数值分析 第七章 非线性方程(组)的数值解法

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NumericalAnalysis第七章非线性方程（组）的数值解法郑州大学研究生课程（2014-2015学年第一学期）

ISCM2007,BeijingChina1第七章非线性方程（组）的数值解法

§7.1引言§7.2二分区间法§7.3迭代法及其加速§7.4牛顿迭代法§7.5弦截法§7.6解非线性方程组的迭代解法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程

f(x)=0

的求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点。

非线性方程的例子（1）在光的衍射理论中,需要求x-tanx=0的根（2）在行星轨道的计算中,需要求x-asinx=b的根ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言

当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程

f(x)=0为非线性方程。★如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程。★否则为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言如果f(x)可以分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。

求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言公元前1700年的古巴比伦人有关于一、二次代数方程的解法。《九章算术》(公元前50~100年)其中“方程术”有联立一次方程组的一般解法。1535年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次代数方程的解法，卡当(H·Cardano)从他那里得到了这种解法，于1545年在其名著《大法》中公布了三次方程的公式解，称为卡当算法。后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次代数方程的解法。此成果更激发了数学家们的情绪，但在以后的二个世纪中，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。代数方程求根的历史ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言代数方程求根的历史1799年，高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理，称此为代数基本定理，并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。但在以后的几十年中仍然没有找出高次代数方程的公式解。一直到18世纪，法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四次方程的解法。在继续探索5次以上方程解的艰难历程中，第一个重大突破的是挪威数学家阿贝尔(N·Abel1802-1829)1824年阿贝尔发表了“五次方程的代数解法不可能存在”的论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也未理解这项成果的重要意义。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言代数方程求根的历史1828年17岁的法国数学家伽罗华(E·Galois1811-1832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代数解法问题”，指出即使在公式中容许用n次方根，并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的。”，“他一劳永逸地发现了一个折磨了数学家几个世纪的谜团的答案：在什么条件下一个方程有解？”

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NumericalAnalysis§7.1引言理论上已证明，对于次数n<=4的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方程,它的根一般不能用解析表达式表示.因此对于f(x)=0的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。常用的求根方法分为区间法和迭代法两大类。求根问题包括：根的存在性、根的范围和根的精确化。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.1引言数值解法的三个步骤

①

判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。（隔离根）③根的精确化。将根的初始近似值按某种格式逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis定理1(根的存在定理，介值定理)

假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)·f(b)<0,则至少存在一点x(a,b)使得

f(x)=0。定理2

假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且f(a)·f(b)<0,

则恰好只存在一点x(a,b)使得

f(x)=0。定理3

假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微，则s是方程f(x)=0的m重根的充分必要条件是

§7.1引言y=f(x)abyxISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f

(a)·f(b)<0,根据连续函数的性质可知,f(x)=0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。假定方程f(x)=

0在区间[a,b]内有惟一实根x*。

二分法的基本思想是:首先确定一个有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)在区间端点的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分法基本思想将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止

适用范围求有根区间内的奇数重实根

数学原理：介值定理设

f(x)

在[a,b]

上连续，且f(a)

f(b)<0，则由介值定理可得，在

(a,b)

内至少存在一点

使得f()=0ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis二分法是一种确定有根区间的方法为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围，称为圈定根或根的隔离。在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定精度要求的初值。

对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定的圈根方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法设f(x)为区间[a,b]上的连续函数,如果f(a)·f(b)<0,则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。y=f(x)abyxISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法由此可大体确定根所在子区间，方法有：

(1)画图法

(2)逐步搜索法确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法(1)画图法画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式，1(x)

与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例如xlogx-1=0

可以改写为logx=1/x

画出对数曲线y=logx,与双曲线y=1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法(1)画图法023yx确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法(1)画图法y0xy=f(x)y=kf(x)确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法y0xABa1b1a2b2(2)搜索法

对于给定的f(x),设有根区间为[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检查f(xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法例7.2.1

方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑的方法，不难发现

f(0)<0f(2)>0

在区间（0，2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2区间法xf(x)00.51.01.52

–––++可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根确定有根区间的方法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法二分法求根过程①取有根区间[a,b]之中点,将它分为两半,分点

,这样就可得缩小有根区间ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法②对压缩了的有根区间施行同样的手法,

即取中点,将区间再分为两半,然后再确定有根区间,其长度是的二分之一。

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NumericalAnalysis§7.2二分区间法

③如此反复下去,若不出现,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半,因此的长度

当k→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x*即为所求的根。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法

每次二分后,取有根区间的中点作为根的近似值，得到一个近似根的序列该序列以根x*为极限只要二分足够多次(即k足够大),便有这里ε为给定精度,由于,则ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法当给定精度ε＞0后,要想成立,只要取k满足即可，亦即当:

