【经典专题】空间几何的外接球和内切球教师版

专（）—间何的接和切一典探类一墙模（条两垂，找心位即求球半）P

P

Aa

b

C

b

B

aB图

2

POc

C

A

B

3

4方：三条两两垂直的线段，直接用公式

2

，即

2

a2

，求出

.例：知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为

4

，体积为

16

，则这个球的表面积是（）.A．

16

B．

20

C．

24

D．

32解：

Va，，2224

，

，选C.变1若三棱锥的个侧面两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是.解：

，S

.变2在正三棱锥

S

中，

、

分别是棱

SC

的中点，且

AM

,若侧棱

SA3

,则正三棱锥

S

外接球的表面积是.解：引理：正棱的棱垂直如图（3）-1，,BC的点D,，接,CDAE,交H，接，H是底面正三角1

形的心，平面ABC，SH

，AC

，

ADBD

，CDAB

，

平面

SCD

，AB

，同理：

，

，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2AM，SB//MN，SB，AC面SAC，，SBSC，SA，，SA

平面

，

，故三棱锥

ABC

的三棱条侧棱两两互相垂直，(2)

(2

(2

4R

2

三棱锥S外接的表面积是36

SMA

C

H(3)题-1

E

B

N(3)题2变3在四面SABC中，平面ABC，BAC120ACAB接球的表面积为（）.

则该四面体的外A

1040D.3

解：在

ABC

中，

2ABABcos120

，BC，ABC的接球直径为

r

BC73

，(2)

r)

740)，，选D.33变4如三棱锥的三个侧两两垂直，它们的面积分别为是.

6、、，么它的外接球的表面积解：三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为

a,c

（

aR

），则12

，

，

，

，

c

，

2

，

.

ac2

PA

CB变5已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长1几何体外接球的体积为.

的等腰直角三角形和边长为1

的正方形，则该解：

(22

，

R2

3，R

433V3

OC类二垂模（条线直一平）

A

OB

D模1如图，PA面.解题步骤：

5第一步：将

ABC

画在小圆面上，

A

为小圆直径的一个端点，作小圆的直径

AD

，连接

PD

，则

PD

必过球心

；第二步：为ABC的心，所以面ABC，出小圆的半径ODr1

（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

acrsinsinBsinC

），

1OOPA2

；rrOO第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①OO②.

(2

2

2

r)

2

R

PA2

(2r

；模2如图，8的影是的外心三锥P的条侧棱相等三棱锥PABC的底面ABC圆锥的底上，顶点P点也圆锥的顶.

PO

C

CAO

B

D

B图

7-13

PO

O

C

O

A

O

B图P

图8A

AB

O

C

B

O

CDO

O图P

图

D图-3解题步骤：4

第一步：确定球心的置，取ABC的心，PO,1

三点共线；第二步：先算出小圆

O

的半径

AO1

，再算出棱锥的高

PO1

（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：

OA

2OA2h)1

，解出

.方二小直径参与构造大.例、个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（A．

B．

C．

16

D．以上都不对解：选C，

(3)

,

3RR

2

2

,

4R

,

23

,

S

163

.类三切模（个面相直模1如图9-1，面

平面

，且

（即

为小圆的直径）第一步：易知球心

O

必是

的外心，即

的外接圆是大圆，先求出小圆的直径

r

；第二步：在中，可据正弦定理

ac2R，出.sinsinBsinC

PO

O

9-1

图-2模2如图9-2，面PAC面，AB（即为小圆的直径.

2CO2221

AC2R

.5

模3：图9-3面

平面

且

（即

为小圆的直径且

P

的射影是

ABC的外心三锥PABC

的三条侧棱相等棱P

的底面

ABC

在圆锥的底上，顶点

P

点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心

O

的位置，取

ABC

的外心

O

，则

O,1

三点共线；第二步：先算出小圆的半径r

，再算出棱锥的高

PO1

（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：

OA

2OA2h)1

，解出R.PP

图9-3

图9-4模4如图9-4，面

平面

，且

（即

为小圆的直径），且

AC

，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①

(2

2r)2

PA

(2r

.②

r

OO

r

OO

.例、正棱的顶点都在同一球面，若该棱锥的高为，面边长为为.

3

，则该球的表面积解：（1）由正弦定理或找球心可得

2R

49

，变1、四棱锥

SABCD

的底面边长和各侧棱长都为

，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为.解法球的位置知

r

hr

球在正方形的中心

处R

43

方法二：大圆是轴截面所的外接圆大圆是4，V3

的外接圆此特殊，

Rt

的斜边是球半径，变2、三棱锥

PABC

中，

PAPC

,侧

PA

与底面

所成的角为

，则该三棱锥外接球的体积为（）.6

A．

B.

