【2021中考数学】圆之圆周角定理

2021中考数学圆之圆周角定理1．如图，⊙的径⊥弦BC于，是⊙O一点．（1）求证：∠ADC∠；（2）若＝2，BC＝6求OA的长．2．如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和交于点N，AB和的延长线交于点，CD∥BE，BC∥AD，＝＝1，点D是（1）求证：BCDE（2）求证：是圆的直径；（3）求圆的面积．

的中点．3．如图所示，已知AB为O的直径，是弦，且ABCD于点．连接、、．（1）求证：∠ACO；（2）若tan∠ACO，CD＝6求⊙的径．1

4．如图，是⊙的径，弦CDAB于点E点在⊙O上，弦PB与CD交于点，且＝．（1）求证：PDCB（2）若＝26，EB＝8求CD的长度．5如图在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠BAC＝90°以边AB为直径作⊙O交斜边于DE在弧连接AE、、DA，连接AEED、．（1）求证：∠DAC；

上，（2）若点E是

的中点，与BC于点F，当＝5CD时，求DF长．6．已知△ABC中，＝，以AB为直径的⊙交BC于点，交AC于点．（1）当∠BAC为锐角时，如图①求证：CBE＝∠；2

（2）当∠BAC为钝角时，如图②的延长线相于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．7．如图，⊙经坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A坐标为（，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°（1）求证：为⊙C直径．（2）求⊙的径及圆心的标．8．如图，为⊙的径，弦⊥于HE为延长线上一点，交⊙O于F（1）求证：平分；（2）若＝DF，＝5AH＝，求⊙的半径3

9．如图，已知AB是⊙的径，弦⊥AB于点，点M在O上，∠M＝∠D（1）判断、的位置关系，说明理由；（2）若＝16，BE＝4求线段的长．10．如图，AB为⊙的径，点C在⊙，延长至点D，使＝．延长与⊙的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：∠＝∠；（2）若⊙的径为2，BC﹣＝2求的长4

参考答案1．（1）证明：∵⊥BC∴＝，∴∠ADC＝∠AOB；（2）解：∵OABC∴＝＝＝×6＝3，设⊙的径为，则OA＝＝，＝﹣2在eq\o\ac(△,Rt)OBE中，2+r﹣2）＝，得r＝即OA的长为．2．（1）证明：∵∥BE∴∠DCE＝∠CEB，∴，∴＝；

，（2）证明：连接，∵∥，∴∠CAD＝∠BCA，∴＝，∴＝，∵点是∴

的中点，，∴＝，∴＝．又∵BM＝BC，5

∴＝＝，即△ACB和△BCM是等腰三角形在△中，∴∠ACE＝90°∴AE是圆的直径；

，（3）解：由（）（2）得：又∵AE是圆的直径，∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠＝45°，∴＝，∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠＝90°，∴＝，∵＝＝1∴＝1∴．

，由勾股定理得：2

＝2

+2

＝

，∴圆的面积3．（1）证明：∵⊥CD∴＝，∴∠＝BCD∵＝，∴∠ACO＝∠，∴∠ACO＝∠BCD；（2）解：∵ABCD∴＝＝＝3，在eq\o\ac(△,Rt)BCE中，∵tanBCD＝tanACO＝＝∴＝1设⊙的径为，则OC＝，＝﹣1在eq\o\ac(△,Rt)OCE中，2+r﹣1）＝，得r＝5，6

．，

∴⊙的径为10．4．（1）证明：∵＝FB∴∠＝CBF∵∠＝C，∴∠＝CBF∴∥．（2）解：连接．∵

是直径，∴∠ACB＝90°∵⊥，∴＝，∠AEC∠＝90°，∵∠CAE+∠ACE，ACE+∠＝90°，∴∠CAE＝∠BCE，∴△ACE∽△CBE，∴∴

＝＝

，，∴＝144，∵＞0∴＝12∴＝2＝24．5．（1）证明：∵是⊙O的直径，∴⊥，7

∵∠BAC＝90°∴∠CAD+∠BAD＝∠BADB＝90°，∴∠CAD＝∠，∵∠＝ABD∴∠DAC＝∠AED；（2）解：∵点是

的中点，∴∠BAE＝∠EAD，∵∠CFA＝∠ABC+∠，∠＝∠CAD+∠EAD∴∠CFA＝∠CAE，∴＝，∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ACD＝∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴．即＝BCCD（5+4＝36解得AC＝6．∴＝＝6∴＝﹣＝26．解：）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°即AD⊥．又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BAC；（2）结论成立．理由如下：连接AD8

∵AB为直径，∴⊥，又∵AB＝AC，∴∠BADCAD＝∠BAC∵∠CAD+∠DAE＝180°∠∠DAE＝180°∴∠CADCBE，∴∠CBE＝∠BAC7．解：）∵⊙经过坐标原，∴∠AOB＝90°∴AB是⊙的径．（2）∵四边形是圆内接四边形，＝120°，根据圆内接四边形的对角互补得OAB＝60°∴∠ABO＝30°∵点的标为（，4），∴＝4∴＝2＝8，⊙的半径＝

＝4；∵在第二象限∴点横坐标小，设点标为，）9

由半径AC＝OC＝4，即则＝解得，＝2x＝﹣2

＝＝4，或x＝2（舍去），

，故⊙的径为4、圆心C的标分别为（8．（1）证明：∵、、F四点共圆，∴∠EFB＝∠CDB，∠BCD＝∠DFB，∵⊥，OA过O，∴＝，∴＝，∴∠BCD＝∠CDB，∴∠EFB＝∠DFB，∴BF平分DFE；（2）解：设⊙的半径为，∵在△和△中

，2）．∴△DFB≌△EFB（SAS），∴＝，∵＝5∴＝5∵AB为⊙直，⊥，∴∠ADB＝∠DHB＝90°，∵∠DBH＝∠ABD，

∴△DHB∽△ADB，∴＝，∵＝，BD，AB＝2，BH＝2R﹣，∴＝，解得：＝，R＝﹣2（舍去），即⊙的径是

．9．解：）、MD的位关系是平行，理由：∵∠＝∠，∴，∴∠＝MBC∴∥；（2）连接，∵AB是⊙的径，弦CDAB于点，AE＝16，＝4，∴∠OEC＝90°＝ED，＝+BE＝20∴＝10＝﹣BE＝6，∴＝

，∴＝2＝16，即线段