平面向量的线性运算

向量的线性运算（一）向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：aB+1bC=AC.规定：零向量与任一向量a，都有a+0=0+a=a.【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点o，作ok作法：在平面内任意取一点o，作ok=a,AB=a，则OB=OA+AB=a+b向量的加法法则（1）共线向量的加法:同向向量―同向向量―►——abOA B―►―►OB=a+bOWO=―OWO=——aw-bBO A―►―►OB=a+b（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：AB+BC=AC.平行四边形法则：以同一点a为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线AC就是a与b的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。―►―► —► ―>- —►如图，已知向量a、b.在平面内任取一点A，作~ab=a，M=b，则向量~aC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=打+"=次

【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2） 当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;（3） 当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|〉|b|,则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.个向量的起点，可以推广到乃个向（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后量连加个向量的起点，可以推广到乃个向向量加法的运算律（1） 向量加法的交换律：a+b=b+a（2） 向量加法的结合律:（a+b）+c=a+（b+c）证明：如图：使A?=a,~BCf=b,如=C则―► ―►—► —► ―►—►- ―►―► —►―►―►—►(a+b)+c=次+昂=枯，a+ (b+c)=*+沥=枯，.・.(a+b )+c=a+(b+c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行—►—►—► ► —► ►—►—► —►—►—► ► —►► —►—►—►—►例如：(a+b)+(c+ d) = (b+d)+(a+c)； a+b+c+d+ e—[d+ (a+c)]+(b+e).例题：例1.O为正六边形的中心，作出下列向量：（1）*+oc（2）庭+te （3）ox+f例2.如图，一艘船从A点出发以诲kmlh的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2km/。，求船实际航行的速度的大小与方向。TOC\o"1-5"\h\z[I 匚解：设沥表示船垂直于对岸的速度，而表示水流的速度，以AD, LIAB为邻边作平行四边形ABCD，则京就是船实际航行的速度，在RtAABC中，I~aB1=2,I京1=2兵，所以I京1=v'l面|2+ITBC|2=4。—. 2兵.- " 臼因为tanZCAB=2—=73^ZCBA=602例3已知矩形ABCD中，宽为2，长为2<3，A?=a，~BC=b，京二c，试作出向量a+b+C，并求出其模的大小。例4一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，则飞行的路程为心……偏东45,大小为、米F例5在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡般的速度为25km/h，渡般要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【举一反三】若渡般以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？习题：一艘船从A点出发以243km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度。一艘船距对岸4七「3km，以2^3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速。-艘船从A点出发以，1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为％，船的实际航行的速度的大小为4km/h,方向与水流间的夹角是60°，求七和勺一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h.

向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算。1.向量减法的定义若b+飞=a，则向量x叫做a与b的差，记为a-b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.表示：a-b=a+(-b)2.向量减法的法则根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量。-b的作图方法【思考】：已知a【思考】：已知a,b，怎样求作a-b？(1)三角形法则：已知a,b，在平面内任取一点O，作O?=a，况=b，则a—bBOA即a-b可以表示为从b(减向量)的终点，指向a(被减向量)的终点的向量.(强调：a，b同起点时，a—bBOA即a-b可以表示为从b(减向量)的终点，指向a(被减向量)的终点的向量.(强调：a，b同起点时，a-b是连结a，b的终点，并指向“被减向量a”的向量.)(2)平行四边形法：在平面内任取一点0,作~O^=a，况=-b则由向量加法的平行四边形法则可得瓦T=：B^+Ot=a+(-b)=a-bBb【思考】：从向量a的终点指向向量b的终点的向量是什么？(b-a) ab【探究】：如右图，a//b时，怎样作出a-b呢?b例题例2如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若at=a，dx=b,况=c，试证明：b+c-a=~oa例3用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形例4试证：对任意向量a,b都有IlaI—Ib11<1a+b1<1aI+IbI.证明：（1）当a，b中有零向量时，显然成立。（2）当a，b均不为零向量时：a与b共线，即a//方。当a,b同向时，IIaI—IbII<Ia+bI=IaI+Ib\当a,b反向时,IIaI—IbII=Ia+bI<IaI+IbI.a，b不共线时，在AABC中，II~aBI—I庭II<京<I~ABI+I庭I，则有IIaI—Ibii<ia+bi<iai+ibi..・.iiai—ibii<ia+bi<iai+ibi其中：当a，b同向时，la+bl=laI+IbI当a，b同向时，IlaI—Ibll=la+bI.【思考】：任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和?b向量的线性运算(二)实数与向量的积的定义：一般地，实数人与向量1的积是一个向量，记作人4，它的长度与方向规定如下：快11=1人IIaI；当人〉0时，人a的方向与a的方向相同；当人＜0时，人a的方向与a的方向相反；当x=0时，人a=0.(请学生自己解释其几何意义)实数人与向量a相乘，叫做向量的数乘实数与向量的积的运算律：TOC\o"1-5"\h\z从日a)=(M)a(结合律)； ①(人+日)a=Xa+日a(第一分配律)； ②(a+b)=Xa+Xb(第二分配律). ③定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b=xa.例题例1已知向量a和向量b，求作向量—2.5a和向量2a-3b。ab例2计算：―► —► ―► —► ―► ―► —► ―► ―► —►(1)3(a-b)-2(a+2b)； (2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c)【举一反三】1.计算：(1)(—3)x4a；(2)3(a+b)—2(a—b)—a；(3)(2a+3b—c)—(3a—2b+c).解：(1)原式=—12a； (2)原式二5b； (3)原式二—a+5b—2c.

TOC\o"1-5"\h\z—►—► —> —►例3.当XgZ时，验证：人(a+b)=人a+人b—►—►—► —► —►―►证：当X=0时，左边二0・(a+b)=0右边二0・a+0*b=0分配律成立当X为正整数时，令X=n,则有：—► —►—► —► —►—►—► —►—►—► —► —► —►n(a+b)=(a+b)+(a +b)+•••+(a+b)=a+a+ •••+a+b+b+ b +•••+b =na+nb即X为正整数时，分配律成立—>—► —>—► ―►—►当为负整数时，令X=-n( n为正整数)，有-n(a+b )=n[-(a+b )] =n[(-a)+(-b)]—► —► —► —► —►=n(-a)+n(-b)=-na+(-nb)=-na—nb,分配律仍成立—►—► —►综上所述，当X为整数时，X(a+b)=Xa+Xb恒成立.例4如图所示，D,E分别为AABC的边AB和AC中点，求证：BC与DE共线，并将DE用BC线性表示例5判断下列各题中的向量是否共线：2-丁一1一a=4匕一5e2,b二^―布%；a=ei+e2,b=2,-2e2，且ei,e2共线.解：(1)当a=0时，则b=0