时,做到第K+1次二分,计算得到的就是满足精度要求的近似根。

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NumericalAnalysis二分区间法算法实现ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

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例7.2.2证明方程在区间[2,3]内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5×10-3的根要二分多少次？证明令且f(x)在[2,3]上连续,故方程f(x)=0在[2,3]内至少有一个根。又当时时，,故f(x)在[2,3]上是单调递增函数,从而f(x)在[2,3]上有且仅有一根。

给定误差限＝0.5×10-3,使用二分法时ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.2二分区间法误差限为只要取k满足

即可，亦即所以需二分10次便可达到要求。

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NumericalAnalysis§7.2二分区间法二分法的优点不管有根区间多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;二分法的局限性只能用于求函数的实根,不能用于求复根及偶数重根,它的收敛速度与比值为的等比级数相同。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

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例7.2.3

求方程f(x)=x

3–e-x=0的一个实根。

因为f(0)<0,f(1)>0。故f(x)在(0,1)内有根用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：k

ak

bk

xk

f(xk)符号 0 0 1 0.5000 － 1 0.5000 － 0.7500－ 2 0.7500 － 0.8750 ＋ 3 － 0.8750 0.8125 ＋ 4 － 0.8125 0.7812 ＋ 5 － 0.7812 0.7656 － 6 0.7656 － 0.7734 ＋ 7 － 0.7734 0.7695 － 80.7695－ 0.7714 － 9 0.7714 － 0.7724 － 10 0.7724 － 0.7729 ＋

取x10=0.7729，误差为|x*-x10|<=1/211。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程其中为x的连续函数迭代法的基本思想如果数使f(x*)=0,则也有,反之,若

,则也有,称为迭代函数，而称x*

为的不动点。

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NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速任取一个初值,代入式的右端,得到

再将代入式的右端,得到,依此类推,得到一个数列…，其一般表示称为求解非线性方程的简单迭代法。

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NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速如果由迭代格式产生的序列收敛,即

则称迭代法收敛。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速

实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去,对预先给定的精度要求ε，只要某个k满足即可结束计算并取ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速例7.3.1

用迭代法求方程在x=1.5附近的一个根解将方程改写成如下两种等价形式

相应地可得到两个迭代公式ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速如果取初始值＝1.5，用上述两个迭代公式分别迭代，计算结果为ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速迭代法的几何意义

通常将方程f(x)=0化为与它同解的方程的方法不止一种,有的收敛,有的不收敛,这取决于的性态。方程的求根问题在几何上就是确定曲线

与直线y=x的交点P*的横坐标。

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NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速

迭代法的几何意义

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NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速

迭代法的几何意义

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NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速迭代法的收敛性

对方程f(x)=0可以构造不同的迭代公式,但迭代公式并非总是收敛。那么,当迭代函数满足什么条件时，相应的迭代公式才收敛呢？ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis定理7.3.1

设函数在[a,b]上有连续的一阶导数,且满足

（1）对所有的x∈[a,b]有

∈[a,b](映内)

（2）存在

0<L<1,使所有的x∈[a,b]有

≤

L

（压缩性）则方程在[a,b]上的解存在且唯一，对任意的初值∈[a,b]，迭代过程均收敛于。并有误差估计式

①

②

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NumericalAnalysis由连续函数介值定理知,必有∈[a,b],使所以有解存在,即假设有两个解和,,∈[a,b]，则

，由微分中值定理有

其中ξ是介于x*和之间的点

从而有ξ∈[a,b]，进而有

由条件(2)有

<1,所以-=0，即=，解唯一。证:构造函数,由条件①对任意的x∈[a,b]

∈[a,b]有ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis按迭代过程,有

由于L<1,所以有,可见L越小,收敛越快再证误差估计式①

②ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis∵

∴

即

①

得证。

即

②

得证。

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迭代法的算法框图ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速例7.3.2

对方程,构造收敛的迭代格式,

求其最小正根。解容易判断[1,2]是方程的有根区间,且在此区间内,所以此方程在区间[1,2]有且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式

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NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速①

,即

不满足收敛条件。②,即此时迭代公式满足迭代收敛条件。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速迭代法的局部收敛性定理7.3.2

设在的根的邻域中有连续的一阶导数,且则迭代过程具有局部收敛性。定义（局部收敛性）

如果存在x*的某个邻域，当初值x0属于此邻域时，迭代过程收敛，则称此迭代过程具有局部收敛性。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速证明:由于,存在充分小邻域△:,使成立这里L为某个定数,根据微分中值定理由于,又当时,故有由定理7.3.1知对于任意的都收敛ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis例7.3.3

