第5章 图像变换

Dr.高刚毅（信息学院）ggy0222@9号楼402DigitalImageProcessing（DIP）数字图像处理2/5/20231回顾：第四章数字图像处理中的基本运算图像的三种基本运算？代数运算有哪些应用？几何运算有哪些应用？为什么要引入齐次坐标？常用的灰度内插法？2/5/20232第五章：图像变换数字图像的变换域处理方法的基本思路是什么？傅立叶变换有哪些特性？DCT变换的主要优点是什么？什么是小波？小波具有哪些特点？为什么说小波变换时“数学显微镜”？我们将学到什么？2/5/20233图像变换的作用图像变换的理论基础傅立叶变换傅立叶变换的性质二维傅立叶变换离散余弦变换沃尔什变换小波变换本章内容2/5/20234一.图像变换的作用图像变换的定义是将图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换图像变换的作用我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。

1.方便处理

2.便于抽取特性2/5/20235常用的变换傅立叶变换FourierTransform离散余弦变换DiscreteCosineTransform沃尔什－哈达玛变换Walsh-HadamardTransform小波变换WaveletTransform2/5/20236二、图像变换的理论基础数字图像处理方法分两大类：空域法：在空间域直接对图像进行处理频域法：变换到频域对图像进行分析和处理数字图像处理是一门应用性非常强的学科，它既有非常广泛的技术基础，也具有严密的数学理论基础。在图像增强、恢复、编码、分析等方面都有频域法的应用。2/5/20237频域法的数学理论基础线性系统卷积2/5/20238线性系统的应用它是一门成熟的理论学科，通常用于描述电路、光学、机械、液压系统。它为信号处理、图像处理、自动化、采样、滤波以及空间分辩率的研究提供了坚实的数学基础。工程技术应用的数学模型一般可以简化为线性系统。2/5/20239什么是系统？系统的定义：接受一个输入，产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。系统x(t)输入y(t)输出2/5/202310当且仅当（可加性和齐次性）：

x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)

从而有：a*x1(t)a*y1(t)什么是线性系统？线性系统的定义：对于某特定系统，有：

x1(t)y1(t) x2(t)y2(t)2/5/202311线性移不变系统线性系统移不变性的定义：对于某线性系统，有：

x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：

x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有移不变性2/5/202312卷积卷积的定义离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积相关的定义2/5/202313卷积的定义卷积积分是求线性连续移不变系统输出响应的主要方法，离散序列的卷积求离散线性移不变系统。对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)

h(t)

=

g(t

-)f()d

记为：h=g*f

-

g(t)称为冲激响应函数2/5/202314卷积离散一维卷积（求和代替积分）

h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)

j二维卷积的定义

h(x,y)=f*g=

f(u,v)g(x–u,y–v)dudv

-2/5/202315卷积离散二维卷积h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x–m,y–n)

mn2/5/202316三.傅立叶变换傅立叶变换的作用（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅里叶变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。2/5/202317若f(x)为一维连续实函数，则它的傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：傅里叶变换傅立叶变换的定义2/5/202318傅里叶变换函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u)是惟一的；反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶逆变换f(x)也是惟一的。傅里叶变换是一个线性积分变换，一般情况下，实函数经过变换后，是一个复函数。2/5/202319傅里叶变换的条件傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足如下狄利克莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积。实际应用中，常用的图像信号和函数都存在傅里叶变换。2/5/202320F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，称为F(u)的相角。

2/5/202321称为函数f(x)的能量谱或功率谱。

2/5/202322根据傅立叶变换的定义可得：例1高斯函数的傅立叶变换高斯函数的定义为：2/5/202323令x+ju=t，上式可以化为：结论:与即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数

为傅立叶变换函数对。2/5/202324例2.矩形函数矩形函数形式如下:2/5/2023252/5/202326根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：2/5/202327可得矩形函数f(x)的傅立叶频谱为：几何图形如图所示：2/5/202328离散傅立叶变换为什么需要离散傅立叶变换？在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。2/5/202329离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换:离散傅立叶变换2/5/202330傅里叶变换效果图2/5/2023312/5/202332边、噪音、变化陡峭部分变化平缓部分uv傅立叶变换的规律2/5/202333傅立叶变换在图像滤波中的应用首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。2/5/202334线性系统与傅立叶变换2/5/202335傅立叶变换在图像压缩中的应用在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。2/5/202336四.傅立叶变换的性质周期与共轭对称性加法定理位移定理可分离性卷积定理能量保持定理2/5/202337周期与共轭对称性周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的对于一维傅立叶变换有：

F(u)=F(u+N)对于二维傅立叶变换有：

F(u,v)=F(u+M,v+N)2/5/202338周期与共轭对称性共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数对于一维傅立叶变换有：

F(u)=F*(-u)对于二维傅立叶变换有：

F(u,v)=F*(-u,-v)2/5/202339加法定理2/5/202340加法定理应用2/5/202341位移定理2/5/202342(a)(b)(d)(c)图离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱

旋转不变性如果时域中离散函数旋转θ角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。2/5/202343卷积定理2/5/202344能量保持定理2/5/2023451.二维连续函数傅立叶变换的定义二维傅立叶正变换:二维傅立叶逆变换:五.二维傅立叶变换2/5/202346根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二位离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立叶变换为：

(1)二维离散傅立叶正变换2.二维离散函数傅立叶变换的定义2/5/202347(2)二维离散傅立叶逆变换 若已知频率二维序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：2/5/202348

