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文档简介
2023年高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线与抛物线C:交于A,B两点,直线,且l与C相切,切点为P,记的面积为S,则的最小值为A. B. C. D.2.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()A. B. C. D.3.已知α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,则“α∥β是“l∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.35.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()A. B. C. D.6.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数的对称中心是D.函数的对称轴是7.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.8.函数在的图象大致为()A. B.C. D.9.设向量,满足,,,则的取值范围是A. B.C. D.10.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.11.已知集合,,则集合子集的个数为()A. B. C. D.12.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记实数中的最大数为,最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长,若,则的取值范围是.14.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.15.已知数列{an}的前n项和为Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,则数列{}前2020项和为_____16.在中,、的坐标分别为,,且满足,为坐标原点,若点的坐标为,则的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)已知椭圆:的两个焦点是,,在椭圆上,且,为坐标原点,直线与直线平行,且与椭圆交于,两点.连接、与轴交于点,.(1)求椭圆的标准方程;(2)求证:为定值.19.(12分)已知都是各项不为零的数列,且满足其中是数列的前项和,是公差为的等差数列.(1)若数列是常数列,,,求数列的通项公式;(2)若是不为零的常数),求证:数列是等差数列;(3)若(为常数,),.求证:对任意的恒成立.20.(12分)已知函数,.(1)若不等式的解集为,求的值.(2)若当时,,求的取值范围.21.(12分)表示,中的最大值,如,己知函数,.(1)设,求函数在上的零点个数;(2)试探讨是否存在实数,使得对恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.22.(10分)为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表.(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的概率:(2)从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈,记为抽到高中的人数,求的分布列;(3)当时,高中生和初中生相比,那学段学生平均参加公益劳动时间较长.(直接写出结果)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
设出坐标,联立直线方程与抛物线方程,利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得到的距离,得到的面积为,作差后利用导数求最值.【详解】设,,联立,得则,则由,得设,则,则点到直线的距离从而.令当时,;当时,故,即的最小值为本题正确选项:【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题,通常采用构造函数关系的方式,然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.2、A【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.【详解】由程序框图的运行,可得:S=0,i=0满足判断框内的条件,执行循环体,a=1,S=1,i=1满足判断框内的条件,执行循环体,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2满足判断框内的条件,执行循环体,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…观察规律可知:满足判断框内的条件,执行循环体,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此时,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出S的值,所以判断框中的条件应是i<1.故选:A.【点睛】本题考查了当型循环结构,当型循环是先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件时算法结束,属于基础题.3、A【解析】试题分析:利用面面平行和线面平行的定义和性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断.解:根据题意,由于α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,由于“α∥β,则根据面面平行的性质定理可知,则必然α中任何一条直线平行于另一个平面,条件可以推出结论,反之不成立,∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件.故选A.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面平行的判定.4、A【解析】,故,故选A.5、D【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【详解】,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.6、B【解析】
根据图象求得函数的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得,函数的周期,所以.将点代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函数在上单调递减,当时,函数在上单调递减,故A正确;令,得,故函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,故B错误;令,得,故函数的对称中心是,故C正确;令,得,故函数的对称轴是,故D正确.故选:B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.7、D【解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.8、C【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.9、B【解析】
由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.10、B【解析】
由抛物线的定义转化,列出方程求出p,即可得到抛物线方程.【详解】由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,,所以抛物线的标准方程为:y2=2x.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,属于基础题.11、B【解析】
首先求出,再根据含有个元素的集合有个子集,计算可得.【详解】解:,,,子集的个数为.故选:.【点睛】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,集合子集个数的计算公式,属于基础题.12、B【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:显然,又,①当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而②当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而综上所述,的取值范围是.考点:不等式、简单线性规划.14、【解析】
根据渐近线得到,,计算得到离心率.【详解】,一条渐近线方程为:,故,,.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.15、【解析】
由已知可得•4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥,∴•4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.,满足上式,.∴2().∴数列{}前2020项和为2(1)=2(1).故答案为:.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16、【解析】
由正弦定理可得点在曲线上,设,则,将代入可得,利用二次函数的性质可得范围.【详解】解:由正弦定理得,则点在曲线上,设,则,,又,,因为,则,即的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的定义,考查向量数量积的坐标运算,考查学生计算能力,有一定的综合性,但难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】
(1)根据题中数据得到列联表,然后计算出,与临界值表中的数据对照后可得结论;(2)由题意得概率为古典概型,根据古典概型概率公式计算可得所求.【详解】(1)由题意可得:城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则,所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)在城镇居民140人中,经常阅读的有100人,不经常阅读的有40人.采取分层抽样抽取7人,则其中经常阅读的有5人,记为、、、、;不经常阅读的有2人,记为、.从这7人中随机选取2人作交流发言,所有可能的情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种,被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种,所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算,以及独立性检验的应用,利用列举法是解决本题的关键,考查学生的计算能力.对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可,属于中档题.18、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据椭圆的定义可得,将代入椭圆方程,即可求得的值,求得椭圆方程;(2)设直线的方程,代入椭圆方程,求得直线和的方程,求得和的横坐标,表示出,根据韦达定理即可求证为定值.【详解】(1)因为,由椭圆的定义得,,点在椭圆上,代入椭圆方程,解得,所以的方程为;(2)证明:设,,直线的斜率为,设直线的方程为,联立方程组,消去,整理得,所以,,直线的直线方程为,令,则,同理,所以:,代入整理得,所以为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,属于中档题.19、(1);(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】
(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.(3)由(2)当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.【详解】解:.是各项不为零的常数列,则,则由,及得,当时,,两式作差,可得.当时,满足上式,则;证明:,当时,,两式相减得:即.即.又,,即.当时,,两式相减得:.数列从第二项起是公差为的等差数列.又当时,由得,当时,由,得.故数列是公差为的等差数列;证明:由,当时,,即,,,即,即,当时,即.故从第二项起数列是等比数列,当时,..另外,由已知条件可得,又,,因而.令,则.故对任意的恒成立.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.20、(1);(2)【解析】试题分析:(1)求得的解集,根据集合相等,列出方程组,即可求解的值;(2)①当时,恒成立,②当时,转化为,设,求得函数的最小值,即可求解的取值范围.试题解析:(1)由,得,因为不等式的解集为,所以,故不等式可化为,解得,所以,解得.(2)①当时,恒成立,所以.②当时,可化为,设,则,所以当时,,所以.综上,的取值范围是.21、(1)个;(1)存在,.【解析】试题分析:(1)设,对其求导,及最小值,从而得到的解析式,进一步求值域即可;(1)分别对和两种情况进行讨论,得到的解析式,进一步构造,通过求导得到最值,得到满足条件的的范围.试题解析:(1)设,.............1分令,得递增;令,得递减,.................1分∴,∴,即,∴.............3分设,结合与在上图象可知,这两个函数的图象在上有两个交点,即在上零点的个数为1...........................5分(或由方程在上有两根可得)(1)假设存在实数,使得对恒成立,则,对恒成立,即,对恒成立,................................6分①设,令,得递增;令,得递减,∴,当即时,,∴,∵,∴4.故当时,对恒成立,.....
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