人教B版选择性必修第一册2.3.4　圆与圆的位置关系学案

圆与圆的位置关系学习目标.掌握圆与圆的位置关系及判定方法..了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用..掌握利用圆的对称性灵活解决问题的方法.圆与圆的位置关系的判断⑴几何法:根据两个圆的半径r.,r2以及两个圆的圆心距d来判断两个圆的位置关系：两个圆外离=d〉n+r2；两个圆外切=d=n+n;两个圆相交=|;两个圆内切=d=;两个圆内含odVn-n.⑵代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.M>Oo相交,［圆G方程照一元二次方程|4=0=内切或外切，I圆方程-J<0o外离或内含.两圆的公切线：⑴两圆相外离，有四条公切线；⑵两圆相外切，有三条公切线；⑶两圆相交,有两条公切线；⑷两圆相内切，有一条公切线；⑸两圆相内含,没有公切线.提示:①两圆相切时,连心线过切点；②两圆相交时,连心线垂直平分公共弦(两圆相交时,连接两交点的线段称为公共弦).两圆的公共弦：(1)两圆公共弦所在直线的方程：两圆相交时,有一条公共弦,如图所示.设圆C]:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②①-②得(D,-D2)x+(E-E2)y+F-F2=0.③若圆Ci与圆C2相交，由于③为直线方程,若P(x0,y0)为圆Ci与圆C2的交点,则点P(x(),y°)满足诏+y)+DiXo+Eiyo+F尸0,_E%o+7o+D2Xo+E2yo+F2=O,所以(Di-D2)x0+(Ei-E2)yo+Fi-F2=O.即点P(x。,y°)适合直线方程,故P(x。,y。)在③所对应的直线上,③表示过两圆G与C2交点的直线，即公共弦所在直线的方程.⑵公共弦长的求法：①代数法:将两圆的方程联立,解得两交点的坐标,利用两点间的距离公式求其长.②几何法:求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、弦长的一半、弦心距构成的直角三角形,用勾股定理求出弦长.⑨探究点一圆与圆位置关系的判定[例1](1)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆(x-1)2+(y-4)2=16的位置关系是(C)A.外切B.内切C.相交D.相离⑵当实数k为何值时，两圆Cl：x2+y2+4x—6y+12=0,C2：x2+y2—2x—14y+k=0相交、相切、相离?⑴解析：由题意知，圆x2+y2+4x-4y+7=0的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=l,所以圆心为(-2,2),半径为1,圆(x-l)2+(y-4)2=16的圆心为(1,4),半径为4,所以两圆的圆心距为近9+4=•>/13,又两圆半径之和为5,半径之差为3,所以两圆相交.故选C.⑵解：将两圆的一般方程化为标准方程，C1:(x+2)2+(y-3)2=l,C2:(x-l)2+(y-7)2=50-k.圆G的圆心为G(-2,3),半径r,=l;圆C2的圆心为C2(l,7),半径r=同7(k<50).从而ICG|二J(-2-1)2+(3-7)2=5.当1+750^=5,即k=34时,两圆外切.当|同行-1|=5,即k=14时，两圆内切.当|目一9|<|CG|<n+n,即14<k<34时,两圆相交.当l+V50^<5或1750^-11>5,即34<k<50或k<14时，两圆相离.针对训I练:(1)圆Oi:x2+y2-2x-6y+6=o和圆02:x2+y2-6x-10y+30=0的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切(2)(多选题)若圆Ci：x2+y2+6x-2y+l=0与圆C2：(xT)?+(y-4尸二田相切，则实数m的值为()A.2B.4C.8D.64解析：(1)由题意得，圆01：x2+y2-2x-6y+6=0的圆心为01(1,3),半径n=2,圆02:x2+y2-6x-10y+30=0的圆心为02(3,5),半径r2=2,所以01。21=V4+4=2V2,ri+r2=4,ri-r2=0,ri-r2<10)021<ri+r2,所以圆U与圆。2相交.故选B.(2)圆Ci:x2+y2+6x-2y+l=0的标准方程为(x+3)?+(y-1)之二9,故圆心为G(-3,1),半径为「尸3,圆C2:(x-l)2+(y-4)2=m的圆心为C2(l,4),半径r2=Vm,因为|CG|二VK不卷5,所以当圆G与圆C2外切时，即而+3二|CC|,即V^i+3=5,解得m=4.当圆G与圆C2内切时，即|而-3|二|CG|,即=5,解得m=64.故选BD.⑴判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下几个步骤：①化成圆的标准方程,写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d;③通过d,n+n,的关系来判断两圆的位置关系或求参数的取值范围，必要时可借助于图形,数形结合.⑵应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的取值范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系.⑨探究点二两圆相交的有关问题[例2](1)(2021•河北高二月考)圆Ci:x2+y2-2x-3-0与圆C2:x2+y2+4x-2y+l=0的公共弦所在直线的方程为()A.3x+y+l=0B.3x-y+l=0C.3x+y+2=0D.3x-y+2=0(2)已知在圆C:(x-a)2+(y-2a尸二20上恰有两个点到原点的距离为V5,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,9)C.