热点问题6立体几何中的平行和垂直(教师版)

热点问题6 立体几何中的平行和垂直一、填空题1．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若ab,a，则b//；②若a,，则a//；③若a//,a,则，其中正确的命题序号是.【答案】③④DC12.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm,AA12cm，B11A1则三棱锥AB1D1D的体积为cm3．【答案】3DCA1SAD1DB1A111B【解析】VAB1D1DVB1AD1D3233.3323.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x6cm时，该容器的容积为________cm3.【答案】48【解析】过P作PO底面ABCD，PEAB于E，连接OE,在等腰三角形PAB中，PE5，四棱锥的高POPE2EO24,VPABCD1SPO162448.4.设P,A,B,C是球O表面上的四个点，332，则球OPA,PB,PC两两垂直，且PAPB1,PC的表面积是.【答案】6【解析】模型：球O内接长方体，长方体的对角线是球的直径，球的半径r12122262，22球O的表面积4r2466.25.将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3，则r1r2r3＝.【答案】5【解析】半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形，三个扇形的圆心角分别为2,,，5,1033由弧长公式lr，所对的弧长分别为,5，三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为331510552336．如图，已知三棱锥ABCD的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且BAC30，M、N分别在棱AC和AD上，则BMMNNB的最小值为.【答案】2【解析】多面体(旋转体)表面上两点间的最短路径与展开图将三棱锥ABCD的侧面沿AB“展开”在同一平面上．7．已知三棱锥PABC的底面是边长为3的正三角形，其余三条侧棱的长分别为3,4,5，则该三棱锥PABC的体积为．11【解析】不妨设PA=3，PB4，PC5，则三棱锥APBC三条侧棱相等，所以A在底面PBC211，V113411的投影是PC的中点，h32511.223228.一个长方体的三条棱长 3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为.【答案】3【解析】圆柱的两底面之和等于圆柱的侧面积，2r22r3，r3二、解答题9．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，AC11A1B1．C1A11求证：（1）直线DE//平面AC11F；B（2）平面B1DE平面AC11F．F证明（1）D,E为中点，DE为ABC的中位线DE//AC，CEADB又ABCA1B1C1为棱柱，AC//AC11DE//AC11，又AC11平面AC11F，且DEAC11FDE//平面AC11F；（2）ABCA1B1C1为直棱柱，AA1平面A1B1C1AA1AC11，又AC11A1B1且AA1A1B1A1，AA1,A1B1平面AA1B1BAC11平面AA1B1B，又DE//AC11，DE平面AA1B1B又A1F平面AA1B1B，DEA1F又A1FB1D，DEB1DD，且DE,B1D平面B1DEA1F平面B1DE，又A1FAC11F平面B1DE平面AC11F．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD

垂直，底面

ABCD

是菱形，

BAD

60，N是

PB中点，截面

DAN

交PC

于M

．（1）求证：（2）求证：

MN//平面PB 平面

PAD；ADMN．证明：（1）AD//BC，BC面PBC∴AD//面PBC。又∵AD面ADMN，面ADMN面PBC=MN，∴AD//MN。而AD面PAD，∴MN//平面PAD2）取AD中点O，连结BO,BD在PAB中，∵APADAB,PNPB，∴ANPB在ABD中，∵ADAB,BAD60，∴三角形ABD为等边三角形，∴BOAD又POAD，POBOO，∴AD面POB，∴ADPB又∵ADANA，∴PB平面ADMN．11.如图，在直三棱柱ABCABC中，ABAC，点D、E、O分别为AA、AC、BC的1111111中点．（1）求证：OE//平面AA1B1B；ADA1（2）求证：平面B1DC⊥平面BBCC1.E证明：（1）连接BC1，A1B．CC111中，O是平行四边形1的中点，OBBCCBCBB1BC1过点O，且O是BC1的中点．在?A1B1C1中，E是A1C1的中点，O是BC1的中点， OE//A1B．又OE平面AA1B1B，A1B平面AA1B1B，OE//平面AA1B1B．（2）连接DO，取BC中点F，连接OF，AF．OF//BB1//AD,OF1BB1AD,四边形ADOF是平行四边形.2AB＝AC，AFBC，又∵AF//DO．DOBC．BB1平面ABC，AF平面ABC，BB1AF．BB1DO.BB1BC＝B，DO平面BB1C1C．DO平面DB1C，平面B1DC平面BB1C1C．12.如图，四棱椎PABCD的底面为矩形，且AB2,BC1,E,F分别为AB,PC中点．求证：EF∥平面PAD；(2)若平面PAC 平面ABCD，求证：平面 PAC 平面PDE证明(1)法一 取线段PD的中点M，连接FM，AM.1因为F为PC的中点，所以 FM∥CD，且FM＝2CD.因为四边形 ABCD为矩形，E为AB的中点，1所以EA∥CD，且EA＝2CD.所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形 AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.又AM?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.法二 连接CE并延长交 DA的延长线于 N，连接PN.因为四边形 ABCD为矩形，所以 AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.又NP?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.法三 取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形

ABCD

中，E为

AB的中点，所以

AE＝

DQ

，且

AE∥DQ.所以四边形

AEQD

为平行四边形，所以

EQ∥

AD.又AD?平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD.(2分)因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以 FQ∥PD.又PD?平面PAD，FQ?平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ?平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.(5分)因为EF?平面EQF，所以EF∥平面PAD.(7分)(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为 AB＝ 2BC，E为AB的中点．所以DAAE＝CDDA＝ 2.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△