高量7-01b 二次量子化方法

２００４年１２月第七章二次量子化方法2/5/20231引言●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理→发展了二次量子化方法☻

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引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充的粒子数描述状态；交换对称性自动满足

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基本算符：粒子的产生算符和消灭算符

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任意态矢和力学量均可用它们表示

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有系统的法则计算力学量的矩阵元2/5/20232§7.1

中心场近似CentralFieldApproximation†‡●☺☻◙◘♠♣♥♦♪♫2/5/20233一、多粒子体系的哈密顿量●考察序数为

Z的原子中

Z

个电子构成的体系在非相对论近似下，哈密顿量为2/5/20234一、多粒子体系的哈密顿量●对哈密顿量的分析轻原子，前者重要，后者可视作微扰重原子反之；一般原子，二者都较重要→为单粒子算符之和，可分离变量求解2/5/20235二、中心场近似●用单粒子位代替库仑排斥力因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分→可取一球对称的单粒子位函数之和代替→中心场近似2/5/20236二、中心场近似●中心场近似的实质将Z个具有相互作用的电子看作相互无作用地在一个共同的中心场中运动——零级近似零级近似哈密顿量分离变量求解2/5/20237二、中心场近似●原子核物理中的独立粒子模型2/5/20238§7.2

N个全同粒子体系的波函数——零级近似波函数2/5/20239一、Slater行列式●全同粒子具有不可分辨性→全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性†

费米子—交换反对称→泡利不相容原理†

玻色子—交换对称●中心场近似下N个费米子体系的状态波函数Slater行列式；求和形式N个对象的排列算符；N=3的例子2/5/202310二、全同玻色子体系的波函数●N个玻色子占有N个状态一般表达式N=3的例子●N个玻色子占有m个状态一般表达式N=3的例子2/5/202311三、一般结论●对称性确保满足全同性——不可分辨性费米子体系波函数的反对称性确保满足泡利不相容原理●在中心场近似下，只需知道1、哪几个单粒子态被占有2、每个单粒子态上有几个粒子即可知道全同粒子体系的状态2/5/202312§7.3

粒子数表象RepresentationofParticleNumber

2/5/202313一、粒子数表象的由来●上述结论启发人们采用粒子数表象引入粒子的产生和消灭算符以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算这种方法就叫做二次量子化方法2/5/202314二、粒子的真空态；产生消灭算符●产生算符的定义●真空态定义；归一化条件单个粒子的状态N个粒子的状态2/5/202315二、粒子的真空态；产生消灭算符●消灭算符的定义作用于真空态的效果产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米2/5/202316§7.4

粒子数表象中费米子体系的波函数及力学量的表示2/5/202317一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系●产生算符表示状态应与Slater行列式等价→产生算符的对易关系→消灭算符的对易关系2/5/202318一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系●态矢量的正交归一化→产生算符与消灭算符之间的对易关系态矢量内积；三个可能值N=1的情况N=2的情况2/5/202319一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示态矢量表示厄米共轭反对易关系2/5/202320一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系●利用对易关系计算†

一般地，有2/5/202321一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系●同理可得2/5/202322一、波函数的表示；产生消灭算符的对易关系总粒子数算符●进而得到2/5/202323二、力学量的表示●单粒子算符例：单粒子动能算符N个粒子体系的动能算符在粒子数表象中的表达式其中矩阵元的含义2/5/202324二、力学量的表示●双粒子算符例：两个粒子相互作用位能算符†

N个粒子体系总的相互作用位能算符†

在粒子数表象中的表达式其中矩阵元的含义2/5/202325二、力学量的表示●力学量表达式的由来要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到

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单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元有一个态不相同的情况†双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元有一个态不相同的情况2/5/202326二、力学量的表示●力学量表达式的由来在粒子数表象下用上述力学量计算的结果与此完全一致2/5/202327§7.5

维克定理WickTheorem2/5/202328一、正规积与收缩●正规积一个以上产生消灭算符乘积的正规积为全部产生算符排在全部消灭算符的左边

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举例；†

正负号问题

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正规积作用于真空态2/5/202329一、正规积与收缩●收缩两算符乘积的收缩＝乘积－正规积†总共只有四种收缩→收缩是个数2/5/202330二、Wick定理●n个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积在真空态上的平均值当n+m=奇数，为零当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和†例：2/5/202331三、Wick定理的应用●利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元†计算单粒子（单体）算符的矩阵元列表计算收缩→2/5/202332三、Wick定理的应用†计算单体算符的矩阵元（续）代入单粒子位能算符矩阵元表达式→2/5/202333三、Wick定理的应用†计算双粒子（二体）算符的矩阵元代入双粒子位能算符矩阵元表达式→2/5/202334四、哈密顿量及其零极近似●哈密顿量在粒子数表象中的表达式●

N个全同费米子体系零级哈密顿量的解‡用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒子数无关，粒子数只表现在态矢量上2/5/202335五、空穴算符●为计算方便，定义基态为真空态†

称|0

>为真正真空态●此时，消灭算符作用于基态可能不为零2/5/202336五、空穴算符●定义空穴（洞眼）的产生和消灭算符●两类产生和消灭算符2/5/202337五、空穴算符●对易关系†

粒子算符与空穴算符全部反对易†

粒子算符之间†

空穴算符之间2/5/202338五、空穴算符●正规积（混合型）●收缩2/5/202339五、空穴算符●Wick定理†例子2/5/202340五、空穴算符●单体算符和二体算符在真空态下的平均值†单体算符的平均值†二体算符的平均值2/5/202341五、空穴算符●激发态†一粒子激发†二粒子激发‡先消灭后产生→先产生空穴，后产生粒子2/5/202342§7.6

粒子数表象中玻色子体系的波函数Boson’sSystem

2/5/202343一、N个玻色子体系的态矢量●N个玻色子处于m个不同单粒子态†态矢量†归一化因子†

坐标表象中的波函数2/5/202344一、N个玻色子体系的态矢量●产生消灭算符对易关系与归一化因子的确定†交换两粒子全部坐标，态矢量对称

→产生算符对易关系†

消灭算符对易关系2/5/202345一、N个玻色子体系的态矢量†态矢量应正交归一

→产生算符与消灭算符之间的对易关系

→及归一化因子2/5/202346一、N个玻色子体系的态矢量†N=1的例子†N=2，且两粒子所处单粒子态相同†N=3，且三个粒子所处单粒子态相同2/5/202347一、N个玻色子体系的态矢量†N=5，按3-2分布分别处于两个单粒子态†→一般来说†对易关系2/5/202348一、N个玻色子体系的态矢量●也可用粒子数来表示状态†更一般地2/5/202349一、N个玻色子体系的态矢量●产生算符作用于态矢量的结果2/5/202350一、N个玻色子体系的态矢量●消灭算符作用于态矢量的结果2/5/202351一、N个玻色子体系的态矢量●产生消灭算符乘积作用于态矢量的结果2/5/202352一、N个玻色子体系的态矢量●结果汇总†态矢量†算符对易关系†算符作用于态矢量2/5/202353一、N个玻色子体系的态矢量●只考虑一种单粒子的结果†态矢量†算符对易关系†算符作用于态矢量2/5/202354一、N个玻色子体系的态矢量●要点†单体和二体算符的表示与