第二章 地图的数学基础4-9b1

地图投影学习要求1.有关地图投影的基本概念2.常见地图投影的经纬网特征3.常见地图投影的经纬距变化规律4.常见地图投影的变形规律5.判别地图投影的一般方法第4节地图投影的分类按变形性质分为：等积投影、等角投影、任意投影按承影面的形状分为：方位投影（平面投影）、圆锥投影、圆柱投影按承影面与地轴的关系分为：正轴投影、横轴投影、斜轴投影按承影面与地表的关系分为：切投影、割投影等积投影、等角投影、等距投影形状不变面积不变特定方向距离不变投影分类示意图NSNSNS正轴(切)园柱投影横轴割园锥投影斜轴(切)方位投影

地图投影的命名例:横轴等积方位投影正轴等角割圆锥投影正轴等角(切)圆柱投影（墨卡托Mercator投影）

一、按变形性质分类

根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三种。（一）等角投影（正形投影）①定义:投影以后角度没有变形的投影。②投影条件：w=0或a=b，m=n③变形椭圆

见右图④投影特点：面积变形大。等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。⑤用途：多用于编制航海图、洋流图、风向图等地图。（二）等积投影

①定义:投影以后面积没有变形的投影。②投影条件：Vp=p―１＝０p=1或a=1/b或b=1/a③变形椭圆

见右图④投影特点：角度变形大。这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。⑤用途：一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。（三）任意投影①定义:既不等角也不等积的投影。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影。②投影条件：a=1或b=1或m=1③变形椭圆

见右图④投影特点：面积变形、角度变形都不大（面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影）。⑤用途：用于教学地图、交通地图。

等角投影等积投影等距投影任意投影通过比较可以看出：①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。②任意投影不能保持等积、等角特性。③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。

二、按构成方法分类（一）几何投影

根据几何面的形状，可进一步分为如下几类：方位投影，圆柱投影和圆锥投影。1、方位投影

以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。2、圆柱投影

以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

3、圆锥投影

以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。（二）非几何投影

按照经纬线性质，可将非几何投影分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影。1、伪方位投影特征:(1）纬线为同心圆;

（2）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

2、伪圆柱投影特征：（1）经线为任意曲线，纬线为平行直线。（2）无等角投影，只有等积投影和任意投影。因为，经线和纬线不正交。（3）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线

用途：主要应用于编制沿纬线分布的某些世界自然地图。等面积伪圆柱投影

3、伪圆锥投影

特征：（1）纬线形状类似于同心圆弧，圆心位于中央经线上（2）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

（3）无等角投影，只有等积和任意投影。因为经纬不正交。等积伪圆锥投影（又叫彭纳投影BonneProjection)投影条件:（1）中央经线为直线并且长度没有变形（m=1);（2）纬线为同心圆弧，长度保持不变（n=1)；（3）图上面积与实地面积相等（P=1)特征：（1）在每条纬线上的经线间隔和在中央经线上的纬线间隔均相等；

（2）中央经线与所有纬线正交，中央纬线与所有的经线正交。

（3）中央经线和中央纬线是两条没有变形的线离开这两条线愈远，变形越大。用途：编制大洲图，如亚洲、欧洲地图等。4、多圆锥投影特征（1）纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。

（2）中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线

第5节方位投影一、方位投影的概念和种类

方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。

二、正轴方位投影

投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。包括等角、等积、等距三种变形性质主要用于制作两极地区图。（一）等角正轴方位投影

①投影条件：投影面---平面w=0Ψ0=90º

②经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。经线夹角等于相应的经差.

