇工]创0兰n工L们L工100*>同理沁_二遇•沁玉Hu•沁二血二曲血工(0|2>1*10(/7-^1008-^1007-^lOlO^L&]1^1030类似可证明:20IB因此匸[兀」>1,Ji=l⑵若和奶临m同为负数，由孔忑+2同号可知弘心…,％g均为负数，仍然有攵二兰斗Ep^―<—7类似(1)可证得口加分叽兀+i14.证明令町二工|外—勺卜工(耳―如+1®—Q|),下面用归纳法证明]<f<wKi<j<>n1可血当n^l时，不妨设ffj<alyb}<b2>a2<b2DTi=匾一叫|+覘一為|+1切一碣|+|切一对一匾一屿卜恢一歼I，TOC\o"1-5"\h\z当口]<切n『2=q—t?]+&+g◎>2;5分当函>勺二>厂产為一碍+坷+$>2<p1()分假设对正整数〃成立，对正整数丹+1,不妨设a.w%<…<<%<…<<b*再设bk<an+i<bk+]t则有科w祁稈人+i=X臥+]-®I+工k+i_^I_X庇+i-a]~£忙|-fej+|^+i-£+」+Tnj=1r=lr=li=l■■■15分nnnh下证£為-矶|+工忆+i-引-E陽十i-毎|-工肉+i-旬|》0of=\i=\i=\i=\由(1)如<%<齢仗二1,2,，得到科円科观曲-®|+£|%-引-£|%-坷I-£0曲-勺1=1f=li=ii=la=225f=Jt+lnrnn⑵若暫+1",则Yl%+1-碣|+刃昭-$|-工|粘|-码I-工冋+】-鸟|i=li=la=lj=l=工(也一5[)>J如分i=l15.解答：设对应于内环1Z…，门的外环数字为—7,它是数字1Z门的一个排列。对k=、2…』,记外环数字在按顺时針方向转动人格时，和内环数字相同，即TOC\o"1-5"\h\zik-k=jkmodk=12…訂ioio分根据題意，丿［J』,…,人应是0,1,2，…丿-1的排列口