设,要使迭代过程局部收敛到,求的取值范围。解：

由在根邻域具有局部收敛性时,收敛条件

所以

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NumericalAnalysis例7.3.4

已知方程在内有根,且在上满足,利用构造一个迭代函数,使局部收敛于。解:由可得,

故

,迭代公式局部收敛ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速定义设迭代过程收敛于的根,记迭代误差若存在常数p（p≥1）和c（c>0），使

迭代法的收敛速度则称序列是p阶收敛的,c称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。1<p<2时称为超线性收敛。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速数p的大小反映了迭代法收敛的速度的快慢，p愈大，则收敛的速度愈快，故迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量。

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NumericalAnalysis定理7.3.3

设迭代过程,若在所求根的邻域连续且

则迭代过程在邻域是p阶收敛的。证:由于即在邻域

,所以有局部收敛性,将在处泰勒展开

根据已知条件得由迭代公式及有ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.3迭代法及其加速例7.3.5

已知迭代公式收敛于证明该迭代公式平方收敛。证:迭代公式相应的迭代函数为根据定理7.3.3可知，迭代公式平方收敛。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法

用迭代法可逐步精确方程根的近似值，但必须要找到的等价方程,如果选得不合适,不仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代格式,既结构简单,收敛速度快,又不存在发散的问题。这就是本节要介绍的牛顿迭代法.ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法牛顿迭代法的基本思想牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法,它的基本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化,从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。对于方程,设其近似根为,函数f(x)可在附近作泰勒展开

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NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法忽略高次项,用其线性部分作为函数f(x)的近似，设的根,则有,即可得牛顿迭代公式ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法牛顿迭代法的几何意义

方程f(x)=0的根x*是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标,设xk是根x*的某个近似值,过曲线y=f(x)的横坐标为xk的点Pk=(xk,f(xk))引切线交x轴于xk+1,并将其作为x*新的近似值,重复上述过程,可见一次次用切线方程来求解方程f(x)=0的根,所以亦称为牛顿切线法。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法牛顿迭代法的收敛性定理7.4.1

设是方程的单根,且f(x)在的某邻域内有连续的二阶导数,则牛顿法在附近局部收敛,且至少二阶收敛,有

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NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法证:牛顿迭代公式对应的迭代函数为

若是方程的单根,则有,

从而由定理7.3.2知,牛顿迭代法在附近局部收敛。又由定理7.3.3知,迭代公式至少具有二阶收敛速度。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法利用泰勒公式ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法所以证毕ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysisyx0B=x0f´´(x)>0xn+1X*ayx0Bf´´(x)>0a=x0yx0B=x0f´´(x)<0ayx0Bf´´(x)<0a=x0牛顿迭代法的收敛性ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.4牛顿(Newton)迭代法

牛顿迭代法对初值x0的选取要求比较高。x0必须充分靠近x*才能保证局部收敛。定理7.4.2

如果在有根区间［a,b］上连续且不变号，在［a,b］上取初始近似根x0满足，则牛顿迭代法产生的迭代序列单调收敛于方程f(x)=0在该区间上的唯一解。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis结论：Newton法的收敛性依赖于x0

的选取。x*x0x0x0不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

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牛顿迭代法的算法实现ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

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牛顿法的优点

牛顿法是目前求解非线性方程(组)的主要方法至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。可求重根和复根。

牛顿的缺点

对重根收敛速度较慢（线性收敛）

对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.5弦截法牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算导数,当比较复杂时,不仅每次计算带来很多不便，而且还可能十分麻烦，如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节介绍的弦截法便是一种不必进行导数运算的求根方法。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.5弦截法

弦截法在迭代过程中不仅用到前一步处的函数值，而且还使用处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速度。称之为多点迭代法。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.5弦截法弦截法的基本思想为避免计算函数的导数，使用差商替代牛顿公式中的导数,便得到迭代公式

称为弦截迭代公式，相应的迭代法称为弦截法。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.5弦截法弦截法的几何意义

弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点、的割线来代替曲线,用割线与x轴交点的横座标作为方程的近似根再过P1点和点作割线求出,再过P2点和点作割线求出,余此类推，当收敛时可求出满足精度要求的ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.5弦截法可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛的阶约为1.618，它与前面介绍的一般迭代法一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭代法在计算时只用到前一步的值，故称之为单点迭代法；而弦截法在求时要用到前两步的结果和，使用这种方法必须给出两个初始近似根，这种方法称为多点迭代法。

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NumericalAnalysis弦截法算法实现

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NumericalAnalysis§7.5弦截法例7.5.1

用弦截法求方程在初始值邻近的一个根。要求解：取,,令利用弦截迭代公式易见取近似根可满足精度要求。ISCM2007,BeijingChina/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析

NumericalAnalysis§7.5解非线性方程组的迭代解法考虑非线性方程组在点(x0,y0)作二元Taylor展开，并取线性部分ISCM2007,BeijingChina