③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。ⅱ没有角度变形，但面积变形较大。ⅲ面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。（二）等积正轴方位投影①投影条件：投影面---平面p=1Ψ0=90º

②经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。ⅱ没有面积变形，但角度变形较大。ⅲ角度等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。（三）等距正轴方位投影（Postel’sProjection）

①投影条件：投影面---平面μ1=1Ψ0=90º

②经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外不变即相等。③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、面积变形增大。ⅱ角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。ⅲ面积变形、角度变形都不大。三、横轴方位投影

平面与球面相切，其切点位于赤道上。

特点：通过投影中心的中央经线和赤道为直线，其他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。（一）等角横轴方位投影（TransverseAzimuthalOrthomorphicProjection）又名球面投影、平射投影①投影条件：投影面---平面w=0Ψ0=0º

②经纬线形式：中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大，，面积等变形线呈同心圆。ⅱ没有角度变形，但面积变形较大。（二）等积横轴方位投影（Lambert，sAzimuthalEquivalentProjection）

①投影条件：投影面---平面p=1Ψ0=0º

②经纬线形式：中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐减小。

③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大，，角度等变形线呈同心圆。ⅱ没有面积变形，但角度变形较大。（三）等距横轴方位投影

①投影条件：投影面---平面μ1=1Ψ0=0º

②经纬线形式：中央经线为直线，其它经线是对称于中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。在中央经线上纬线间隔相等。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向经线间隔相等。

③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、面积变形增大，角度、面积等变形线呈同心圆。ⅱ面积变形、角度变形都不大。四、斜轴方位投影投影面切于两极和赤道间的任意一点上。在这种投影中，中央经线投影为直线，其他经线投影为凹向对称于中央经线的曲线，纬线投影为凹向极地的曲线。中国地图全图采用该类投影，投影中心位于（105oE,30oN)（一）等角斜轴方位投影

①投影条件：投影面---平面

w=00º<Ψ0<90º

②经纬线形式：中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大,面积等变形呈同心圆。ⅱ没有角度变形，但面积变形较大。（二）等积斜轴方位投影（ObliqueEqual-areaProjection）

①投影条件：投影面--平面p=10º<Ψ0<90º

②经纬线形式：中央经线为直线，其它经纬线均是曲线；其余经线为凹向对称于中央经线的曲线；纬线为凹向极地的曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。

③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大,角度等变形呈同心圆。。ⅱ没有面积变形，但角度变形较大。（三）等距斜轴方位投影

等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不等角。①投影条件：投影面---平面μ1=10º<Ψ0<90º

②经纬线形式：中央经线为直线，其它经纬线均是曲线。在中央经线上纬线间隔相等。

③变形分布规律：ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、面积变形增大。ⅱ角度、面积等变形线与等高圈一致。ⅲ面积变形、角度变形都不大五、几种方位投影变形性质的图形判别

①方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。

正轴投影，其纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为交于投影中心的放射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直线外，其余的经纬线均为曲线。

②然后根据中央经线上经纬线间隔的变化，判别变形性质。等角方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐增大；等积方位投影，逐渐缩小；等距方位投影，间隔相等。如上可判断方位投影的变形性质及推断出投影的名称。常见投影及其用途正轴等积方位投影：南北半球图，南北两极区域地图横轴等积方位投影：东西半球图，大洲地图斜轴等积方位投影：水陆半球图，非洲、南极洲（桑逊投影）外的各洲地图，中国地图

第6节圆柱投影一、圆柱投影的概念和种类假定以圆柱面作为投影面，把地球面上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影。当圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和地球体相割时称为割圆柱投影。由于圆柱和地球体相切相割的位置不同，圆柱投影又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。正轴圆柱投影——圆柱的轴和地球的地轴一致；横轴圆柱投影——圆柱的轴和地轴垂直并通过地心；斜轴圆柱投影——圆柱的轴通过地心，和地轴不垂直不重合。

1、经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。2、纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离视投影条件而异。3、和圆柱面相切的赤道弧长或相割的两条纬线的弧长为正长无变形。圆柱投影按变形性质可分为等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意圆柱投影。在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假定视点在球心，正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是：二、等角正轴(切)圆柱投影（墨卡托投影）

等角正轴切圆柱投影是荷兰地图学家墨卡托于1569年所创，所以又称墨卡托投影。

1.投影条件：投影面---圆柱面w=0

nψ0=1其它n>12.经纬线形式：经线是一组间隔相等的平行线，纬线是与经线垂直的一组平行线，且在中央经线上纬线间隔自投影中心向南北两极逐渐增大。3.投影特点：①在墨卡托投影中，面积变形最大。

