模块三立体的投影

模块三立体的投影

·机器零件一般都是由一些基本几何体、切割体（基本几何体与平面截交）和相贯体（两个立体相交）按一定方式组合而形成的，如图3-1所示。任务一基本几何体任务二切割体任务三相贯体任务一基本几何体任务引出·要想绘制和阅读零件图应首先从构成零件的最基本元素——基本几何体开始。任务描述·最基本的简单立体称之为基本几何体。·基本几何体可分为平面立体和曲面立体两大类，表面都是平面的立体，称为平面立体；表面由曲面或曲面与平面所围成的立体，称为曲面立体。相关知识

一、平面立体的投影·平面立体是各表面都是由平面图形构成的实体，面与面的交线称为棱线，棱线与棱线的交点称为顶点。（一）棱柱

1．棱柱的投影·以求正六棱柱的投影为例，其在投影系中的位置如图3-2（a）所示，其顶面和底面为平行于水平投影面的正六边形，6个棱面均垂直于底面。

（1）水平投影。（2）正面投影。（3）侧面投影。

·机件中各种形状的棱柱较多，图3-3所示都属于棱柱。

2．棱柱表面上取点·在棱柱（平面立体）表面上取点，其原理和方法与前面介绍的在平面上取点相同。·【例3-1】如图3-4（a）所示，已知正六棱柱表面上点M的正面投影和N点的水平投影，求其另两面投影，并判别可见性。解：由于正棱柱的各个表面都相对于投影面处于特殊位置，所以棱柱表面上点的投影均可利用平面投影的积聚性来作图。·如图3-4（b）所示，已知M点的正面投影，先作出其水平投影，再作侧面投影。（二）棱锥

1．棱锥的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）侧面投影。

2．棱锥表面上取点·【例3-2】如图3-6（a）所示，已知三棱锥表面上M、N两点的正面投影，求其水平投影和侧面投影，并判别可见性。解：首先确定给定点所在表面。·由图3-6（a）可知，由于m′不可见，所以可以确定点M在棱面SBC上，棱面SBC是侧垂面，其侧面投影积聚为直线s″c″（b″），因此可先求出点M的侧面投影m″,再根据m′和m″即可求出m。·点N处在一般位置的棱面SAC上，需要通过在平面上作辅助线的方法，求出N点的另两面投影。·具体作图如图3-6（b）所示。·由于棱面SBC的水平投影可见，侧面投影有积聚性，所以m和m″均可见。·而棱面SAC的三面投影都可见，因此点N的三面投影也均可见。3．棱锥台的投影

二、曲面立体的投影（一）圆柱

1．圆柱的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）侧面投影。

2．圆柱表面上取点·【例3-3】如图3-9（a）所示，已知圆柱表面上A、B、C、D点的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。解：由图3-9（a）可知，A点位于圆柱面上，过给定的a′作垂直于X轴的投影连线，该投影连线与圆柱面的水平投影（圆）有两个交点，因a′不可见，知A点在圆柱的后半部分上，故可确定a是A点的水平投影。·作45°辅助线，根据宽相等，高平齐的投影原理，可求出a″，由a′知A点在圆柱面左半部分上，所以a″可见。·具体作图顺序如图3-9（b）所示。·根据给定的b′点的位置进行判断，B点位于圆柱面的右、前半部分上，故b位于水平投影圆的右、前半部分圆周上，B点位于右半圆柱面上，故b″不可见。·具体作图如图3-9（b）所示。·根据给定的c″点的位置进行判断，C点位于圆柱面的侧面投影转向轮廓线，可直接根据点的投影规律求出c、c′，如图3-9（b）所示。·根据给定的d的位置进行判断，D点位于圆柱体的端面上，因d不可见，可判断D点位于圆柱体的底面上，据此可求出d′、d″，如图3-9（b）所示。（二）圆锥

1．圆锥的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）侧面投影。

2．圆锥表面上取点·【例3-4】如图3-11所示，已知圆锥表面上M点的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。解：

