青海大学-化工应用数学-第五章-偏微分方程和特殊函数1

第五章偏微分方程和特殊函数.5.1引言5．2偏微分方程的分类5．3典型方程的建立5．4定解条件和定解问题5．5线性迭加原理5．6分离变量法5．7非齐次边界条件的处理5.1引言5.1.1偏微分方程的定义5.1.1.1方程定义：描述物理量在时、空域中变化规律的方程，若含有未知函数的偏导数，则称之为偏微分方程。5.1.1.2方程的规定：（1）方程中出现的偏导数的最高阶数称为方程的阶数。（2）若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项称方程为线性的，反之统称成为非线性的。在非线性方程中若仅对未知函数的所有最高阶偏导是线性的——拟线性的。（3）不含未知函数及其偏导数的项称之为自由项。自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。例如：5.1.2偏微分方程的定解问题5.1.2.1n阶线性常微分方程对于n阶线性常微分方程其中线性无关；

——任意常数当存在n个边界条件可以来确定系数：→特解的求解过程。5.1.2.2偏微分方程在偏微分方程中特解是具有特定形式的任意函数。如方程：的通解是,特解：

而满足二维拉普拉斯方程满足一维热传导方程

由此可以得出两点结论：①偏微分方程的通解包含有任意函数，因此解偏微分方程，一般都不是先解通解，后由定解条件确定特解，而是直接求特解。②一个特定形式的偏微分方程可以描述许多物理现象的共性规律，可以有很多不同形式的特解。所以可称为“泛定方程”。

确定地描述某个系统的运动过程，除了反映运动一般规律的偏微分方程（泛定方程）外，还必须根据实际问题的模型提出定解条件。泛定方程加定解条件构成一个确定的物理过程的“定解问题”，由此求得特定的解。定解条件包括初始条件（当方程含有时间变量时）和边界条件（关于空间变量的约束条件）。5.1.2.3偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分离变量法包括贝塞尔函数、勒让德多项式（球柱坐标）；②拉普拉斯变换法等。（2）数值解：尤拉法、龙格－库塔法等。5.2二阶偏微分方程分类.限两个自变量的二阶线性方程，未知函数u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(7-4)线性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0

（7-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函数当A，B，C，D，E，G是常数时，式（7－5）是二阶常系数线性偏微分方程，f＝f（x，y）为已知函数是自由项。由参数A，B，C判断二阶线性方程的分类设M=M（x，y）为自变量域内的某一点，若在该点处有：（１）B2－AC＞0，则方程在该点处为双曲线型的，如：

uxx－uyy＝0

（7－6）（２）B2－AC＝0，则方程在该点处为抛物线型，如：

ut－uxx＝0

（7－7）（３）B2－AC＜0，则方程在该点处为椭圆型的，如：

uxx＋uyy＝0

（7－8）方程的类型在域内不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限双曲线型②xy＞0，M在一，三象限椭圆型③xy＝0(x或y＝0)，M在两数轴抛物线型三类方程：（最典型的物理含义）双曲线型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波动方程抛物线型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）热传导方程椭圆型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程5.3典型方程的建立.

例题[例]半无限介质中线性热传导方程（本无界杆的热传导方程），端点温度恒定为T1，初始时刻温度均为T0，求温度分布解：定解问题首先确定对哪个变量做拉氏变换，就本例题而言，对x与t都可进行拉氏变换，但由于缺少u

'(0,t)，故选t作L变设即对方程（1）两端作拉氏变换，有（1）变换为对（3）的边界条件做拉氏变换（4）是关于x的二阶线性常微分方程方程的通解为因为，B＝0；因为，所以代入（6）得做逆变换误差函数

余误差函数用拉氏变换解偏微分方程的要点是：（1）首先确定对哪个自变量作拉氏变换。要求该自变量变化范围（0，∞），而且根据拉氏变换的微分性质该变量必需具备上式有关的初值条件。如若有两个自变量都满足要求，那应取决于对哪个自变量求解过程最简单为准。（2）除对方程作拉氏变换外，还要对凡在方程变化中没有用到的定解条件都要作拉氏变换，使其作为变换后新方程的定解条件。（3）最后得到定解问题的解的关键是对新方程之解作拉氏逆变换。当象函数较复杂时，运用查表和拉氏变换一章介绍的几种求逆变换方法也不得其解时，就只能运用拉氏变换的反演公式，通常用复变函数的围道积分法求解。5．4定解条件和定解问题.

上节建立的数学物理方程是具有某类共性的物理现象的泛定方程。在引言中我们也看到了，同一个泛定方程可以有多个不同函数的解。因此对实际的物理现象特性的讨论还需对其特定的“环境”和起始状态加以描述和限定——定解条件，结合泛定方程，便可确定定解问题的特解。5.4.1初始条件（初值条件）对于随着时间而发生变化的问题，必须考虑研究对象的初始时刻的状态，即初始条件。凡泛定方程中只含t的一阶偏导数的只需要一个初始条件，u的初始分布。（5-37）泛定方程中含有t的二阶偏导数的则需要两个初始条件，初始分布和初始速度。

(5-38)初始条件给出了整个系统的状态（t=0）。稳态过程因与t无关，则不存在初始条件5.4.2边界条件（1）第一边界条件——已知函数直接给出在边界上的值（s——Γ上的动点）（7-39）如弦振动，长为的弦两端固定，则边界条件为，（7-40）又高h，半径r0的圆柱体的稳态导热问题

(7-41)第一边界条件称为Dirichlet（狄利克利）条件，问题称为Dirichlet问题。（2）第二类边界条件——已知导数一维热传导（杆的导热），设杆的一端x＝a绝热，则由外到内经过杆端的热量流速为零因K，S是常数，故（7-42）对于二维、三维应以边界的外法向导数表述

(7-43)第二类边界条件称为Noumann（牛曼）条件，问题称为Noumann问题。（3）第三类边界条件——混合边界条件给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系。如一维导热，杆端x=a处自由冷却，环境介质温度为u0

，则——杆端散发出的热流效率与端点温度与介质温度之差成正比。可改写（7-44）对于长为的杆两端自由冷却（7-45）第三类边界条件的一般形式（7-46）5.5线性迭加原理.

