第八章-弹性散射

散射的描述方法微分散射截面第八章弹性散射弹性散射---散射过程中粒子间仅动能交换,其内部状态不变.(8.1)

---散射中心,假定不动.

---散射角,入射与散射方向夹角.单位时间散射到方向立体角内的粒子数:

---入射粒子流强度,即单位时间、单位面积入射的粒子数.

---微分散射截面,即散射到方向上单位立体角中的概率,是散射理论需要求解的核心问题.散射振幅(8.2)

散射粒子波函数满足的薛定谔方程:设观察点离散射中心足够远,脱离了的作用,则:(8.3)其中:入射平面波(8.4)散射球面波(8.5)

---散射振幅,可求解(8.2)得到.可导得(见下页):(8.6)因此,散射问题归结为求出散射振幅.(8.7)

推导如下:由于:(8.8)(8.9)则:(8.10)其中为入射(散射)粒子概率流密度(大小):以上两式代入(8.8)便得:(8.11)波恩近似---高能粒子散射

把薛定谔方程(8.2)改写为:(8.12)其中为入射粒子波数,定义格林函数:(8.13)则:(8.14)(8.14)称Lippman-Schwinger积分方程,将之代入(8.12),利用(8.13)并注意到为齐次方程:(8.15)(8.16)的通解,从而可以得到验证.

可求解方程(8.13)得(待下面证明):(8.17)(8.18)代入(8.14)得:上述积分方程可用迭代法近似求解,并取到一级近似(即波恩近似)得:(8.19)即:(8.20)

(8.17)证明如下:(8.21)(8.22)(8.23)将格林函数做付里叶积分变换:(8.24)代入(8.13)并注意到:得:从而:

(8.24)积分如下:(8.25)其中:(8.26)

(8.25)被积函数中当时实轴上出现一阶奇点,需引进虚数:(8.27)此时位于上半复平面的两个极点为:(8.28)取上半平面的积分回路,利用留数定理得:代入(8.27)便得(8.17),即:(8.29)证毕此外,波恩一级近似结果(8.20),即:(8.30)(8.31)在远场处:,则:(8.32)得:(8.33)即:其中:(8.34)把(8.33)与球面波:(8.35)(8.36)(8.37)比较得:(8.38)由于与大小相等,夹角为,则:对于有心力势,(8.36)可进一步简化为:(8.39)最后得波恩近似下的微分散射截面为:(8.40)例8.1:求屏蔽库仑场:(8.41)中粒子的微分散射截面.(8.42)解:高能入射粒子且散射角较大时:则:为经典的Rutherford散射公式.分波法---低能粒子散射在有心力场且关于轴对称下,可把入射平面波用球面波(每个球面波即为一个分波,故称分波法)展开为:(8.43)其中为球Bessel函数,其渐近行为:(8.44)(8.45)另一方面,薛定鄂方程:其解也展开为:(8.46)接下来的任务是求出径向波函数.(8.47)(8.48)(8.49)径向波函数满足的薛定鄂方程:(8.50)当时,,令,则得:上式通解:因此:上式为接下来与入射波比较方便,已换用新的常数.代入(8.46)得:(8.51)(8.52)另一方面:(8.53)令(8.51)和(8.52)相等并把三角函数写成指数形式得:上式成立的条件为:(8.54)(8.55)(8.56)由(8.55)得:(8.57)(8.58)(8.59)代入(8.54)得散射振幅:微分散射截面:总散射截面(对积分):可见,分波法最终需要算出各分波的相移

.讨论:(8.60)(8.61)之前的几个分波,其中为散射势有效半径.1.计算相移时,仅需计算到:因为,当:可视为不发生散射:即发生散射的条件为:(8.62)(8.63)2.对排斥势(吸引势),有:(8.64)因为,对给定角度的散射:(8.65)

对排斥势(吸引势),

可保证所需要的

较大(较小).(8.66)3.光学定理:其中为总散射(包括非弹性散射)截面;

因为:为弹性散射的朝前()散射振幅.(8.67)(8.68)(8.69)例8.2:求以下球对称势井的微分散射截面:

解:若入射粒子能量很低:,则可只算项.(8.70)(8.71)

得径向波函数满足的薛定鄂方程:

其中:(8.72)(8.70)的通解为:(8.73)(8.74)

由在处有