控制系统稳定性

第4章控制系统稳定性

对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A.M.Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。A.M.Lyapunov于1892年出版专著《运动系统稳定性的一般问题》，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。本章的主要内容为1.引言2.李亚普诺夫意义下稳定性的定义3.李亚普诺夫第二法5.线性定常离散系统的稳定性4.线性连续系统的稳定性6.有界输入-有界输出稳定7.非线性系统的稳定性分析外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t)，即：‖u(t)‖≤β1<∞，的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即

结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞），则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ)所有元hij(t,τ)均满足关系式

稳定性是系统的一个基本结构特性。系统的稳定性分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。在一定条件下，外部稳定性和内部稳定性才存在等价关系。外部稳定性结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元hij(t)均满足关系式

结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0，则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。定义：称连续时间线性时变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态X(t0)=X0引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：内部稳定性结论4：设n维连续时间线性时变自治系统系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：

结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统内部稳定的充分必要条件为

或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{i(A)}<0。内部稳定性和外部稳定性的关系结论6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。

李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念李亚普诺夫第一方法：间接法，小范围稳定性分析方法，线性化李亚普诺夫第二方法：直接法，引入广义能量函数平衡状态：状态空间中满足的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。不唯一性，零平衡状态，孤立平衡状态，对平衡状态的约定。自治系统：没有输入作用的一类动态系统受扰运动：自治系统由初始状态扰动x0引起的一类状态运动。实质上就是系统的零输入响应。适用于线性系统和非线性系统、时变系统和时不变系统、连续时间系统和离散时间系统。4.1引言

李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种方法。第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。

第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。

对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。例4-1一个弹簧－质量－阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。令（1）选取状态变量则系统的状态方程为（2）在任意时刻，系统的总能量（3）显然，当时，而当时而总能量随时间的变化率为可见，只有在时，。在其他各处均有，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。平衡状态——一般地，系统状态方程为，其初始状态为。系统的状态轨线是随时间而变化的。当且仅当（当t≥t0）则称为系统平衡。

如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使，因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。4.2李亚普诺夫意义下稳定性的定义4.2.1稳定的定义则非线性时变系统（4）（6）（5）≤定义对于任意给定的实数，都对应存在实数，使满足的任意初始状态出发的轨线有≤ε

（对所有

t≥t0）成立，则称为Lyapunov意义下是稳定的。——表示求欧几里德范数。（即：表示空间距离）Lyapunov意义下稳定渐近稳定渐近稳定4.2.2渐近稳定如果系统的平衡状态是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线，当时，收敛于，则称为渐近稳定。更精密的叙述如下：如果系统的平衡状态，对于，存在和，当时，从出发的，都有并且充分大时，就充分小。则称为Lyapunov意义下渐近稳定。当与、无关时，则称为一致渐近稳定。4.2.3大范围渐进稳定如果是整个状态空间中任一点，并且都有则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。当稳定性与的选择无关时，称一致全局渐近稳定。不稳定4.2.4不稳定对于任意的实数，存在一个实数，不论取的多么小，在满足不等式的所有初始状态中，至少存在一个初始状态，由此出发的轨线，满足称为Lyapunov意义下不稳定不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定

Q称为二次型的矩阵设x=[x1,x2,

···,xn]T，则实二次型可记为：f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

定义：

(实)二次型是x∈Rn的标量函数f(x1,x2,

···,xn)=xTQx，式中，Q为一实对称nn矩阵x

0,若xTQx>0,则称二次型f为正定的，Q称为正定矩阵，记为Q>0。x

0,若xTQx≥0,，则称二次型f为半正定的，Q称为半正定矩阵，记为Q≥0。若xTQx<0(≤0),称f为负定的(半负定的)，Q称为负定(半负定)矩阵，记为Q<0(≤0)。若f既不是半正定又不是半负定，则称为不定的。预备知识：二次型函数的定号性判别准则

——Sylvester（希尔维斯特）判据：i(i=1,2,…,n)为其各阶主子行列式：矩阵Q定号性的充要条件是：(1)若i>0(i=1,2,…,n)，则Q为正定的。(2)若i，则Q为负定的。>0i为偶数<0i为奇数(3)若i，，则Q为半正定的。0i=(1,2,…,n-1)=0i=n(4)若i，则Q为半负定的。0i为偶数0i为奇数=0i=nf(x1,x2,