在讲如何用分离变量法求解偏微分方程的定解问题前，先介绍一下线性偏微分方程解的迭加原理。

所谓线性叠加就是几种不同因素综合作用于系统，产生的效果等于各因素独立作用产生的效果的总和。迭加原理：设函数是齐次线性偏微分方程的特解，若级数可逐项求偏微分，则该级数也是齐次线性偏微分方程的解。5．6分离变量法.对于多个自变量的偏微分方程定解问题的求解，在可能的情况下，我们总设法使自变量的个数减少。分离变量法就是基于这种想法产生的。分离变量法也叫傅立叶方法，它利用变量分离形式的解法，将求解偏微分方程的定解问题化为求解常微分方程的固有值问题，再利用定解条件及有关数学方法，求得定解问题的解。分离变量法对定解条件尤其是边界条件的要求比较苛刻，一般只涉及较为规则的边界问题。我们主要是通过各种例题来介绍分离变量法的具体应用。[例]有界弦的自由振动解：弦长为两端张紧固定且无外力作用的弦振动问题，可用下述定解问题表述

这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。（1）分离变量设其解函数可以表示为两个单自变量函数的乘积。令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函数，T(t)——t的函数代入（7-52）得分离变量改写为不妨令其等于常数λ得到两个常微分方程（7-56）（7-57）由边界条件（7-53）

（7-58）（2）求本征值（固有值）λ(i)设λ>0，则（5-56）的通解为代入条件（5-58）

解得A=-B=0，即X(x)≡0，不合题意舍去。（u≡0）(ii)设λ＝0得，

由条件（5-58）得A=B=0，X(x)≡0，不合题意舍去。（iii）设λ<0，不妨令λ=-β2

，式（5－56）的通解为

由条件（7-58）

因为β≠0

，所以

λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函数，常写成不带系数的形式：

（3）求（5-57）的通解Tn(t)及定解问题的一组特解un(x,t)对，有通解为（5-61）(5-60)×(5-61)得一组特解（5-62）（4）由傅立叶级数确定系数Cn,Dn，求由解的迭加原理（5-63）代入初始条件（5-55）、（5-56）

式（5－64）和式（5－65）分别是φ(x),ψ(x)

的傅立叶正弦级数的展开式，而φ(x),ψ(x)是由初始条件给出的定义在[0，l]上的连续函数（或只有有限个第一类间断点，且至多有有限个极值点），所以只要选取即代入（5-63）即得定解问题的完整特解。[例]

这是齐次方程，齐次边界条件的定解问题。解:u(x,t)是其一个解函数假设函数可以表示为各个自变量单元函数的乘积，代入方程后可分离为各自变量的常微分方程。设u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函数，T(t)-t的函数代入原方程中：将边界条件代入：运用叠加原理运用正交函数：两边同乘以，并从积分。(为需要求的待定系数)运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从运用正交函数：两边同乘以，并从积分。运用正交函数：两边同乘以，并从∴∴u(x•t)=总结：①通过假设，将变量分离②确定待定系数（通过已知条件）③利用叠加原理得到解函数

得到F(详见P223页)【习题】用分离变量法解下列振动问题初始条件：（2）两端固定，解：（2）的定解问题为：1°分离变量令u=X•T，代入方程（1）得（λ为常量）（4）（5）由边界条件（2）得2°求固有值λ①当λ>0时，（6）的通解为代入边界条件（7）得不合题意，舍去；②当λ=0时，（6）的通解为代入边界条件（7）得不合题意，舍去；③当λ<0时，令λ=β2

，方程（6）的通解为由边界条件（7）得3°求将代入方程（5）得通解为4°确定系数Cn,Dn

，求u(x,t)由解的叠加原理由初始条件（3）【例（补充）】有限杆的热传导长为l的均匀细杆放置x轴上，其侧面及两端面绝热，杆内无热源且杆内初始温度分布为φ(x)。定解问题：解：（1）分离变量令代入方程式（1）得（2）求λ（i）设λ>0，通解为代入边界条件得：

即X(x)≡0，不合题意。（ii）λ=0，通解为代入边界条件得所以（iii）设λ<0,取，通解

代入边界条件得：所以固有值固有函数（3）求（i）当λ0＝0时

化为得解

（ii）当（4）确定cn及u(x,t)，由叠加原理代入初始条件代入u(x,t)的表达式即得定解问题的解。5.7非齐次边界条件的处理.

前面分离变量涉及的定解条件是齐次边界条件，对非齐次边界条件则要进行齐次化的处理。以一维热传导定解问题为例介绍非齐次边界条件的处理方法——边界条件齐次化。一维热传导定解问题：作代换：（7-98）选取适当的W(x,t)，使V(x,t)满足齐次边界条件（7-99）则W(x,t)的形式力求简单，达到V(x,t)边界条件齐次化的目的即可，不妨设W(x,t)为x的