在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来了。

②在墨卡托投影上等角航线表现为直线，在地球表面上表现为以极点为渐近点的螺旋曲线（除经线和纬线以外）；在球心投影上大圆航线表现为直线，而在墨卡托投影上表现为曲线。 等角航线在墨卡托投影图上表现为直线，这一点对于航海航空具有重要意义。船只要按照等角航向航行，不用改变方位角就能从起点到达终点。

航行时，在墨卡托投影图上只要将出发地和目的地连一直线，用量角器测出直线与经线的夹角，船上的航海罗盘按照这个角度指示船只航行，就能达到目的地。

但是等角航线不是地球上两点间的最短距离，地球上两点间的最短距离是通过两点的大圆弧，（又称大圆航线或正航线）。大圆航线与各经线的夹角是不等的，因此它在墨卡托投影图上为曲线。4.用途及意义：

远航时，完全沿着等角航线航行，走的是一条较远路线，是不经济的，但船只不必时常改变方向，大圆航线是一条最近的路线，但船只航行时要不断改变方向。实际远洋航行时，一般把大圆航线展绘到墨卡托投影的海图上，然后把大圆航线分成几段，每一段连成直线，就是等角航线。船只航行时，总的情况来说，大致是沿大圆航线航行。因而,走的是一条较近路线，但就每一段来说，走的又是等角航线，不用随时改变航向，从而领航十分方便。编制航海图、航空图、赤道附近国家和地区地图从非洲的好望角到澳大利亚的墨尔本，沿等角航线航行，航程是6020海里，沿大圆航线航行5450海里，二者相差570海里（约1000公里）三、等距正轴圆柱投影（一）投影条件圆柱面切于赤道，故赤道的投影为正长，经线投影后的长度为正长。（二）特点及误差分析赤道投影后为正长无变形，纬线投影后，均变成与赤道等长的平行线段，因此离赤道越远，纬线投影后产生的误差也就越大;经线投影后为正长，为垂直于纬线的一组平行线，经线方向长度比为1，经线上纬线间隔相等，该投影的主方向就是经纬线方向。

等距正轴切圆柱投影用误差椭圆来分析等距正轴切圆柱投影误差规律和特点，误差椭圆的短半径和经线方向一致，且等于球面微圆的半径，长半径和纬线方向一致，且离开赤道越远伸长的就越多，误差越大。面积变形、角度变形是离开赤道逐渐增大的。当规定的经差和纬差相等时，经纬线网投影呈正方形网格，因此等距正轴切圆柱投影又简称圆柱投影或方格投影。等积正轴圆柱投影

四、高斯-克吕格投影（横轴等角切椭圆柱投影）（Gauss-KrugerProjection）（一）定义以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地测量学家克吕格（J.Krüger，1857—1923）共同创建。

各国地形图所采用的投影很不统一。在我国8种国家基本比例尺地形图中，除1：100万地形图采用等角圆锥投影外，其余都采用高斯-克吕格投影。

（二）经纬线形式

（1）中央经线和赤道为垂直相交的直线，作为直角坐标系的坐标轴，也是经纬网图形的对称轴。（2）经线是凹向对称于中央经线的曲线，中央纬线为直线，纬线是凸向对称于赤道的曲线，且与经线曲线正交，没有角度变量。（3）中央经线上纬距相等；赤道上间距从中央经线向东西扩大。似乎与等角横轴方位投影相同?（三）变形分布规律（1）此投影无角度变形，中央经线无长度变形，其他经线长度比大于1。（2）中央经线附近变形小，向东、向西方向变形逐渐增大，因为椭圆柱面和椭球面越不接触。长度、面积变形均不大，其中长度变形≤0.14%，面积变形≤0.27%。

为保证精度，采用分带投影方法：规定1：2.5万—1：50万地形图采用按经差6°分带；1：1万及更大比例尺地形图采用3°分带。

6°分带：从格林威治0经线起，自西向东每隔经差6°分成一带，全球共60带。我国位于东经72—136°之间，共包括11个投影带，即13—23带各带中央经线分为为75°，81°，…，135°。河南位于东