第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明

随堂讲义·第一部分知识复习专题专题四不等式第二讲线性规划、基本不等式与不等式的证明预测2015年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性质与基本不等式的小题也一般情况都会考到，而基本不等式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现有导数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可能性很大．

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栏目链接主干考点梳理考点1线性规划问题

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栏目链接1．设出变量x，y，列出变量x，y的线性约束条件，确定目标函数．2．作出可行域和目标函数值为0的直线l.3．利用直线l确定最优解对应的点，从而求出最优解．主干考点梳理考点2基本不等式的应用问题

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栏目链接a，b＞0a＝b最小值最大值2ab2主干考点梳理

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栏目链接B主干考点梳理解析：

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画出不等式表示的平面区域，如图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z＝2，无最大值．故选B.主干考点梳理

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直线x＝4交直线x＋2y＝8于点A(4，2)，作直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线经过可行域上的点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10.故选C.主干考点梳理

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栏目链接突破点1不等式正、误的辨别与大小比较问题高考热点突破

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栏目链接Cp＜m＜n思路点拨：高考热点突破

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栏目链接(1)可以根据a－|b|＞0去掉绝对值号得到a与b的大小关系，从而作出判断，亦可以在a，b∈R的前提下取满足a－|b|＞0的特殊实数a，b验证．(2)可以由已知先得到a，b，ab三者的大小关系，再判定c与1的大小关系，最后利用对数函数的单调性比较大小．亦可以用特殊值法比较．解析：高考热点突破

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(1)判断不等式的正误，常利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性和特殊值法、作差法等．(2)比较大小常利用：①函数的单调性法；②图象法；③不等式的性质或基本不等式法；④作差法；⑤特殊值法．高考热点突破

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例2某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．2300解析：高考热点突破

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设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则z＝200x＋300y，甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况如下表所示：产品设备A类产品/件B类产品/件租赁费/元甲设备510200乙设备620300高考热点突破

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(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．高考热点突破

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栏目链接2．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(

)A．1800元B．2400元

C．2800元D．3100元C解析：高考热点突破

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解决线性规划题目的常规步骤：一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).点评：突破点3利用基本不等式求最值问题高考热点突破

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栏目链接例3下图所示的是自动通风设施，该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB＝1米，梯形的高为0.5米，CD＝3米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．高考热点突破

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栏目链接(1)设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S＝f(x)．(2)当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积．解析：高考热点突破

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在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件，才能应用，否则会出现错误．而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用均值不等式的条件．高考热点突破

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栏目链接3．为了保护环境，实现城市绿化．某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区△AEF的EF，问如何设计才能使公园占地面积最大？并求这个最大面积(其中AB＝200m，BC