平面向量的概念及几何运算

平面向量的概念及几何运算检测卷班级 _姓名 座位号一、选择题（新题型的注释）下列说法中错误的是（）A.零向量没有方向 B.零向量与任何向量平行C.零向量的长度为零 D.零向量的方向是任意的—►TOC\o"1-5"\h\z已知平面向量b=（x，—3）,b=（x，—3），且a〃b，则x=（ ）A9 B—9 C—3 D33.若a=（1,—1,—1）,b=（0,1,1）且（a+人b）1b，则实数人的值是（ ）A、0 B、1 C、—1 D、2已知平面向量a=（1,1）,b=（1,—1），-则向量—2万一舌的坐标是（ ）A.（—3,—1） B.（—3,1） C.（—1,0） D.（—1,2）已知a=（2,1）,b=（—3,4），则a与b的数量积为： （）A.(—6,4) B.(—1,5)C.—2D.06.已知，A(2,3),B(-4,5),则与AB共线的单位向量是（ ）/310A.e=(—―,10)B.e=(—3：。,f）或（以°，一约10 10C.e=(—6,2) D.e=7.化简AB+BD—AC—CD=(A.AD B.010(—6,2域(6,2))C.BC10 10 10D.DATOC\o"1-5"\h\z8.在下列向量组中，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A.e=(0,1)e2=(1,—6) B.e1=(—1,2) %=(5,—1)_ ■_3_3云=(3,—5)%=(6,10) e=(2,—3) e2=(2,—4C.1 2 D.1下列命题：若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)(4)(2)对于任意非零向量若a=b且a与b的方向相同，则a=b；非零向量a与b满足a〃b，则向量a与b方向相同或相反;(3)(4)(5)若a〃b，且b〃c，则a〃c正确的个数：()A.0 B.1下列命题正确的是C.2D.3a.若a•a=a•a，则a=aB.若|a+bI=1a-bI(5)若a〃b，且b〃c，则a〃c正确的个数：()A.0 B.1下列命题正确的是C.2D.3a.若a•a=a•a，则a=aB.若|a+bI=1a-bI，则~a,片=0c.若a//a，a//a，则a//ad.若a与a是单位向量，则a•a=111.已知，A(2,3)，B(—4，5)，则与AB共线的单位向量是( )・，310A.e=(— -1010),3*10、10"310B.e=( -, )或( -10 10 10Y10)IT'C.e=(-6,2)D.e=(-6,2)或(6,2)12.已知A(2,-2),B(4,3)，向量p的坐标为(2k-1,7)且p〃园,则k的值为(a、EO填空题若回9B、10C、19—10D、191Q二、13.(1,5)，OB=*，则A14.已知a=(tan0,—1),b=(1,-2)，若(a+b)上(a—b)，则tan0=15.(1)(2)判断下列命题正确的是—共线向量一定在同一条直线上。所有的单位向量都相等。(3)向量a与a共线，a与a共线，则a与a共线。(4)向量a与a共线，则a〃a(5)(6)(5)(6)向量AB//CD，则AB//CD。平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。16.已知A(2,3),OB=(6,-3)，点P在线段ba延长线上，且AP则点P的坐标是.

三、解答题化简(AB-CD)-(AC-BD)在矩形ABCD中，AB=2BC,M、N分别为AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中，相等向量共有多少对？— …一， "兀3兀)已知点A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina),aW—，—.k2 27(1)若|AC=BC〔，求角a的值；(2)若AC-BC=—(2)若AC-BC=—1，求1+tana的值.20.已知AABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量m=(1,sin(B—A))，平面向量n=(sinC—sin(2A),1).(I)如果c=2,C=三,且AABC的面积S=t'3,求a的值；(II)若m1n,请判断AABC的形状.21.已知M"ABC的边AB上一点，且Saa^=1Sa^c.求点M分AB所成的比.22.(本题满分14分)已知向量a是以点A(3，—1)为起点，且与向量b=(—3，4)垂直的单位向量，求a的终点坐标。参考答案TOC\o"1-5"\h\zABx—3【解析】因为a//b，所以3=1，解得x=—9，故选BB【解析】a+人b=(1人一1,人一1)，因为(a+人b)上b,所以(a+Xb)•b=人一1+人一1=0，解得X=1，故选BA一一一一5.CBB【解析】解：由于AB+BD一AC一CD=AD一(AC+CD)=AD一AD=0故选择BDC【解析】解因为’一 一一一若向量a|=|b，则a与b的长度相等且方向相同或相反；不成立对于任意非零向量若|a|=b且a与b的方向相同，则a=b；满足定义—J T非零向量a与b满足a〃b，则向量a与b方向相同或相反；成立—► ■> —►—►向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成能四边形，错误若a〃b，且b〃c，则a〃c，当b为零向量时，不成立。B【解析】解：因为选项A中不能约分，选项B中，两边平方可知成立，选项C中，当#为零向量时不成立，选项D中，夹角不定，因此数量积结果不定，选BBD_(-8,-3)±2(4)【解析】(1)错。因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上。错。单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义。错。注意到零向量与任意向量共线，当^为零向量时，它不成立。(想一想：你能举出反例吗？又若b。8时，此结论成立吗？)对。因共线向量又叫平行向量。错。平行向量与平行直线是两个不同概念，AB、CD也可能是同一条直线上。错。平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反。(-6,15)0【解析】考查向量的加、减法，及相关运算律。解法一(统一成加法)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=AB+BD+DC+CA=0解法二(利用OA-OB=BA)(~AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(AB-AC)-CD+BD=CB-CD+BD=DB+BD=0解法三(利用AB=OB-OA)设O是平面内任意一点，则(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA)+(OD-OB)=OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.相等的向量共有24对【解析】模为1的向量有18对.其中与AM同向的共有6对，与AM反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD反向的也有3对；模为2的向量共有4对；模为2的向量有2对.(1)a=手；(2)-5. 一【解析】(1)解法1：由题意知AC=(cosa—3，sina)，BC=(cosa，sina—3).由|ac|

=BC，化简整理得cos以=sina.因为以w3;J，所以a=5;"兀3兀）*2，一2]解法2：因为AC=BC，化简整理得cos以=sina.因为以w3;J，所以a=5;"兀3兀）*2，一2]2〜(2)由AC-BC=—1,得(。0、a—3)cosa+sina(sina一3)=—1,即sina+cosa=3.所TOC\o"1-5"\h\z、c一 4口… 5以（sina+cosa）2=1+2smacosa= ，即2smacosa=一一.9 92sin2a+sin2a 八. 5所以一 =2sinacosa=一1+tana 9（I）.•・a=2.（II）「.AABC是直角三角形或等腰三角形.【解析】由题意列余弦定理及面积公式两个方程，联立解得a,b;若m±n,sinC-sin2Asin(B-A)=0.进而化简求证。解：（I）由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4,AABC的面积等于3,.\—absinC=气32・ab=4.a2+b2一ab=4,左联立方程组得＜解得a=2,b=2.a=联立方程组得＜ab=4,(II)•m±n,.sinC-sin2Asin(B-A)=0.化简得cosA(sinB-sinA)=0. 7分/.cosA=0或sinB-sinA=0.当cosA=0时,A=—，此时AABC是直角三角形;2当sinB-sinA=0时,即sinB=sinA，由正弦定理得b=a,此时AABC为等腰三角形..・.AABC是直角三角形或等腰三角形.1—8^AABC侍8^AABC侍AAMC7SABMC'设从C向AB所作的高为h，则1AM|h=1X1」/」AM=1BM，.••点M分AB的比为1.7 7【解析】由sAAMC1BM