【教学设计同步训练】第1章 1.2.3 直线与平面的夹角-人教B版高中数学选择性必修一

1.2.3

直线与平面的角学习目标1．理解斜和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直与平面的夹角．(重点、难点)

核心素养通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？1．直线平面所成的角2．最小定理

2222222222223．用空向量求直线与平面的夹角如果是直线l的一个方向向量，是平面的法向量，设直线l与平面ππ所成角的大小为θ，则θ＝－〈v或θ＝〈vn〉－特别地θ＝sin〈vn〉或θ＝|cos〈v．思考线l的方向向量与平面的法向量夹角一定是直线和平面的夹角吗？[示]

π不是．直线和平面的夹角为〈，n〉1．思考析(正确的打“√”，错误的打“×”直线与平面的夹角不是锐角就是直角．斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．斜线与平面的夹角为[0,90°]．直线与平面的夹角为[0,90°]．

()()()()[案]

×

√

(3)×

√[示]

×

错误，角的度数还可以是零度．√×√

根据线面角的定义知正确．斜线与平面的夹角为(0,90°)．正确．2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°C．30°

B．D．以上均错C

1[直l与平α所成的角为θsinθ＝|cos＝0≤θ，∴θ＝．]3．已知向mn别为直线l和平面的方向向量、法向量，os〈，3n＝－，则直线l与平面α所成的角为________．3[设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉＝．又

111111111111112111111111111111121112111112∵θ∈∴θ＝．]4．在正形ABCDCD中CB与平面AACC所成角的大小为________．[如图，连接BD交于O连接，因为几何体是正方体，所以OB平面C，所以∠CO是与平面AACC所成角，2设正方体的棱长为1，则OB＝，＝，2sin∠BCO＝

2＝，可得∠＝30°2即与平面AACC所成角的大小为．]公式cosθ＝cosθ·cosθ的应用【例1】∠在平面α内OA是平面的一条斜线∠AOB＝∠AOC＝60°，＝OB＝＝a，＝2a求与平面α所成角．[路探究]

根据定义cos＝cosθ·cosθ求解．[]

法一：∵＝OB＝a，∠AOB＝∠AOC＝，∴AB＝＝a．又∵＝2a∴AB

＋

2

＝BC2

．

22112211∴△ABC为等腰直角三角形．同理△BOC也为等腰直角三角形．取中点为H，连接AH，OH，22∴AH，OH＝a＝a，AH2

＋OH2

＝AO

．∴△AHO为等腰直角三角形．∴AHOH．又∵AH⊥，OH∩＝H，∴AH平面α．∴OH为在平面内的射影，∠为OA与平面α所的角AH在Rt△AOH中，sin∠AOH＝．∴∠AOH＝．∴与平面α所成的角为45°法二：∵∠AOB＝∠＝60°，∴在α内的射影为∠BOC的平分线，作∠BOC的角平分线交于H．又OB＝＝，BC＝2a∴∠BOC＝90°．故∠BOH＝，由公式θ＝cosθ·cos，得∠AOH＝

∠2＝，∠BOH∴与平面α所成的角为45°求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置只有确定了射影才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH于H，进而证明AH平面，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cosθ＝cosθ·cosθ求线面角，也是常用的方法．[跟进训练]1如图所示在四棱锥ABCD中ABCD是正方形PD平面若

22∠PBC＝，求直线PB与平面所成的角θ．[]

由题意得∠＝45°，∠即为直线与平面ABCD成的角θ．∵∠PBC＝θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．2即cos＝cosθ∴cosθ＝，θ＝．用定义法解决直线与平面的夹角问题[究问题]1．用定义求直线与平面夹角的关键是什么？[示]

寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．2．定义法直线与平面夹角的基本思路是什么？[示]

①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为；π②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；2③若直线与平面相交但不垂直设直线与平面的交点为O在直线上任取异于点的另一点，过作平面的垂线PAA为垂足，则即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．【例2】如图所示在三棱锥ABC中⊥平面ABCPAAB∠＝60°，∠＝90°．求证：BC⊥平面；若D为的中点，试求AD平面PAC角的正弦值．[路探究]

(1)明和面内的两条相交直线垂直

22AD24322AD243作出AD平面内的射影后，构造三角形求解．[]

因为⊥平面，平面，所以PA⊥．又∠BCA＝90°，所以⊥BC，又⊂面PACPA⊂平面，∩＝，所以⊥面PAC．取PC的中点E连接．因为D为的中点，所以DE，所以⊥平面．连接，则AE是AD平面内的投影，所以∠DAE是直线与平面PAC的夹角．设＝＝a，在直角三角形中．因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，a所以＝，＝，2在直角三角形中，AD＝，aDE2所以sin∠＝＝＝．2a2即AD与平面角的正弦值为．11变问法)若本例条件不变题(改为D为上的一点PB，试求AD与平面角的正弦值．[]