···,xn)=xTQx正定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx负定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx半正定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx半负定f(x1,x2,

···,xn)=xTQx4.3李亚普诺夫第二法定义如果标量函数，并且当时，；仅当时，；则称为正定的。除了以外，还有状态使，称为半正定的。≥0定义如果标量函数，并且当时，；仅当时，；则称为负定的。除了以外，还有状态使，称为半负定的。≤0（7）定理4-1

设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为负定。则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。例4-2

系统的状态方程如下，判别系统稳定性。解而将状态方程代入上式，化简后得选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足可见，是负定的，即满足因此，是一致渐进稳定的。当，有，故系统是一致大范围渐进稳定的。例；设系统状态方程为试确定该系统平衡状态的稳定性。

为一负定的标量函数，且‖x‖→∞，有V(x)→∞，系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。解：由平衡状态方程得解得唯一的平衡状态为x1=0,x2=0,

即xe=0,

为坐标原点。选取一正定的标量函数

定理4-2

设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；3）除了平衡状态外，还有的点，但是不会在整条状态轨线上有则为一致渐近稳定的。如果，，则是大范围一致渐近稳定的。（注：本定理是将定理4-1的条件稍微放宽了一点）

对为数不少的系统，4-1中的条件“李导为负定”是构造Lyapunov函数V(x)的主要困难，可适当放宽该条件。例4-3

系统的状态方程为其中，a

为大于零的实数。判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而将状态方程代入上式，化简后得可见，当和任意的时，有，而和任意时，。又因为，只要变化就不为零，因此在整条状态轨线上不会有。因此，是一致渐进稳定的。当，有，故系统是一致大范围渐进稳定的。定理4-3

设系统状态方程为在平衡状态的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为半负定；则为一致稳定的。如果，，则是大范围一致稳定的。（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）因为≤0则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此是一致稳定的。例4-4

系统的状态方程为其中，k

为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而由定理4-3可知，为Lyapunov意义下一致稳定。例：设系统的状态方程为，试确定系统平衡状态的稳定性。解：显然，原点为系统的平衡状态。选可见系统在xe=0处是不稳定的。例：设系统的状态方程为，试确定系统平衡状态的稳定性。解：显然，原点为系统的平衡状态。选由于当x1为任意值，x2=0时而所以x2=0是暂时的，不会恒等于零，故系统是不稳定的。例：设系统的状态方程为，试确定系统平衡状态的稳定性。解：显然，原点为系统的平衡状态。选系统在xe=0处是李亚普诺夫意义下的稳定。系统在xe=0处是渐近稳定的。系统在xe=0处是不稳定的。定理4-4

设系统状态方程为

在的某邻域内，标量函数具有连续一阶偏导数，并且满足：1）为正定；2）为正定或半正定；则为不稳定的。例4-5

系统的状态方程为分析系统平衡状态的稳定性。解系统的平衡状态为选取Lyapunov函数：显然它是正定的，即满足而由定理4-4可知，是不稳定的。

应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：inconclusive—没有得出结论）。构造李亚普诺夫函数的规则化方法变量梯度法设连续时间非线性时不变系统xe=0为系统孤立平衡状态，(1)选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度▽V(x)

李亚普诺夫第二法的核心是构造李亚普诺夫函数。构造原则：先按定理条件构造候选李亚普诺夫函数的导数，在此基础上定出李亚普诺夫函数，进一步再判断候选李亚普诺夫函数的正定性。若判断成立则构造成功，否则构造失败。其中aij=常数或状态变量的函数。(2)按稳定性结论给出的条件引入对梯度▽V(x)的限制矢量的积分矢量的积分与路径无关则旋度rot▽V(x)=0设梯度▽V(x)对应于有势场(nn-n)/2个方程(3)确定▽V(x)的待定系数aij（i，j=1，2，…，n）(4)定出对应梯度▽V(x)的候选李亚普诺夫函数V(x)(5)判断V(x)计算结果的正定性例：试用变量梯度法确定下列非线性系统的李亚普诺夫函数，并分析平衡状态的稳定性。(1)选取候选李亚普诺夫函数V(x)的梯度▽V(x)

