第二章 极限与连续(最近修改9.25,14年10月)

1第二章极限与连续2第一节数列极限limitsofsequence例1割圆术

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一、极限的思想

3

三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.412345678…项号边数内接多边形周长直径为1241263

2.5980762113533.000000000000

3.105828541230

3.13262861328148

3.13935020304796

3.141031950891192

3.141452472285384

3.141557607912……………定量分析

15例2截杖问题1：剩余的长度：截去的总长度0战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日截其半万世不竭.6二、数列的概念concepts例如称为无穷数列,简称数列.

1、数列的定义7说明：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数82、单调数列

monotonicsequence称单调增加称单调减少单调数列3、有界数列

boundedsequence有界；无界。否则称无界。9三、数列的极限1x210问题：当n无限增大时,xn

是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?一般地，有：通过上面图示观察：11如果数列没有极限,就说数列是发散的.定义2.1记为或12用计算器计算由此猜想数列的极限(保留两位有效数字)．由计算器可算得由此猜想【实验】解13例114例2解1516函数的极限第二节17一、自变量趋于无穷大时函数的极限xy18通过上面图示观察:一般地有:定义2.319例2解例1解xy20类似地可以定义2122几何解释:ox2324例4解例3解xy25函数的极限第三节26定义2.4273.几何解释:说明：28例5例629单侧极限左极限：30右极限：31解左右极限存在且相等,例732左右极限存在但不相等,例8证33例9

设解3435无穷大量与无穷小量第四节36一、无穷小量定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小.例如,注：1、无穷小是变量,不能与绝对值很小的数混为一谈;3、称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。2、零是唯一可以作为无穷小的数；37１、无穷小的性质：

1°

有限多个无穷小之和仍是无穷小；

定理2°

有限多个无穷小之积仍是无穷小；

3°

无穷小与有界变量之积仍是无穷小。

138例1解39例2例3注：所有反三角函数均是有界函数。40定理

变量y以A为极限的充分必要条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小的和。即lim

y=Ay=A+a，其中a是无穷小

。定理表明：

极限概念可以用无穷小概念来描述.证略。2、无穷小与极限的关系41二、无穷大量绝对值无限增大的变量叫无穷大.xoy42定义：

1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈；2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注：43同理，

44例如有两条竖直渐近线:45三、无穷大与无穷小的关系意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例4无穷大.

46无穷大量的遐想

一万年之说；

至少比你多一；

无穷大可分为无穷多个无穷大

47极限的性质、极限的四则运算法则第五节48一、存在极限的函数的基本性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性性质3有极限函数的局部保号性49二、极限的四则运算法则证略定理50推论1推论251例2例1如果分母的极限为零,则不能直接运用上述方法。52解例3消零因子法53共轭因子法解解变量代换法

例4例554例6解一般,55例7例856例957例1058例11解注意：以下解法错误：因为法则(1)不能推广到无限多个函数的情形.59解例1260复合函数的极限证略61解例11或解62例12解63例13解共轭因子法64两个重要极限第六节65证略1、夹逼准则和66例1解由夹逼定理得67上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.定理(夹逼定理)证略。68xy下面利用夹逼准则证明一个重要的极限:

169基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。70即得71所以72解所以例2例373例4解74称单调增加称单调减少单调数列具体：单调增加有上界，或单调减少有下界。2、单调有界准则准则Ⅱ单调有界数列必有极限.75利用准则Ⅱ可证明另一个重要的极限：

76以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或77例5解78例7解例8解例6解79例9解求极限80小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.81无穷小的比较第八节82例如,

比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限比较它们趋向于0的速度，83定义：84说明：

85例186例3证87例4证88例5解例6解89常用等价无穷小：90定理(等价无穷小替换定理)证只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意在其他极限运算中不能替换！91例7解92例8解解错93例9解94函数的连续性第七节951、函数的改变量一、函数连续的定义96

例1

证明函数y=x2在给定点x0处连续。

证

在x0处，函数的改变量为所以y=x2在给定点x0处连续。2、函数在一点处连续的定义如果

97下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。如果

98例2证（3）函数值与极限值相等.

99例3解1004、连续区间与连续函数101例5102二、函数的间断点定义函数不连续的点称为函数的间断点.1、左右极限都存在的间断点,称第一类间断点：

(1)可去型间断点103例6讨论函数解注意

可去型间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.104(2)跳跃型间断点例7解105例8解2、左右极限至少有一个不存在的间断点,称第二类间断点。

106例9解这种情况称为振荡型间断点。107解例10108三、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算定理1例如,三角函数在其定义域内皆连续.109定理32、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换次序110所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。111连续性在函数极限计算中的应用初等函数求极限的方法：代入法.例1例2解解112例3解极限运算与函数运算可以交换次序思考：113例4解类似可得114例5解前面已证等价无穷小替换115例6解116四、闭区间上连续函数的性质定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且能取得最大值和最小值.记作11