五邑大学,近代物理,物理数学,microscopicstate

宏观系统的微观描写宏观系统的微观描写2/5/2023115统计方法分类宏观系统由大量微观粒子组成。统计物理学的基本观念是：系统的宏观特性是微观粒子行为的集体表现。宏观量是相应微观量的统计平均。19世纪已经在经典力学基础上建立了经典统计法。由于微观粒子遵循量子规律，严格的统计法必须在量子力学的基础上建立，叫做量子统计法。两类统计法的基本统计原理相同，经典统计法是量子统计法在一定条件下的近似结果。在量子力学中，系统的量子态用波函数描写，它满足定态薛定谔方程：方程中的一个下标代表一组完备的量子数，也叫守恒量完全集，而能量本征值一般取分立的数值。2/5/2023215广义坐标与广义动量分析力学用广义坐标q

和广义动量p

描写粒子的运动。直角坐标系中的自由粒子：球坐标系中的自由粒子：一般地考察有r

个自由度的系统。任意时刻的状态由广义坐标与广义动量的值确定：由r

个广义坐标构成一个r

维位形空间，而r

个广义坐标和广义动量构成2r

维相空间。从经典的观点看，相空间中的一个点代表粒子的一种可能状态，一条相轨代表一种可能的运动方式。如果系统由多个没有相互作用的粒子组成，则每个粒子都有三个自由度，分别对应三个广义坐标和广义动量。如果组成系统的粒子之间有相互作用，则要加上约束条件，结果独立的广义坐标与广义动量的数目要减少。2/5/2023315相格与量子态原则上说，量子描述才是准确的，但在统计物理学所处理的问题中，普朗克常数可以忽略。这时，物理客体的粒子性占主要地位，粒子近似地沿确定的轨道运动，可以用半经典方法加以描写。因此，在统计物理学中，粒子的运动近似地用广义坐标和广义动量描写，但要加上量子力学的限制：在一维的情况下，这表示在二维相空间中一个面积为h

的小面元内不可能准确地确定粒子的状态。把这结果推广到有r

个自由度的系统，与面元对应的就是一个2r

维相空间中的小体元，其相体积为。显然，这样一个小体元内各点之间的差异可以忽略。把整个相空间看做由这样的小体元组成，把每个小体元称为一个相格，每个相格代表一个量子态。2/5/2023415量子态与玻尔兹曼系统在量子力学中，一个粒子的量子态由一组量子数描写。两组量子数只要有一对不一样，这两组数就不相同。由N

个全同粒子组成的系统就要由N

组数描写。这N

组数的每一种排列代表系统的一种可能的量子态。考虑由全同粒子组成的近独立粒子系统。由于相互作用极其微弱，每个粒子孤立存在时量子态的概率分布不会受到别的粒子的干扰；由于存在微弱的相互作用，粒子的状态可以互相传递，最终使系统达到平衡态。从经典的角度看，每一个粒子都是可分辨的，要确定系统的微观状态，必须确定每一个粒子的量子态。由于可分辨性，每个单粒子量子态可容纳任意个粒子。具有这种性质的全同粒子系叫做玻尔兹曼系统。2/5/2023515玻色系统与费米系统从量子的角度看，全同粒子是不可分辨的，要确定系统的微观状态，只能确定每一个单粒子态上的粒子数。由于交换对称性，系统的波函数要么对称要么反对称。如果波函数关于交换对称，其成员粒子叫做玻色子，由玻色子组成的全同粒子系叫做玻色系统。玻色系统不受泡利不相容原理的限制，处在同一单粒子态上的粒子数可以取任意值。如果波函数关于交换反对称，其成员粒子叫做费米子，由费米子组成的全同粒子系叫做费米系统。费米系统遵从泡利不相容原理，每一个单粒子态(由一组量子数描写)最多只能容纳一个费米子。玻色系统与费米系统的这个差别必定造成这两种系统所遵从的统计法有巨大差别。2/5/2023615量子态数的半经典描写考虑被限制在边长为L的立方体内的全同粒子系。分别考察对系统的半经典描写与量子描写。在半经典描写中，三维自由粒子的能量表达式：如果系统的总能量等于E，则每个粒子的能量取值将有可能在0~E