（1）用素线法作图。·由图3-11（a）可知，点M的正面投影m′给定，因为m′可见，所以M点应该在圆锥表面上的左前方。·过m′在锥面上作素线SM的正面投影s′a′，再由s′a′作出水平投影sa和侧面投影s″a″，最后根据直线上点的投影规律，作出m、m″。·因为点M在圆锥表面的左前方，所以m、m″均可见。（2）用纬圆法作图。·由图3-12（a）可知，点M的正面投影m′给定，因为m′可见，所以点M应该在圆锥表面上的右前方。·作图方法是：过点M在圆锥表面上作垂直于轴线的截面，得水平的辅助纬圆，此圆的正面投影积聚成一条直线，水平投影为圆，利用这个辅助纬圆，由m′作出m，再由m′、m作出（m″）。·因为点M在圆锥表面的右前方，所以m可见，（m″）不可见。（三）圆球

1．圆球的投影

（1）正面投影。（2）水平投影。（3）侧面投影。

2．圆球表面上取点·【例3-5】如图3-14所示，已知圆球表面上K、M、N

3点的一面投影，求出点的另两面投影，并判别可见性。解：由题给条件可见，点M的正面投影m′已知。·过m′作球面上水平圆的正面投影，与球的正面投影的转向轮廓线相交于1′、2′两点，其长度等于水平圆的直径，作出这个水平圆的水平投影，其水平投影反映实形。·然后根据点在这个水平圆上，由m′引铅垂的投影连线，求出m，在侧面投影上度量宽y1坐标，得出m″。·由于点M在左上前四分之一球面上，所以m、m″都可见，如图3-14（a）所示。·由图3-14（b）中N点的水平投影n可知，点N在左上半球面上，且点N在球面的正面投影的转向轮廓线上，根据点的投影规律，由n可直接作出n′和n″，而且n′和n″均可见。·从图3-14（b）中K点的水平投影（k）可知，点K在右下后四分之一球面的一般位置上，过（k）作球面上正平圆的水平投影，与球水平投影的转向轮廓线相交于两点，其两点之间的长度等于正平圆的直径，作出这个正平圆的正面投影，其正面投影反映实形。·由（k）引铅垂的投影连线，求出点K的正面投影（k′）。·然后根据点的投影关系，在侧面投影上度量宽y1坐标，求出K点的侧面投影（k″）。·由于点K在右后下四分之一球面上，所以（k′）和（k″）均不可见。（四）圆环

1．圆环的投影

2．圆环表面上取点·【例3-6】如图3-16（a）所示，已知圆环表面上A、B、C、D点的一面投影。·求出各点的另一面投影，并判别可见性。解：由图3-16（a）可知，点A在上半个外环面上，过a′在圆环面上作一纬线，求出该纬线在水平投影面上的投影——纬圆，则点A的水平投影a在此纬圆上。·因a′是可见的，故A点在前上半个外环面上，所以a可见。·具体作图如图3-16（b）所示。·其他各点均是特殊位置上的点，具体作图可参见图3-16（c）。（五）不完整立体的投影·图3-17、图3-18所示是工程上常见的几种不完整曲面立体的投影。

三、基本几何体的尺寸标注·图3-19、图3-20是常见基本几何体的尺寸标注。任务二切割体任务引出·实际的机器零件有些部分并不是完整的基本几何体，而是经过截切后的基本几何体，称为切割体，如图3-21中的顶尖和拨叉轴就是由基本几何体经平面切割而成的。任务描述·切割体是经过截切后的基本几何体，求其投影的关键问题是求截平面与基本几何体表面的交线——截交线。相关知识

