椭圆的标准方程精品(公开课)

2.1.1椭圆及其标准方程

潍坊一中刘洪涛——仙女座星系星系中的椭圆2007年10月24日18时05分，嫦娥一号卫星在西昌卫星发射中心顺利发射，2010年10月1日下午18时59分57秒，中国探月二期工程先导星“嫦娥二号”在西昌点火升空，准确入轨，赴月球拍摄月球表面影象、获取极区表面数据，为嫦娥三号在月球软着陆做准备。标志着我国航天事业又上了一个新台阶。思考数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形在椭圆形成的过程中，哪些量是固定的那些量是变化的？几何画板请你根据椭圆绘制过程归纳出椭圆的定义,F2F1M平面内与两个定点、的距离的和的点的轨迹是椭圆．等于常数(大于)小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上----这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a3.常数2a要大于焦距2C思考：1.当2a>2c时,轨迹是（）椭圆2.当2a=2c时,轨迹是一条线段,是以F1、F2为端点的线段．3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在.

椭圆的定义：（与圆类比）圆：OP椭圆

平面内与一个定点的距离等于常数（大于0）的点的轨迹叫作圆，这个定点叫做圆的圆心，定长叫做圆的半径

圆的定义：平面内与两个定点

的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

．21FF椭圆的定义：yxOr设圆上任意一点P(x，y)以圆心O为原点，建立直角坐标系两边平方，得♦回忆在基础模块如何求圆的方程的？椭圆方程的建立——步骤一：建立直角坐标系步骤二：设动点坐标步骤四：代入坐标步骤五：化简方程步骤三：列等式(二)椭圆方程的推导：（坐标法）学生活动♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一（横）F1F2方案二（纵）OxyMOxy解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y建构数学（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，列等式条件：代入坐标1)椭圆的标准方程的推导整理得两边再平方再平方先移项总体印象：对称、简洁焦点在y轴：焦点在x轴：2)椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM3)两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的图像一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.

例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆（1）到点F₁(-2，0)和点F₂(2,0)的距离之和为6的点的轨迹；（）（2）到点F₁(-2，0)和点F₂(2,0)的距离之和为4的点的轨迹；（）

实战演练变式：判断下列方程是否表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？?

实战演练

实战演练例2：⑴已知椭圆的两个焦点的坐标分别是F₁(-1，0)F₂(1,0)，椭圆上一点M到两焦点的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．⑵已知椭圆的两个焦点分别是F₁(-1，0)F₂(1,0)，椭圆经过点M(1，3/2)，求该椭圆的标准方程．知识点小结：1．椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和的点的轨迹是椭圆．等于常数(大于)一个定义2．椭圆的标准方程焦点在轴上椭圆的标准方程为：

焦点在轴上椭圆的标准方程为：知识点小结：两类方程知识点小结：1．