4C.4D.解：选D，圆锥

,B,C在r

32

的圆上，

.变3已知三棱锥

的所有顶点都在球

O

的求面上,

ABC

是边长为

1

的正三角形

为球

O

的直径,且

，则此棱锥的体积为（）.A．

2322B．C．．62解：

1

3232)2，h，V3343

，选A.类四汉模（棱的接、柱外球

1

2

1

1

A

1

O

2

C

1

B

1

OCO1

A

O

1

B图

图0-2

O

O

O

图0-3模：图10-1，图10-2，图10-3,直棱内于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）7

1222柱2第一步：确定球心的置，O是ABC外心，则OO面；1222柱2第二步：算出小圆

O

的半径

AO1

，

OO1

1h2

（

1

也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：

OA

2

O1

2

O1

2

R

2

h)2

2

2

r

，解出R.例4、个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

，底面周长为，这个球的体积为.解：设正六边形边长为

，正六棱柱的高为

h

，底面外接圆的关径为r

，则

，底面积为

3)，h，h3，R))88

2

，

，球的体积为

3

.变1、三棱柱

ABC11

的各顶点都在同一球面上，若

ABAA1

,

BAC120

，则此球的表面积等于.解：

BC2

，

r

3sin120

，

r

，

，

20

.变2已知所在的平面与矩形ABCD所的平面互相垂直EAEBAD

，则多面体

的外接球的表面积为.解：折叠型，法一：

的外接圆半径为

r

3

，

1

，

；法二：

O1

3，rD，2

，

，

.E

A

DM

B

C变3、直三棱柱

中，AB4,ACA11

3

,1

则直三棱柱

11

的外接球的表面积为.8

211211解：

BC

12

，

BC27

，

47r3

，r

7

，R2

28401601)，233

.类五折模题：个等角或腰角拼一，菱折叠如图11)第一步：先画出如图所示的图形，将BCD在小圆上，找出BCD和

BD的心H和H；第二步：过

H

和

H

分别作平面

和平面

A

的垂线，两垂线的交点即为球心

O

，连接

,OC

；第三步：解

OEH

1

，算出

OH

，在

OCH

1

中，勾股定理：

OH21

.A'A

H

2B

OH

1

C

O2H

OO1图1

例、棱锥

PABC

中，平面

PAC

平面

ABC

，△

PAC

eq\o\ac(△,和)

ABC

均为边长为

的正三角形，则三棱锥PABC外球的半径为.解：

2rr1

2460

，

rr12

2，O33

，

2

OH2

2

115，R333

；法：

O2

11，OH33

，

AH

，

R2H2O21

5，33

.类六对相模（形长体模三棱（即四体已三对分相求接半（CD，）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步设长方体的长宽高分别为

a,cADx，ABCDyACBD

，方程组，9

cB．C．D．22cB．C．D．2y222

2

2

2

2

2

22

2

.补：

A

163

.第三步：根据墙角模型，

2

x

y

，

2

y8

，

xy22

，求出

，例如，正四面体的外接球半径可用此Ay

y

c

CB

例棱长为

2

(1)题图的正四面体的四个顶点都在同一个球面上该球球心的一个截面如图中角(正四面体的截面)的面积是.解：截面为PCO，积是；

O

COAB

O

B图变1、个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）.A．

33441210

解：高

R

，底面外接圆的半径为R，径为R

，设底面边长为a，则R

asin60

，

，

34

，三棱锥的体积为

3VSh4

.变2在三棱锥ABCD，AB2,AC4,表面积为.

则三棱锥接球的解：如图，补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为

a,c则a

2

，b

2

2

，

c

2

2

2(

2

2

2

29

，

2(a

2

2

2

29

，a22

292929，4，2

.变3如图所示三锥ABCD，其中ABCDACBDBC7,的表面积为.

则该三棱锥外接球解：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为

a,,c

，a

2

2

2

49110，a

2

2

2

55，4

2

，S

.变4正四面体的条棱长都为，该正面体外接球的体积为.解：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，343R，V232

2R

3

，BCOA

类七两角角拼在起(边同也看作形对线起得棱)型模：

ACB

，求三棱锥P外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O连接OC，OBOP

12

，O三棱锥外球球心，然后在OCP中出11

半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球径都为定值例、在矩形ABCD中，BC，AC将形ABCD折一个直二面面体的接球的体积为（）.

ACD

，则四A．

．C．9

D．

解：

R，R

5125125，2

，选C.变、矩形中AB，BC沿BD将形折接AC所得三棱锥的外接球的表面积为.

ABCD解：BD的中点是球心，13，S

.类八锥的切问模1如图14，棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半.第一步：先现出内切球的截面图，

H

分别是两个三角形的外心；第二步：求

DH

13

，

PO

，

PD

是侧面

ABP

的高；第三步：由POE相于PDH，建立等式：

OEDH

，解出r.

P

O

G

O

H4

H5

F

模2如图15，棱锥上四棱锥，求其外接球的半.第一步：先现出内切球的截面图，

P,O,H

三点共线；第二步：求

FH

12

BC

，

PO

，

PF

是侧面

的高；第三步：由相似于PFH，立等式：

OGPOHF

，解出模3三棱锥ABC任意三棱锥，求其的内切球半.方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相.第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，立等式：

VPABC

OABC

PAB

PBC

12

PABPACPBCABCPABPACPABPACPBCABCPABPACPABC

111SS()333

.第三步：解出

r

PABC