一、切割体及截交线的概念·如图3-22所示。·任何截交线都具有以下两个基本性质：

（1）任何基本几何体的截交线都是一个封闭的平面图形。（2）截交线是截平面与基本几何体表面的共有线。二、平面切割体的投影·【例3-7】正五棱柱被截切，如图3-23（a）、（d）所示，求作正五棱柱被截切后的投影。解：正五棱柱是被正垂面截切，正垂面截过了正五棱柱的5条棱线，故截交线必为封闭的五边形，各顶点为截平面与5条棱线的交点。·由于正垂面的截平面和正五棱柱各表面均为特殊位置平面，因此可利用积聚性直接作图。·作图方法如图3-23（b）所示。

（1）因五棱柱的5条棱线水平投影积聚，可直接在水平投影上得到截交线的5个顶点1、2、3、4、5，再在正面投影中找出1′、2′、3′、4′、5′，然后根据投影规律求出各交点的侧面投影1″、2″、3″、4″、5″。

（2）依次连接各点的同面投影即得截交线的投影，连接时注意判别投影的可见性，可见投影用粗实线连接，不可见投影用虚线连接。

（3）整理轮廓线，擦掉被截掉部分的轮廓线，即完成切割体投影，如图3-23（c）所示。·【例3-8】如图3-24（a）所示，求斜三棱锥被截切后的投影。解：三棱锥被一正垂面截切，且截平面截过了三棱锥的3条棱线，故截交线必为封闭的三角形。·由于截平面为正垂面，利用投影的积聚性可直接找到截交线的正面投影，之后运用点在直线上的投影特性求出截交线的其他投影。·作图方法如图3-24（b）所示。

（1）利用投影的积聚性在正面投影中找出截平面与三棱锥3条棱线交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′，然后根据点在直线上的投影特性作出这3个点的水平投影1、2、3，侧面投影1″、2″、3″。

（2）依次连接各点的同面投影即得截交线的投影，连接时注意判别投影的可见性，可见投影用粗实线连接，不可见投影用虚线连接。（3）整理轮廓线，擦掉被截掉部分的轮廓线，完成被截三棱锥的投影。·【例3-9】如图3-25（a）所示，求正四棱柱开槽后的侧面投影。解：正四棱柱开槽，可以看作是正四棱柱被3个截平面截切而成，如图3-25（c）所示。·可分别求出各截平面上截交线的投影。·作图方法如图3-25（b）所示，这里需要注意的是，每个截平面与立体表面的交线都是封闭的多边形，而多边形的顶点除了截平面与各棱线的交点之外还包括平面与平面交线的端点。·如图3-25（c）中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点，它们也是多边形截交线的顶点。·【例3-10】试求图3-26所示四棱锥被二平面截切后的投影。解：（1）空间及投影分析。·四棱锥被二平面截切。截平面P为正垂面，与四棱锥的4个棱面的交线与例3-9相似。·截平面Q为水平面，与四棱锥底面平行，它与四棱锥的4个棱面的交线，同底面四边形的对应边相互平行，利用平行面的投影特性很容易求得。·此外，还应注意两平面P、Q相交也会有交线，所以平面P和平面Q截出的截交线均为五边形。·平面P为正垂面，其截交线投影特性同例3-9的分析：平面Q为水平面，其截交线正面投影和侧面投影皆具有积聚性，水平投影则反映截交线的实形。（2）作图。·画出完整四棱锥的3个投影。·【例3-11】求图3-27所示三棱锥台开槽后的投影。解：图3-27所示为三棱锥台开槽后，其截交线的求画方法与作图过程。

三、曲面切割体的投影·曲面立体被截切后，截交线一般是封闭的平面曲线或平面曲线和直线围成的平面图形。·作图步骤如下。

（1）求作特殊点（2）求作一般点（3）顺次光滑连接各点并判别可见性1．圆柱切割

·根据截平面与圆柱轴线位置不同，圆柱切割后其截交线有3种不同的形状，如表3-1所示。·【例3-12】如图3-28所示，求斜截圆柱的投影。解：截切圆柱的平面与圆柱的轴线倾斜，其截交线为椭圆。·由于截平面是正垂面，且圆柱的轴线垂直于H面，可知截交线的正面投影积聚为一直线，而水平投影是圆。·截交线的侧面投影则可根据正面和水平投影求得。·作图方法如图3-28所示。