之间变化，在6维相空间中，表征粒子运动状态的点所能到达的范围的相体积：对能量的限制相当于三维动量空间中的球体相格的体积在代表点能够达到的范围内，相格的总数就是W。这就是能量等于E

的系统能够容纳的量子态的总数。2/5/2023715量子态数的量子描写在量子描写中，被限制在立方体内的粒子的能量：如果系统的总能量等于E，每个粒子的能量取值仍然在0~E间变化。对能量的限制相当于抽象的三维量子数空间中的球体的第一卦限：它的体积等于其中包含的相格的数目，正是总能量为E时可能的量子态总数：结果与用半经典描写得到的一样。2/5/2023815能态密度自由粒子的自由度是3，对应的相空间是6维的。根据相格的定义，在空间体积V内，动量处于范围内，粒子的微观态数在球坐标系下，动量体积元对角度积分，就得到在空间体积V内，动量的大小处于范围内，粒子的微观态数由此得到在空间体积V内，能量处于范围内，粒子的微观态数单位能量间隔内的微观态数叫做能态密度或态密度如果把自旋考虑进来，则要乘以自旋态数，对电子是22/5/2023915宏观态与微观态当系统处于平衡态时，各种宏观量有确定的值。系统的宏观态由一组完备的宏观量(态参量)描写。每一组态参量构成一个抽象的状态空间。状态空间中的一个点对应于系统的一个宏观态。尽管系统的宏观态确定，粒子的微观运动状态仍然有各种可能性，并且在不断地变化。系统的微观态就是由一组完备的量子数决定的量子态。考虑由N

个全同粒子组成的系统，它的总能量是E，这就是系统的宏观状态。在这个宏观态下，在各个单粒子能级上粒子数的分配可以有大量不同的方式：各种分配方式必须满足2/5/20231015等概率假设系统的宏观态确定后，各种微观态以一定的概率出现。这反映出个别粒子的行为是受偶然性支配的。这意味着不可能也没有必要追踪微观态的变化。系统有确定的宏观量则反映出整体行为受必然性支配。这意味着宏观行为必定是微观行为的集体表现。于是，由大量粒子组成的系统遵循统计规律。在一定的宏观条件下，在某个时刻，各种微观态以一定的概率出现。确定这个概率是统计物理学的首要任务。没有任何依据显示，某个微观态比其他微观态更优越。1871年，玻尔兹曼提出，对于处在平衡态的系统，各个可能的微观态出现的概率相等。等概率假设如果平衡态下系统的微观态数为W，则其中任意一个微观态出现的概率就是1/W。2/5/20231115粒子数按能级的分布考虑由N

个全同近独立粒子组成的系统，它的总能量是E，这正是系统的宏观状态。单粒子能级：这个能级的简并度：该能级上的粒子数：粒子数按能级的一个分布：对于一个确定的系统，所有可能实现的分布必须满足：一个简单例子：满足这两个约束条件的可能实现的分布是大量的，每一个可能的分布对应有多个可能的微观态，每一个微观态只对应于一个可能的分布。2/5/20231215玻尔兹曼系统的微观态在玻尔兹曼系统中，组成系统的粒子是可分辨的，Ni个粒子的每一个都可以占据ei

能级上wi个量子态中的任何一个，有wi种可能的占据方式。Ni个粒子占据ei

能级上wi个态的占据数为考虑一个确定的分布个可分辨的粒子分别占据上各个量子态的可能的占据数为另一方面，由于粒子是可分辨的，因此，一个分布共有种组合方式。与一个确定的分布对应的微观态数假定能量为ei

的粒子在相空间中占据的相体积为Dwi

，则对应的半经典表达式：2/5/20231315玻色系统的微观态对玻色系统，粒子占据各量子态的方式可以这样考虑：把态看做盒子，粒子看做小球，盒子右边的小球属于该盒子。暂时把盒子与小球看做是相同的物体。这相当于盒子与球一起做排列，但是第一个位置必须放置一个态。共有排列数等于盒子相互交换位置或小球相互交换位置不影响结果。只有组合数才有测量意义：这就是Ni个粒子占据wi个量子态的可能的占据数。与一个确定的分布对应的微观态数2/5/20231415费米系统的微观态如果系