Δx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样间隔和频率域采样间隔两者之间满足如下关系：

2/5/202349式中序列R(u，v)和I(u，v)分别表示离散序列F(u，v)的实序列和虚序列。二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）分别如下：

F(u，v)可以表示为如下形式：2/5/202350(1)．线性特性(1)比例性质=3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202351(3)平移性质

二维傅立叶变换的移位特性表明，当用乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。

3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202352离散傅立叶变换的显示2/5/202353离散傅立叶变换的显示——对称平移后2/5/202354(4)可分离性

3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202355二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，即：第一次先对y进行一维傅立叶变换

在此基础上对x进行一维傅立叶变换2/5/202356变量分离步骤如图所示:

2/5/202357若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应

逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换

2/5/202358(5)周期性

如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)，则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202359(6)共轭对称性3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202360(7)旋转不变性图像f(x，y)可以表示为f(r，θ)。同样，空间频率域的F(u，v)采用极坐标可以表示为F(ρ，)。二维离散傅立叶存在如下旋转特性：

3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202361(a)原始图像

(b)DFT变换

(c)原始图像旋转45º(d)旋转之后DFT变换结果

2/5/202362(8)微分性质3.二维离散傅立叶变换的性质2/5/202363(9)平均值性质平均值定义如下平均值性质如下：

即：结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。

2/5/202364二维傅立叶变换(幅值及相位)意义2/5/202365图像的说明左边一列:

上方为原始图像,下方为本图的相关说明说明;中间一列:

上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);右边一列:

上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);2/5/2023662/5/2023672/5/202368DFT的缺点一幅M×N的二维数字图像，DFT计算量为M2N2。512×512像素图像为例，DFT运算次数高达700亿次，其运算量非常巨大的。应用很困难。2/5/202369FFT的产生1965年，Cooley和Tukey发表论文“机器计算傅里叶级数的一种算法”，首次提出快速傅里叶变换算法。FFT算法是对DFT算法的一种改进，通过分析DFT的规律，消除了许多重复计算，因此，大大减少了运算量，节省了运算时间。512×512像素FFT计算量为(M×N/2)log2(M×N)=70万可以认为FFT算法的产生是数字图像处理领域的一次革命。2/5/202370基本思想：FFT算法基于一个叫做递推加倍的方法。通过推导将DFT转换成两个递推公式。利用变换矩阵元素的周期性与对称性，避免重复的相乘运算，减少计算量。

N-1 F(u)=1/N∑f(x)exp(-j2ux/N)

x=0 F(u)=1/2(Feven(u)+Fodd(u)W2Mu) F(u+M)=1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu)FFT算法思想2/5/202371FFT算法思想归纳快速傅立叶变换的思想：1）通过计算两个单点的DFT，来计算两个点的DFT，2）通过计算两个双点的DFT，来计算四个点的DFT，…，以此类推3）对于任何N=2m的DFT的计算，通过计算两个N/2点的DFT，来计算N个点的DFT2/5/202372高通滤波FFT变换的应用2/5/202373低通滤波FFT变换的应用2/5/202374压缩率为：1.7：1压缩率为：2.24：1压缩率为：3.3：1低通压缩效果2/5/202375压缩率为：8.1：1压缩率为：10.77：1压缩率为：16.1：1低通压缩效果2/5/202376六.离散余弦变换1.问题的提出：傅立叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换2/5/202377DCT1974年，Ahmed和Rao首先提出。DCT变换得到了广泛应用，被认为是一种准最佳变换。在近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都将DCT作为其中的一个基本处理模块。DCT为实数变换，变换矩阵确定（与变换对象无关），具有多种快速算法，二维DCT还是一种可分离的变换等。2/5/202378二维DCT正变换：二维DCT逆变换：其中：2/5/202379DCT的应用它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法。为了工程上实现的需要，国内外许多学者花费了很大精力去寻找或改进离散余弦变换的快速算法。由于近年来数字信号处理芯片（DSP）的发展，加上专用集成电路设计上的优势，这就牢固地确立DCT在目前图像编码中的重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG等国际上公用的编码标准的重要环节。在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT。2/5/202380DCT与快速DCT效果2/5/202381离散沃尔什正变换DFT和DCT变换都是由正弦或余弦三角函数为基本的正交函数基，DFT是复数运算，DCT虽然避免复数运算，但要进行三角函数运算，运算复杂程度也较高。沃尔什函数基是二值正交基，与数字逻辑的两个状态相对应，更加适合于计算机技术、数字信号处理等应用领域。2/5/202382七.哈达玛正变换哈达玛变换是一种特殊排序的沃尔什变换。也有叫做沃尔什-哈达玛变换。优点：变换核矩阵具有简单的递推关系，基高阶矩阵可以通过低阶矩阵求出。哈达玛变换矩阵也是一个仅包括+1和-1两个矩阵元素的方阵，任意两行或两列相乘后的各数之和必定为0，与沃尔什变换矩阵仅是行的次序不同。2/5/2023831.一维哈达玛正变换

设f(x)表示N点的一维离散序列，则一维哈达玛变换如下：u=0,1,2,3,…,N-1七.哈达玛正变换2/5/202384其中，g(x，u)是一维哈达玛变换的核，定义如下：式中，

u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈达玛变换的阶数，bi(z)是z的二进制数的第i位数值，取值为0或1。