（1）求截交线的特殊点（2）求作一般点（3）依次光滑连接各点，即可得截交线的侧面投影。·【例3-13】如图3-29（a）所示，求切口圆柱的水平投影。解：从图3-29（a）中可以看出，切口是由两个与轴线平行的平面和一个与轴线垂直的平面截得的，前者与圆柱面的交线是直线，后者与圆柱面的交线是圆弧。·由于两个与轴线平行的截平面为水平面，利用其正面投影和侧面投影的积聚性可直接找到交线的正面投影和侧面投影，如图3-29（b）所示的a′b′、c′d′和a″b″、c″d″。·此外，由于另一个与轴线垂直的截平面为侧平面，利用其投影的积聚性，可找到圆弧交线的正面投影b′e′f

′，而其侧面投影b″e″f″则应落在圆周上。·作图方法如图3-29（b）所示。

（1）画出整个圆柱的水平投影；（2）按投影关系画出截交线的水平投影（3）整理轮廓线·【例3-14】求作图3-30（a）所示圆柱切割后的投影。解：如图3-30（a）所示，该圆柱被切去了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等4部分形体。·Ⅰ、Ⅱ部分为由两平行于圆柱轴线的平面和一垂直于圆柱轴线的平面切割圆柱而成，切口为矩形。·Ⅲ部分也为由两平行于轴线的平面和一垂直于轴线的平面切割圆柱而成，即在圆柱右端开一个槽，切口也为矩形。·Ⅳ部分是在切割Ⅰ、Ⅱ部分的基础上再挖去的一个小圆柱。·其作图过程如下。

（1）画出整个圆柱的3个投影，并切去Ⅰ、Ⅱ部分，如图3-30（b）所示。（2）画切去Ⅲ部分后的投影，如图3-30（c）所示。

（3）画挖去Ⅳ部分，并完成全图，如图3-30（d）所示。·图3-31是用平行和垂直于轴线的截平面切割圆柱的示例。

2．圆锥切割·截平面切割圆锥时，根据截平面与圆锥轴线位置的不同，与圆锥面的交线有5种情况，如表3-2所示。·【例3-15】如图3-32所示，圆锥被正平面截切，求作截交线的投影。解：因为正平面与圆锥的轴线平行，所以截交线是双曲线。·双曲线的水平投影积聚成一直线，而正面投影反映实形，利用纬线圆法做出C、D、E正面投影，注意E点是截交线的最高点，过E点的纬线圆与截平面相切，作图方法如图3-32（b）所示。·【例3-16】如图3-33所示，求顶尖头的水平投影。解：由于截平面P为侧平面，并与圆柱的轴线垂直，所以它与圆柱的截交线为圆弧。·其正面投影和水平投影积聚成直线，侧面投影反映圆弧实形并与圆柱侧面投影重合；Q为水平面，同时与圆锥和圆柱的轴线平行，所以该平面与圆柱的截交线为矩形，与圆锥的截交线为双曲线，其水平投影反映实形，正面投影和侧面投影都积聚成直线。其作图方法如图3-33所示。

（1）求特殊点（2）求一般点（3）光滑连接各点

3．圆球切割·对于圆球来说，用任何方向的截平面切割，其截交线均为圆，圆的大小，由截平面与球心之间的距离而定，如表3-3所示。·图3-34所示为圆球被水平面Q和侧平面P切割截交线的求法。·【例3-17】如图3-35所示，根据半圆球开槽后的正面投影，求作水平投影和侧面投影。解：

（1）空间分析。（2）作图。①完成侧平面P的投影，如图3-34（b）所示。②完成水平面Q的投影，如图3-34（c）所示。

四、切割体尺寸标注·常见切割体的尺寸注法如图3-36所示。任务三