由已知⊥，，∩＝，

23393AD523393AD5所以⊥平面PAC⊥，过三等分点DE∥则⊥平面PAC连接，AD则∠为AD与平面的夹角不妨设PA＝＝1为∠ABC＝，112所以＝，＝×＝，＝，＝．5△ABD中22··cos45°＝∴AD，所以1DE5sin∠DAE＝＝＝．535即AD与平面角的正弦值为．2．改问法若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？[]

由例题(1)知BC平面，所以平面PAC平面PBC．过作AE⊥所以AE⊥平面PBC连接，则∠与平面PBC的夹角．设PA＝2a，＝a，所以PB＝22a故ADa．在△APC中，AP＝2a，3＝·sin＝2a×＝3，2

7AD7711111117AD771111111所以＝3a

2

＋4a

2＝，设∠ACP＝，则AE＝·sinθ＝×

＝a×

2a23＝a7a7221＝，221a7所以sin∠＝＝＝．2a42即AD与平面PBC夹的正弦值为．用定义法求直线与平面的夹角找直线在平面内的射影用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．用向量求直线与平面所成的角【例3】如图，在直三棱柱C-ABC中ACBC，AC＝BC＝1，＝2，点M是的中点．

1求证：B∥平面AC；求与平面ACM所成角的正弦值．

1111→2211111→112211→1111→2211111→112211→1211111111111131311[]

证明：在直三棱柱-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC＝2，点M是的中点．以C为原点，建立如图所示间直角坐标系，则(0,1,2)，A，C(0,0,2)A(1,0,2)，，，＝(0，1，－2)，→＝(－，AM＝，，设平面M的法向量n＝，，z)，则

→n＝－x＋2＝，＝－x＋y＋2＝，取z＝1，得(2－，→∵·n＝0，平面M，∴C∥平面ACM．→(2)＝(0,0,2)，平面AC的法向量n＝，－2,1)，设与平面M所成角为θ，则与平面M所成角的正弦值：→·n21sinθ＝＝＝，→×n1所以与平面ACM所成角的正弦值为

→111111111211111111→1111111112111111111111112111111112411用向量法求线面角的步骤建立空间直角坐标系；→求直线的方向向量B求平面的法向量→|n计算：设线面角为θ，则sinθ．|n|·|AB[跟进训练]2．已知棱ABCAB，平面AA⊥平面C，∠BA＝60°，C∠C＝90°，AA＝＝CC＝，D，分别是BC和的中点．证明：DE⊥B；求DE与平面BCC所成角的余弦值．[]

证明：过点AAO⊥平面AB，交A于点O，连B，设C＝AC＝＝＝，则O1，AB＝2，∴OC，O＝，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，5则B，，3(0,2，D，，

(

0，1，0

)

(30,0)，C(0,3,0)，

441111111→1441→13213132π3π441111111→1441→13213132π3π2π23→1→DE，－，－3＝(－3，，→→又DEB＝，∴DE⊥C．→→(2)CB＝3，－2，－3)，CC＝(0,1，－，设平面BCC的法向量n＝(x，y，)，CB＝3－2y－3＝，则→1＝y－＝，取y＝，得，3，1)，→1DE，－，－3设DE与平面BCCB所成角为θ，→DEn43则sinθ＝＝．DE|·|∴cosθ＝

31－．11∴DE与平面BCCB所成角的余弦值为．1．知识：握线面角的概念以及最小角定理．2．方法(转化思)利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．π1．若直线l与平面α所成角为，直线在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a成角的取值范围是()A．

B．

233ππ323211111111111233ππ32321111111111111111121115115C．，

D．，πD[由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为l为异面直线，π则所成角的最大值为．]2．已知长ABCDCD中＝＝4CC＝2，则直BC和平面D所成角的正弦值为()A．C．

32105

B．D．

521010C[连接交D于点，由已知得⊥BD，且平面BDDB⊥平面CD，∴CO⊥平面，连接，则为在平面B上的射影，∠C即为所求．1CO＝4＝22，＝4

2

＋2

＝25，C∴sin∠＝＝＝．]153．若平面α的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与α所成角的正弦值为________．7315

[l与平面所成的角为θ＝

×01×3＋1×4|3×03＋2

＝

73×73＝．]4．在正三锥-ABC中＝，AB＝3则侧棱与底面所成角的正弦值为_

44aa22→→a44aa22→→a→222154

[图，在正三棱锥P-ABC，PA4AB＝3，设在底面上的射影为，则O△ABC的中心，