(2)按稳定性结论给出的条件引入对梯度▽V(x)的限制旋度rot▽V(x)=0(3)确定▽V(x)的待定系数aij（i，j=1，2，…，n）试选：a11=a22

=1，a12=a21=0，则(4)定出对应梯度▽V(x)的候选李亚普诺夫函数V(x)是正定的，因此，在x1x2<1的范围内，平衡状态是渐近稳定的。是否为大范围渐近稳定的？李亚普诺夫函数的选择是非唯一的。再选：a11=1，a22

=3，a12=x22，a21=3x22

，则是正定的，因此，在1/3<x1x2<1的范围内，平衡状态是渐近稳定的。那一种选择好？平衡状态是渐近稳定的范围越大越好！克拉索夫斯基方法设连续时间非线性时不变系统Xe=0为系统孤立平衡状态，系统雅可比矩阵克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S(x)=BF(x)+[BF(x)]T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：V(x)=f(x)TBf(x)

如果，则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。特点：相对于状态导数构造候选李亚普诺夫函数V(x)通常B=I注意：克拉索夫斯基方法是充分条件例：给定一个连续时间非线性时不变系统

确定平衡状态x=0的稳定性

解：

取B=I为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。平衡状态x=0是大范围渐近稳定的

显然，上述形式的V(x)用经验法很难找到，这从一方面反映了规则化方法的效果。例：已知线性时不变系统，判断平衡状态的稳定性。

解显然A非奇异，xe=0是唯一平衡状态。结论对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定。

其顺序主子式为xe=0是大范围渐进稳定。A+AT为负定4.4线性连续系统的稳定性对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为由第2章介绍的方法求出其解为由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定；如果发散，则都不稳定。首先介绍矩阵正定性的定义：对于方阵当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定的。即：对线性定常系统，可以用Lyapunov第二法。

如果方阵Q是正定的，则－Q

就是负定的。负定的矩阵主子式负正相间。Lyapunov函数为状态变量的二次型函数，即如果P为维正定的对称常数矩阵，则为正定的。令，其中Q为正定实数矩阵，且满足如果给定Q阵，能够推出P

为正定的，则系统在为稳定的。并且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。（注：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具有负实部，既可以判别其稳定性。）例4-6

线性定常系统的状态方程为判别系统的稳定性。解系统的平衡状态为为简单起见，可以令Q

阵为单位矩阵I。解得有可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。例:某系统解:

选Q=I,由ATP+PA=-Q

，pij=pji.注：由于P的对称性，只有个未知数。，其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。用Sylvester判据：P>0

系统是渐近稳定的.

原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。线性时变系统的稳定性判据自阅

4.5线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为（8）系统的平衡状态为假设G

为维非奇异常数阵，是唯一的平衡状态。选取Lyapunov函数（9）式中，P

为正定的对称常数，因此是正定的。的差分为若要在处渐近稳定，要求为负定的。所以其中Q为正定。给定一个正定对称常数阵Q，求P

阵，并验证其正定性。（10）例4-7

线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。解系统的平衡状态为为简单起见，可以令Q

阵为单位矩阵I。解得P的各阶主子式均大于零，即可见，P为正定的矩阵，故为大范围一致渐近稳定的。4.6有界输入-有界输出稳定4.6.1有界输入-有界输出稳定BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定义：对于初始松弛系统，任何有界输入，其输出也是有界的，称为BIBO系统。如果输入有界，是指≤如果输入有界，是指≤≤如果≤于是≤可以取定理4-5

由方程描述的线性定常系统。为初始松弛系统。其输出向量的解为（11）BIBO稳定的充分必要条件是存在一个常数K3，有≤或者对于的每一元素，都有≤其中，a

为一个非负的实数，而系统的脉冲响应函数为例4-8线性定常系统方程为分析系统是否BIBO稳定。解可见，只有当时，才有有限值存在，系统才是BIBO稳定的。4.6.2BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系对于线性定常系统（12）平衡状态的渐近稳定性由A的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。

的所有极点都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是的极点。可能存在零极点对消。所以，处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是处的渐近稳定。那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态渐近稳定呢？结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在处是渐近稳定的。4.7非线性系统的稳定性分析4.7.1