(-3,-1)U(1,3)D.(-9,-1)U(1,9)解析：(1)由圆Ci:x2+y2-2x-3=0与圆C2:x2+y2+4x-2y+l=0,两个方程联立相减,可得6x-2y+4=0,所以两个圆的公共弦所在直线的方程为3x-y+2R.故选D.⑵原问题可转化为圆C与圆x2+y2=5有两个交点，这两个圆的圆心分别为(a,2a)和(0,0),半径分别为2而和V5,所以2遥-遮0)2+(2a-0)2<2V5+V5,即V5<V5|a|<3V5,解得-1或l<a<3,所以实数a的取值范围为(-3,T)U(1,3).故选C.针对训练:经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为.左力工L左力»工口/r+y2+6%—4=0,/pqg同41解析:解万程组122,rc八得两圆的父点(%，+y+6y-28=0,A(-l,3),B(-6,-2).设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.则有J(a+1)2+(a-4-3)2=J(a+6)2+(q-4+2)?、解得a=1,故圆心为41),半径为JG+1)2+(一33)2=后・故圆的方程为(x[)2+(y+＞咨，即x2+y2-x+7y~32=0.答案：x?+y2-x+7y-32=0⑴求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.(2)已知圆G:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+Dix+Eiy+Fi+人(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(入WT).⑨探究点三圆与圆的相切问题［例3］求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+V5y=0相切于点M⑶-遮)的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由题知所求圆与圆x2+y-2x=0外切，则J(口―1)2+b2=r+l.①又所求圆过点M的切线为直线x+V3y=0,故组3②a-302曳二r.③解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4遍,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4V3)2=36.变式探究1：将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上,且过点(3,-百)的圆的方程”，如何求？解：因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a,0),半径为r,则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-V3),所以1J(aT)2+()2=r+L解得『=言IQQlr=z,l(3-a)+(-V3)=r2,所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.变式探究2:将本例改为“若圆x2+y-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切，试求实数m的值.”解：圆x2+y2-2x=0的圆心为A(1,0),半径为ri=l,圆x2+y2-8x-8y+m=0的圆心为B(4,4),半径为n二反而.因为两圆相外切，所以J(4-1)2+(4-0)2=l+V32^,解得m=16.处理两圆相切问题的两个步骤：⑴定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑两圆内切与外切两种情况.⑵转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).1.(2021•天津高二期中)若圆Ci:x2+y2=l与圆C2:x2+y2-2x+2V3y+m=0外切，则实数m=(B)A.2B.3C.-2D._3解析:根据题意，圆G：x，y2=l的圆心为(0,0),半径圆C2:x2+y2-2x+2V3y+m=0,即(x-l)2+(y+V3)2=4-m,故圆心为(1,一遍)，半径r2=V4-m,若圆Ci:x2+y2=l与圆C2:x2+y2-2x+2V3y+m=0外切，则有CiC21=V1+3=2=1+V4-m,解得m=3.故选B..圆0,:x2+y2-2x=0和圆02:x2+y2-4y=0的位置关系为(B)A.外离B.相交C.外切D.内切解析：圆0i的圆心坐标为(1,0),半径门口；圆02的圆心坐标为(0,2),半径r2=2.l=r2-ri<|0i02|=V5<r1+r2=3,即两圆相交.故选B..圆G:(x-m)2+(y+2)2=9与圆G：(x+1)?+(y-m)2=4夕卜切，则实数m的值为.

解析:C1(m,-2),n=3,C2(-1,m),r2=2,由题意得ICC|二5,即(m+l)2+(m+2)2=25,解得m=2或m=-5.答案：2或-5.已知圆Ci:x2+y2+2x-6y+l=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-l1=0,求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(xi,yi),B(X2,y2),则A,B两点坐标是方程组x2+y2+2x